2018年秋期四川省棠湖中学高三第一学月考试
理科数学
第I卷 选择题（共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2．已知向量，则向量的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
B
A
C
3．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩（如图），要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，，就可以计算出两点的距离为
A． B．
C． D.
4．设,是两条不同的直线, ,,是三个不同的平面．有下列四个命题：
①若，，，则； ②若，，则；
③ 若，，，则；④ 若，，，则．
其中错误命题的序号是
A．①③ B．①④ C．②③④ D．②③
5. 的展开式中的常数项为
A. B. C.6 D.24
6. 函数的零点所在区间为
A. B. C. D.
7．如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点
恰好取自阴影部分的概率为
A． B． C． D．
8．等比数列中，公比，记（即表示
数列的前项之积）， ，，，中值为正数的个数是
A． B． C． D．
9．若是等差数列，首项公差，，且,则使数列的前n项和成立的最大自然数n是
A．4027 B．4026 C．4025 D．4024
10.已知函数在R上是减函数，则的取值范围是
A． B C． D．
11. 定义在上的函数若关于的方程恰好有5个不同的实数解，则
A. B. C. D.1
12．已知定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的，都有；②对于任意的③函数的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.点在不等式组 表示的平面区域内，则的最大值为_______.
14．当函数取得最大值时， .
15．由数字、、、、组成无重复数字的五位数，其中奇数有 个．
16．对于三次函数（），定义：设是函数y＝f(x)的导数y＝的导数，若方程＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”
请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为 ；
计算=
三．解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)
设函数．
（Ⅰ）求的最小正周期．
（Ⅱ）若函数与的图象关于直线对称，求当时的最大值．
18.（本小题满分12分）
某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过。已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响。
（Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（Ⅱ）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．
19. （本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，平面,四边形为等腰梯形，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
20.（本题满分12分）
如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1. 过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；
若不过某定点，请说明理由.
21．（本题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；
（Ⅱ）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点
，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。
（二） 选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答至选做题答题区域，标清题号 . 如果多做，则按所做第一题计分.
22. （本小题满分10分）
已知直线， (为参数，为倾斜角).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的直角坐标方程为.
（Ⅰ）将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为、，求的取值范围.
23.（本小题满分10分）
已知函数.
（Ⅰ）当时求函数的最小值；
（Ⅱ）若函数在上恒成立求实数的取值范围.
2018年秋期四川省棠湖中学高三第一学月考试
理科数学答案
1-5：BCABD 6-10：CCBBD 11-12：DA
13. 6 14．； 15．． 16 (,1), 2012
17.解：（Ⅰ）
. ………………4分
故的最小正周期为 ………………6分
（Ⅱ）解法一： 在的图象上任取一点，它关于的对称点 …………………………8分
由题设条件，点在的图象上，从而
…………………………………………10分
当时，， ………………………11分
因此在区间上的最大值为………………12分
解法二：因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于x = 1对称，故在上的最大值就是在上的最大值………10分
由（Ⅰ）知,当时，………11分
因此在上的最大值为 . ……………12分
18.解：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为，，则的取值分别为1、2、3，的取值分别,0、1、2、3，
所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：
1
2
3
P
………………5分
因为,所以考生乙正确完成实验操作的题数的概率分布列为：
0
1
2
3
P
………………8分
（Ⅱ）因为
所以 ………………10分
从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强。 ………………12分
19.解：（Ⅰ）由题知平面，平面，
过点A作于，在中，,
在中，
且平面又平面 ------------6分
（Ⅱ）以A为坐标原点，AB,AC,AE分别为轴，建立空间直角坐标系，
则
设为平面BEF的一个法向量，则令得，
同理可求平面DEF的一个法向量， ------------12分
20.解：⑴设抛物线方程为C：，……………………………2分
由其定义知，又，
所以，……………4分
⑵易知，设，
DE方程为…6分
把DE方程代入C，并整理得，
………………………………8分
由及得
，所以，代入DE方程得：
，即………………………………………10分
故直线DE过定点…………………………………………………12分
21.解：（Ⅰ） ------1分
由题意得： ------2分
得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为 ------4分
（Ⅱ）设； 则过切点的切线方程为 ------5分
令；则
切线与曲线只有一个公共点只有一个根
，且 -----6分
（1）当时，
得：当且仅当时，
由的任意性，不符合条件 ------7分
（2）当时，令
①当时，
当且仅当时，在上单调递增
只有一个根 ------8分
②当时，
得：，又
存在两个数使，
得：又
存在使，与条件不符。 --10分
③当时，同理可证，与条件不符 ----11分
从上得：当时，存在唯一的点使该点处的切线与曲线只有一个公共点 12分
22. 解：（Ⅰ）由及，得，即
所以曲线的极坐标方程为
（II）将的参数方程代入，得
∴ 所以，又，
所以，且
所以
由，得，所以.
故的取值范围是
23.（1）当时,
,当且仅当,即时等号成立,
所以．(5分)
（2）由题意得在上恒成立,
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