2018年秋（浙教版）九年级数学上册：第四次质量评估试卷含答案.docx

第四次质量评估试卷 [考查范围：1～4 章] 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 第 1 题图 1．如图所示，在△ABC 中，DE∥BC，若 AD∶DB＝2∶3，则下列结论中正确的是 ( B ) A.DE BC ＝2 3 B.DE BC ＝2 5 C.AE AC ＝2 3 D.AE EC ＝2 5 2．若△ABC∽△DEF，它们的面积比为 4∶1，则△ABC 与△DEF 的相似比为( A ) A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4 3．在四张背面完全相同的卡片上分别印着等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案， 现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有图案都是轴对称图 形的概率为( D ) A.3 4 B.1 4 C.1 3 D.1 2 4．如图所示，有三个矩形，其中互为相似图形的是( B ) A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 5．如图所示，⊙O 上 A，B，C 三点，若∠B＝50，∠A＝20°，则∠AOB 等于 ( D ) A．30° B．50° C．70° D．60°6．如图所示，在△ABC 中，AB＝3AD，DE∥BC，EF∥AB，若 AB＝9，DE＝2，则 线段 FC 的长度是( C ) A．6 B．5 C．4 D．3 7．如图所示，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为(1， 3)，将线段 OA 绕原点 O 逆时针旋转 30°，得到线段 OB，则点 B 的坐标是( A ) A．(0，2) B．(2，0) C．(1，－ 3) D．(－1， 3) 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 8．如图所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＋BC＝8，分别以 AB，AC，BC 为半 径作半圆，若记图中阴影部分的面积为 y，AC 为 x，则下列 y 关于 x 的图象中正确的是( A ) A B C D 9．如图所示，在钝角三角形 ABC 中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点 D 从点 A 出发到 点 B 止，动点 E 从点 C 出发到点 A 止，点 D 运动的速度为 1 cm/s，点 E 运动的速度为 2 cm/s. 如果两点同时运动，那么当以点 A，D，E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是 ( A ) A．3 s 或 4.8 s B．3 s C．4.5 s D．4.5 s 或 4.8 s 10．抛物线 y＝ax2＋bx＋3(a≠0)过 A(4，4)，B(2，m)两点，点 B 到抛物线对称轴的距 离记为 d，满足 0＜d≤1，则实数 m 的取值范围是( B ) A．m≤2 或 m≥3 B．m≤3 或 m≥4 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4 二、填空题(每小题 4 分，共 24 分) 11．已知a b ＝5 2 ，则a＋b a－b ＝__7 3__． 12．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再补充一个边条件，使得△ABC∽△ADE：__∠D ＝∠B(答案不唯一)__． 13．圆内接四边形 ABCD，两组对边的延长线分别相交于点 E，F，且∠E＝40°，∠F ＝60°，则∠A＝__40°__．第 12 题图 第 13 题图 第 15 题图 第 16 题图 14．抛物线 y＝x2＋bx＋c 与 x 轴相交于 A(－1，0)，B(3，0)两点，写出 y＞－3 时 x 的 取值范围：__x＜0 或 x＞2__． 15．如图所示，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，且 AB＝4 2， AC＝5，AD＝4，则⊙O 的直径 AE＝__5 2__． 16．如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝30，动点 P 从点 B 开始 沿边 BC 向点 C 以每秒 2 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿边 CA 向点 A 以每 秒 1 个单位长度的速度运动，连结 PQ，点 P，Q 分别从点 B，C 同时出发，当其中一点到 达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒(t≥0)． (1)当 t＝__6__秒时，点 P，C，Q 所构成的三角形与 Rt△ABC 相似； (2)在整个运动过程中，线段 PQ 的中点所经过的路程长为__5 5__． 三、解答题(共 66 分) 17．(6 分)有 A，B，C 三种款式的帽子，E，F 两种款式的围巾，穿戴时小婷任意选一 顶帽子和一条围巾． (1)用合适的方法表示搭配的所有可能的结果； (2)求小婷恰好选中她所喜欢的 A 款帽子和 E 款围巾的概率． 解：(1)根据题意，小婷任意选取一顶帽子和一条围巾，有 A、E，A、F，B、E，B、F， C、E，C、F，6 种情况， (2)小婷恰好选中她所喜欢的 A 款帽子和 E 款围巾的概率＝1 6.第 18 题图 18．(8 分)“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出 南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图所示，矩形 ABCD，东边 城墙 AB 长 9 里，南边城墙 AD 长 7 里，东门点 E、南门点 F 分别是 AB，AD 的中点，EG ⊥AB，FH⊥AD，EG＝15 里，HG 经过 A 点，求 FH 的长． 解：∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG 经过 A 点，∴FA∥EG，EA∥FH， ∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，∴△AFH∽△GEA，∴AF EG ＝FH EA. ∵AB＝9 里，AD＝7 里，EG＝15 里，∴FA＝3.5 里，EA＝4.5 里，∴3.5 15 ＝FH 4.5 ，解得 FH＝1.05 里． 第 19 题图 19．(8 分)如图所示，正方形 ABCD 的边长为 1，其中弧 DE、弧 EF、弧 FG 的圆心依 次为点 A，B，C. (1)求点 D 沿三条弧运动到点 G 所经过的路线长； (2)判断直线 GB 与 DF 的位置关系，并说明理由． 解：(1)根据弧长公式，得所求路线长为90π×1 180 ＋90π×2 180 ＋90π×3 180 ＝3π. (2)GB⊥DF.理由如下： 在△FCD 和△GCB 中，∵ CF＝CG， ∠FCD＝∠GCB， CD＝CB， ∴△FCD≌△GCB(SAS)，∴∠G＝∠F，∵∠F＋∠FDC＝90°，∴∠G＋∠FDC＝90°， ∴∠GHD＝90°，∴GB⊥DF. 第 20 题图 20．(8 分)如图所示，在矩形 ABCD 中，BE⊥AC 分别交 AC，AD 于点 F，E，若 AD ＝1，AB＝CF，求 AE 的长． 解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴BC＝AD＝1，∠BAE＝∠ABC＝90°，∴∠ABE＋ ∠CBF＝90°， ∵BE⊥AC，∴∠BFC＝90°，∴∠BCF＋∠CBF＝90°，∴∠ABE＝∠FCB，在△ABE 和△FCB 中， ∠EAB＝∠BFC＝90°， AB＝CF， ∠ABE＝∠FCB， ∴△ABE≌△FCB，∴BF＝AE，BE＝BC＝1，∵BE⊥AC，∴∠BAF＋∠ABF＝90°， ∵∠ABF＋∠AEB＝90°，∴∠BAF＝∠AEB，∵∠BAE＝∠AFB，∴△ABE∽△FBA， ∴AB BF ＝BE AB ，∴AB AE ＝ 1 AB ，∴AE＝AB2， 在 Rt△ABE 中，BE＝1，根据勾股定理，得 AB2＋AE2＝BE2＝1，∴AE＋AE2＝1，∵ AE＞0，∴AE＝ 5－1 2 . 21．(8 分)已知一次函数 y1＝x＋b 的图象与二次函数 y2＝a(x2＋bx＋3)(a≠0，a，b 为 常数)的图象交于 A，B 两点，且点 A 的坐标为(0，3)． (1)求出 a，b 的值； (2)求出点 B 的坐标，并直接写出当 y1≥y2 时 x 的取值范围； (3)设 s＝y1＋y2，t＝y1－y2，若 n≤x≤m 时，s 随着 x 的增大而增大，且 t 也随着 x 的 增大而增大，求 n 的最小值和 m 的最大值． 解：(1)把 A(0，3)代入 y1＝x＋b 中，得 b＝3，∴y1＝x＋3，y2＝a(x2＋3x＋3)，把 A(0， 3)代入 y2＝a(x2＋3x＋3)中，得 3a＝3，a＝1， ∴a＝1，b＝3. (2)由题意，得 y＝x＋3， y＝x2＋3x＋3， 解得 x1＝0， y1＝3 或 x2＝－2， y2＝1. 第 21 题答图 ∴B(－2，1)， 如图所示，当 y1≥y2 时 x 的取值范围是－2≤x≤0. (3)s＝y1＋y2＝x＋3＋x2＋3x＋3＝x2＋4x＋6＝(x＋2)2＋2，∵抛物线开口向上， ∴当 x≥－2 时，s 随着 x 的增大而增大，t＝y1－y2＝x＋3－(x2＋3x＋3)＝－x2－2x＝ －(x＋1)2＋1， ∵抛物线开口向下，∴当 x≤－1 时，t 随着 x 的增大而增大， ∴当－2≤x≤－1 时，s 随着 x 的增大而增大，且 t 也随着 x 的增大而增大， ∵n≤x≤m，s 随着 x 的增大而增大，且 t 也随着 x 的增大而增大， ∴n 的最小值－2，m 的最大值－1.第 22 题图 22．(8 分)有一块锐角三角形卡纸余料 ABC，它的边 BC＝120 cm，高 AD＝80 cm，为 使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为 2∶5 的矩形纸片 EFGH 和正方形 纸片 PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在 BC 上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边 EH 上，其余顶点均分别在 AB，AC 上，具体裁剪方式如图所示． (1)求矩形纸片较长边 EH 的长； (2)裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH 中与 边 EH 平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边 EH 所作的垂线剪两刀，请你通过 计算，判断小聪的剪法是否正确． 解：(1)设 EF＝2x，EH＝5x，∵矩形对边 EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∴EH BC ＝AR AD ， 即 5x 120 ＝80－2x 80 ，解得 x＝15，EH＝5x＝15×5＝75 cm， 所以矩形纸片较长边 EH 的长为 75 cm. (2)小聪的剪法不正确． 理由如下：设正方形的边长为 a，AR＝AD－RD＝80－2×15＝50 cm，AK＝50－a，由 题意，知△APQ∽△AEH， ∴PQ EH ＝AK AR ，即 a 75 ＝50－a 50 ，解得 a＝30，与边 EH 平行的中位线＝1 2 ×75＝37.5 cm，∵ 37.5≠30，∴小聪的剪法不正确． 图(a) 图(b) 第 23 题图 23．(10 分)(1)如图(a)所示，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝6，CD＝CE，AE ＝3，∠CAE＝45°，求 AD 的长； (2)如图(b)所示，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝ 3，AE＝8，求 AD 的长． 解：(1)如图(a)所示，连结 BE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＋∠ACE，即∠BCE＝∠ACD， 又∵AC＝BC，DC＝EC，在△ACD 和△BCE 中， AC＝BC， ∠BCE＝∠ACD， DC＝EC，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∵AC＝BC＝6，∴AB＝6 2，∵∠ACB＝90°，AC ＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°. ∵∠BAC＝∠CAE＝45°，∴∠BAE＝90°，在 Rt△BAE 中，AB＝6 2，AE＝3，∴ BE＝9，∴AD＝9. 第 23 题答图(a) 第 23 题答图(b) (2)如图(b)所示，连结 BE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝30°，∴AC BC ＝ CD CE ＝ 1 3 ，AB＝2AC＝6，∠BAC＝60°. ∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝30°，∴Rt△ABC∽Rt△DCE，∴AC DC ＝BC CE ， ∴∠BCE＝∠ACD， ∴△ACD∽△BCE，∴AD BE ＝AC BC ＝ 3 3 ，∵∠BAC＝60°，∠CAE＝30°，∴∠BAE＝ 90°，又 AB＝6，AE＝8，∴BE＝10，∴AD＝10 3 3. 24．(10 分)在平面直角坐标系中，抛物线 y＝－1 4x2＋3 2x＋4 的图象与 x 轴交于 B，C 两 点(B 在 C 的左侧)，与 y 轴交于点 A. (1)求出点 A，B，C 的坐标； (2)在抛物线上有一动点 P，抛物线的对称轴上有另一动点 Q，若以 B，C，P，Q 为顶 点的四边形是平行四边形，直接写出点 P 的坐标； (3)向右平移抛物线，使平移后的抛物线恰好经过△ABC 的外心，求出平移后的抛物线 的解析式． 解：(1)当 x＝0 时，y＝4，∴与 y 轴交点 A(0，4)，当 y＝0 时，－1 4x2＋3 2x＋4＝0，解 得：x1＝－2，x2＝8，∴B(－2，0)，C(8，0)． (2)y＝－1 4x2＋3 2x＋4＝－1 4(x－3)2＋25 4 ，当 P 在 x 轴的上方时，即为抛物线的顶点 P 3，25 4 时，可以构成平行四边形 BPCQ，如图 1， 当 P 在 x 轴的下方时，∵BC＝2＋8＝10，若四边形 BPCQ 为平行四边形，则 BC∥PQ， BC＝PQ＝10，有两种情况：①当 P 在抛物线对称轴的左侧时，如图 2， ∴点 P 的横坐标为－7，当 x＝－7 时，y＝－1 4 ×(－7)2＋3 2 ×(－7)＋4＝－75 4 ，此时 P －7，－75 4 ； ②当 P 在抛物线对称轴的右侧时，如图 3， ∴点 P 的横坐标为 13，当 x＝13 时，y＝－1 4 ×132＋3 2 ×13＋4＝－75 4 ，此时 P 13，－75 4 ； 综上所述，点 P 的坐标为 P 3，25 4 或 －7，－75 4 或 13，－75 4 . (3)如图 3， ∵A(0，4)，B(－2，0)，C(8，0)，∴OA＝4，OB＝2，OC＝8，∴OB OA ＝2 4 ＝1 2 ，OA OC ＝4 8 ＝ 1 2 ，∴OB OA ＝OA OC ， ∵∠AOB＝∠AOC＝90°，∴△AOB∽△COA，∴∠BAO＝∠ACO， ∵∠ACO＋∠OAC＝90°，∴∠BAO＋∠OAC＝90°，∴∠BAC＝90°， ∴△ABC 是直角三角形，∴△ABC 的外心就是斜边 AB 的中点 E， ∵BC＝10，∴BC 的中点 E 的坐标为(3，0)， 即平移后的解析式经过 E(3，0)， ∴相当于把原抛物线向右平移 5 个单位， ∴平移后的解析式为 y＝－1 4(x－3－5)2＋25 4 ＝－1 4x2＋4x－39 4 . 第 24 题答图 第 24 题答图第 24 题答图