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期中测试
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．若函数y＝axa2－2是二次函数且图象开口向上，则a＝(B)
A．－2 B．2 C．2或－2 D．1
2．下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴、且经过点(0，1)的是(C)
A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1
C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
3．如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，则OC＝(B)
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
4．如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(A)
A．58° B．60° C．64° D．68°
5．如图为坐标平面上二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，且此图象经过(－1，1)，(2，－1)两点．下列关于此二次函数的叙述中正确的是(D)
A．y的最大值小于0
B．当x＝0时，y的值大于1
C．当x＝1时，y的值大于1
D．当x＝3时，y的值小于0
6．如图，点B，C，D在⊙O上．若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是(D)
A．50° B．60° C．80° D．100°
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(D)
A．c>－1 B．b>0
C．2a＋b≠0 D．9a＋c>3b
8．如图，CA，CB分别与⊙O相切于点D，B，圆心O在AB上，AB与⊙O的另一交点为E，AE＝2，⊙
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O的半径为1，则BC的长为(A)
A. B．2 C. D.
9．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是(B)
A．2 B．1 C. D.
10．已知抛物线y＝a(x－3)2＋(a≠0)过点C(0，4)，顶点为M，与x轴交于A，B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝3；②点C在⊙D外；③直线CM与⊙D相切．其中正确的有(C)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．如图，已知BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠COD的度数是120°．
12．已知抛物线y＝x2－3x＋m与x轴只有一个公共点，则m＝．
13．已知Rt△ABC的两直角边的长分别为6 cm和8 cm，则它的外接圆的半径为5cm.
14．如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式是y＝x2＋2x＋3．
15．若二次函数y＝2x2－3的图象上有两个点A(1，m)，B(2，n)，则m＜n.(填“＜”“＝”或“＞”)
16．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，直线BC与⊙O的位置关系为相切．
17．如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC＝3BC，CD与⊙O相切于D点．若CD＝，则劣弧AD的长为π．
18
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．如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，C点在斜边上，设矩形的一边AB＝x m，矩形的面积为y m2，则y的最大值为300__m2．
三、解答题(共66分)
19．(6分)已知二次函数y＝x2＋4x.用配方法把该函数化为y＝a(x－h)2＋k(其中a，h，k都是常数，且a≠0)的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标．
解：∵y＝x2＋4x＝(x2＋4x＋4)－4＝(x＋2)2－4，
∴对称轴为直线x＝－2.顶点坐标为(－2，－4)．
20．(6分)如图所示，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝120°，延长BO交⊙O于D点．
(1)试求∠BAD的度数；
(2)求证：△ABC为等边三角形．
解：(1)∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°(直径所对的圆周角是直角)．
(2)证明：∵∠BOC＝120°，
∴∠BAC＝∠BOC＝60°.
又∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
21．(8分)如图，一次函数y1＝kx＋1与二次函数y2＝ax2＋bx－2(a≠0)交于A，B两点，且A(1，0)，抛物线的对称轴是直线x＝－.
(1)求k和a，b的值；
(2)根据图象求不等式kx＋1＞ax2＋bx－2的解集．
解：(1)把A(1，0)代入一次函数表达式，得k＋1＝0，解得k＝－1.
根据题意，得解得
(2)解方程组得或
则B的坐标是(－6，7)．
根据图象可得，不等式kx＋1＞ax2＋bx－2的解集是－6＜x＜1.
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22．(8分)如图，已知AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45°.
(1)求BD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)连接OD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵BC＝6 cm，AC＝8 cm，∴AB＝10 cm.∴OB＝5 cm.
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD＝45°.
∴∠BOD＝90°.∴BD＝＝5 cm.
(2)S阴影＝S扇形ODB－S△OBD
＝π×52－×5×5
＝(cm2)．
23．(8分)如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是多少？
(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
解：(1)当y＝15时，15＝－5x2＋20x，
解得x1＝1，x2＝3.
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是1 s或3 s.
(2)当y＝0时，0＝－5x2＋20x，
解得x1＝0，x2＝4，
∵4－0＝4，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s.
(3)y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20，
∴当x＝2时，y取得最大值，此时，y＝20.
答：在飞行过程中，小球飞行高度第2 s时最大，最大高度是20 m.
24．(8分)为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系：y＝－10x＋1 200.
(1)求出利润S(元)与销售单价x(元)之间的关系式；(利润＝销售额－成本)
(2)当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
解：(1)S＝y(x－40)＝(－10x＋1 200)(x－40)＝－10x2＋1 600x－48 000.
(2)S＝－10x2＋1 600x－48 000＝－10(x－80)2＋16 000，
则当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是16 000元．
25.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于D点，连接CD.
(1)求证：∠A＝∠BCD；
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(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．
解：(1)证明：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.
∴∠A＝90°－∠ACD.
又∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°－∠ACD.
∴∠A＝∠BCD.
(2)点M为线段BC的中点时，直线DM与⊙O相切．理由如下：
连接OD，作DM⊥OD，交BC于点M，则DM为⊙O的切线．
∵∠ACB＝90°，∴∠B＝90°－∠A，BC为⊙O的切线．
由切线长定理，得DM＝CM.
∴∠MDC＝∠BCD.
由(1)可知∠A＝∠BCD，CD⊥AB.
∴∠BDM＝90°－∠MDC＝90°－∠BCD.
∴∠B＝∠BDM.∴DM＝BM.
∴CM＝BM，
即点M为线段BC的中点．
26．(12分)如图，抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B.
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x－2)2＋1.
∵抛物线经过原点(0，0)，代入，得a＝－.
∴y＝－(x－2)2＋1.
(2)设点M(a，b)，S△AOB＝×4×1＝2.
则S△MOB＝6，∴点M必在x轴下方．
∴×4×|b|＝6.∴b＝－3.
将y＝－3代入y＝－(x－2)2＋1中，得
x＝－2或6.
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∴点M的坐标为(－2，－3)或(6，－3)．
(3)存在．∵△OBN相似于△OAB，
相似比OA∶OB＝∶4，
∴S△AOB∶S△OBN＝5∶16.
而S△AOB＝2.∴S△OBN＝.
设点N(m，n)，点N在x轴下方．
S△OBN＝×4×|n|＝.n＝－.
将其代入抛物线表达式，求得横坐标为2±，
∴存在点N，使△OBN与△OAB相似，点N的坐标为(2±，－)．
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