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期末测试
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．二次函数y＝2x(x－3)的二次项系数与一次项系数的和为(D)
A．2 B．－2 C．－1 D．－4
2．如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，它的主视图是(B)
A B C D
3．下列语句所描述的事件是随机事件的是(D)
A．任意画一个四边形，其内角和为180° B．经过任意两点画一条直线
C．任意画一个菱形，是中心对称图形 D．过平面内任意三点画一个圆
4．下列说法中正确的是(C)
①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦相等；③两条弦相等，圆心到这两条弦的距离相等；④在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是(D)
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．棱柱
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝(C)
A．45° B．50° C．60° D．75°
7．设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为(A)
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
8．袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是(D)
A．3个 B．不足3个 C．4个 D．5个或5个以上
9．如图，菱形ABCD的对角线BD，AC的长分别为2，2，以B点为圆心的弧与AD，DC相切，则阴影部分的面积是(D)
A．2－π B．4－π C．4－π D．2－π
10．如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列结论：①abc＞0；②b＋2a＝0；③抛物线与x轴的另一个交点为(4，0)；④a＋c＞b；⑤3a＋c＜0.其中正确的结论有(B)
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A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．抛物线y＝－(x＋2)2－1，当x＞－2时，y随x的增大而减少．
12．身高相同的小明和小丽站在灯光下的不同位置，已知小明的投影比小丽的投影长，我们可以判定小明离灯较远．
13．已知扇形的半径为4 cm，圆心角为120°，则此扇形的弧长是πcm.
14．已知a，b可以取－2，－1，1，2中的任意一个值(a≠b)，则直线y＝ax＋b的图象不经过第四象限的概率是．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为1或5．
16．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是2π.
17．如图是一个上下底密封且为正六棱柱的纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为(75＋360)cm2.(结果可保留根号)
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以BC为直径在矩形内作半圆，过点A作半圆的切线AE，则tan∠CBE＝．
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三、解答题(共66分)
19．(6分)在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝0.6米，求油的最大深度．
解：连接OA，过点O作OD⊥AB，交AB于点C，交⊙O于点D.
由题意，得OA＝OD＝0.5米，AC＝AB＝0.3米．
∵OC2＋AC2＝OA2，
∴OC＝＝＝0.4(米)．
∴CD＝OD－OC＝0.5－0.4＝0.1(米)．
∴油的最大深度是0.1米．
20．(6分)已知y＝(m－2)xm2－m＋3x＋6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴．
解：由题意，得m－2≠0，且m2－m＝2，解得m＝－1，
∴y＝－3x2＋3x＋6.
∵－3＜0，∴抛物线开口向下．
∵y＝－3x2＋3x＋6＝－3(x2－x＋)＋＋6＝－3(x－)2＋，
∴顶点坐标为(，)，对称轴是直线x＝.
21．(6分)如图，点A，B，C在直径为2的⊙O上，∠BAC＝45°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)
解：连接OB，OC.
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°.
∵⊙O的直径为2，
∴OB＝OC＝.
∴S扇形OBC＝＝π，S△OBC＝××＝.
∴S阴影＝S扇形OBC－S△OBC＝π－.
22．(8分)将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌上．
(1)随机抽取一张，求抽到奇数的概率；
(2)随机抽取一张作为十位上的数字(不放回)，再抽取一张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？用树状图法(或列表法)表示所有可能出现的结果．这个两位数恰好是4的倍数的概率是多少？
解：(1)∵将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌上，
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∴P(抽到奇数)＝.
(2)画树状图如图：
∴能组成的两位数是12，13，21，23，31，32.
∵共有6种等可能的结果，这个两位数恰好是4的倍数的有2种情况，
∴这个两位数恰好是4的倍数的概率为＝.
23．(8分)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D.求证：
(1)△BFD∽△ABD；
(2)DE＝DB.
证明：(1)∵点E为内心，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵∠DBC＝∠DAC，
∴∠DBC＝∠BAD.
∵∠BDA为公共角，
∴△BFD∽△ABD.
(2)连接BE.∵点E为内心，
∴AE，BE分别为∠BAC，∠ABC的平分线．
∴∠BED＝∠BAE＋∠EBA，∠EBA＝∠EBC，∠BAE＝∠EAC.
∴∠BED＝∠EBC＋∠EAC，∠EBD＝∠EBC＋∠CBD.
∵∠EAC＝∠CBD，∴∠EBD＝∠BED.
∴DE＝DB.
24．(10分)如图，AB，CD是⊙O的直径，点E在AB延长线上，FE⊥AB，BE＝EF＝2，FE的延长线交CD延长线于点G，DG＝EG＝3，连接FD.
(1)求⊙O的半径；
(2)求证：DF是⊙O的切线．
解：(1)设⊙O的半径为r.
∵BE＝2，DG＝3，
∴OE＝2＋r，OG＝3＋r.
又∵EF⊥AB，∴∠OEG＝90°.
在Rt△OEG中，根据勾股定理，得OE2＋EG2＝OG2.
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∴(2＋r)2＋32＝(3＋r)2.
解得r＝2，
即⊙O的半径为2.
(2)证明：∵EF＝2，EG＝3，
∴FG＝EF＋EG＝5.
∵DG＝3，OD＝2，
∴OG＝DG＋OD＝5.
∴FG＝OG.
又∵DG＝EG，∠G＝∠G，
∴△DFG≌△EOG.
∴∠FDG＝∠OEG＝90°.
∴DF⊥OD.
又∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线．
25.(10分)某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x(元/千克)
50
60
70
销售量y(千克)
100
80
60
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式；(利润＝收入－成本)
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
解：(1)设y＝kx＋b，由题意，得解得∴y＝－2x＋200.(40≤x≤80)
(2)W＝xy－40y＝x(－2x＋200)－40(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8 000＝－2(x－70)2＋1 800.(40≤x≤80)
(3)由(2)可知，当40≤x≤70时，利润逐渐增大；当70≤x≤80时，利润逐渐减小；当x＝70时利润最大，为1 800元．
26．(12分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c是常数)的对称轴为y轴，且经过(0，0)，(，)(a>0)两点，点P在抛物线上运动，以P为圆心的⊙P经过定点A(0，2)．
(1)求a，b，c的值；
(2)求证：点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；
(3)设⊙P与x轴相交于M(x1，0)，N(x2，0)(x1＜x2)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为y轴，且经过(0，0)，(，)(a>0)两点，
∴解得
∴二次函数的表达式为y＝x2.
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(2)证明：设P(x，y)，
⊙P的半径r＝.
又∵y＝x2，则r＝，
化简得r＝＞x2＝y，
∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交．
(3)设P(k，k2)．
∵PA＝，作PH⊥MN于点H，连接PM，PN，PA，
则PM＝PN＝.
又PH＝k2，
则MH＝NH＝＝2.
故MN＝4.
∴M(k－2，0)，N(k＋2，0)．
又∵A(0，2)，
∴AM＝，AN＝.
当AM＝AN时，解得k＝0，则k2＝0；
当AM＝MN时，＝4，
解得k＝2±2，则k2＝4±2；
当AN＝MN时，＝4，
解得k＝－2±2，则k2＝4±2.
综上所述，P的纵坐标为0或4＋2或4－2.
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