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章末综合检测(一)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈；
③某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，拟抽取一个容量为200的样本．
较为合理的抽样方法分别是( )
A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
解析：选A.本题考查抽样方法．①总体较少，宜用简单随机抽样；②已分段，宜用系统抽样；③各层间差距较大，宜用分层抽样．故选A.
2．下列说法错误的是( )
A．如果一组数据的众数是5，那么这组数据中出现次数最多的数是5
B．一组数据的平均数一定大于其中某一个数据
C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能相同
D．一组数据的中位数有且只有一个
解析：选B.B选项中一组数据的平均数不一定大于其中的每一个数，也可能相等．例如：当一组数据全部相同时，平均数就等于其中的每一个数据．
3．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A．抽签法 B．系统抽样法
C．分层抽样法 D．随机数法
解析：选C.根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．
4．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到号码为奇数的频率是( )
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A．0.53 B．0.5
C．0.47 D．0.37
解析：选A.(13＋5＋6＋18＋11)＝0.53.
5．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1 400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市( )
A．70家 B．50家
C．20家 D．10家
解析：选C.因为＝，
所以x＝20.
6．设有两组数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn，它们的平均数分别是和，则新的一组数据2x1－3y1＋1，2x2－3y2＋1，…，2xn－3yn＋1的平均数是( )
A．2－3 B．2－3＋1
C．4－9 D．4－9＋1
解析：选B.设zi＝2xi－3yi＋1(i＝1，2，…，n)，
则＝(z1＋z2＋…＋zn)＝(x1＋x2＋…＋xn)－(y1＋y2＋…＋yn)＋＝2－3＋1.
7．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在20～45岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )
A．31.6岁 B．32.6岁
C．33.6岁 D．36.6岁
解析：选C.由频率分布直方图可知25～30的频率应为0.2，又20～25的频率为0.05，30～35的频率为0.35，计算可得中位数约为33.6，故选C.
8．下表是某厂1～4月份月用水量情况(单位：百吨)的一组数据．
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月份x
1
2
3
4
月用水量y
4.5
4
3
2.5
月用水量y与月份x之间具有线性相关关系，其线性回归方程为y＝－0.7x＋a，则a的值为( )
A．5.25 B．5
C．2.5 D．3.5
解析：选A.线性回归方程经过样本的中心点，根据数据可得样本中心点为(2.5，3.5)，所以a＝5.25.
9．某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x＋y的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选B.甲班学生成绩的众数为85，结合茎叶图可知x＝5；又因为乙班学生成绩的中位数是83，所以y＝3，即x＋y＝5＋3＝8.
10．已知一组数据m，4，2，5，3的平均数为n，且m，n是方程x2－4x＋3＝0的两根，则这组数据的方差为( )
A．10 B.
C．2 D.
解析：选C.因为(m＋4＋2＋5＋3)＝n，
即m＝5n－14，①
又m＋n＝4，②
联立①②，
解得所以s2＝×[(1－3)2＋(4－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(3－3)2]＝×(4＋1＋1＋4＋0)＝2.
11．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数是3.2，全年进球数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3.下列说法中，正确的个数为( )
①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；
③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏．
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A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选D.因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，①正确；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，②也正确；乙队平均每场进球数为1.8，所以乙队几乎每场都进球，③正确；由于s甲＝3，s乙＝0.3，所以甲队与乙队相比，不稳定，所以甲队的表现时好时坏，④正确．
12．某班12位学生父母年龄的茎叶图如图所示，则12位同学母亲的年龄的中位数及父亲的平均年龄比母亲的平均年龄多的岁数分别是( )
A．42，3 B．41，3
C．42，4 D．41，4
解析：选A.由＝42，得中位数是42.
母亲平均年龄为42.5，
父亲平均年龄为45.5，
因而父亲平均年龄比母亲平均年龄多3岁．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：25～25.3，6；25.3～25.6，4；25.6～25.9，10；25.9～26.2，8；26.2～26.5，8；26.5～26.8，4.则样本在25～25.9上的频率为________．
解析：25～25.9包括25～25.3，6；25.3～25.6，4；25.6～25.9，10；频数之和为20，频率为＝.
答案：
14．某校对全校共1 800名学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽了20人，则该校的女生人数应是________人．
解析：由于用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，女生比男生少抽了20人，故抽取女生90人，男生110人．
设该校女生共有x人，则男生共有1 800－x人．
由＝，求得x＝810.
答案：810
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15．已知一个线性回归方程为y＝1.5x＋45，x∈{1，7，5，13，19}，则＝________．
解析：因为＝(1＋7＋5＋13＋19)＝9，
且＝1.5 ＋45，所以＝1.5×9＋45＝58.5.
答案：58.5
16．已知样本数据x1，x2，…，xn的均值＝5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的均值为________．
解析：由条件知＝＝5，
则所求均值0＝
＝＝2＋1＝2×5＋1＝11.
答案：11
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)某花木公司为了调查某种树苗的生长情况，抽取了一个容量为100的样本，测得树苗的高度(cm)数据的分组及相应频数如下：
107～109，3株；109～111，9株；111～113，13株；113～115，16株；115～117，26株，117～119，20株；119～121，7株；121～123，4株；123～125，2株．
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)据上述图表，估计数据在109～121范围内的可能性是百分之几．
解：(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
累积频率
107～109
3
0.03
0.03
109～111
9
0.09
0.12
111～113
13
0.13
0.25
113～115
16
0.16
0.41
115～117
26
0.26
0.67
117～119
20
0.20
0.87
119～121
7
0.07
0.94
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121～123
4
0.04
0.98
123～125
2
0.02
1.00
合计
100
1.00
(2)频率分布直方图如下：
(3)由上述图表可知数据落在109～121范围内的频率为：0.94－0.03＝0.91，即数据落在109～121范围内的可能性是91%.
18．(本小题满分12分)有以下三个案例：
案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋检测其三聚氰胺含量；
案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．从中抽取容量为40的样本，了解该公司职工收入情况；
案例三：从某校1 000名高一学生中抽取10人参加一项主题为“学雷锋，树新风”的志愿者活动．
(1)你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适？
(2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程．
解：(1)案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样，案例三用系统抽样．
(2)①分层，将总体分为高级职称、中级职称、初级职称及其余人员四层；
②确定抽样比例q＝＝；
③按上述比例确定各层样本数分别为8人、16人、10人、6人；
④按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本；
⑤汇总构成一个容量为40的样本．
19．(本小题满分12分)在关于人体脂肪含量y(百分比)和年龄x关系的研究中，得到如下一组数据：
年龄x
23
27
39
41
45
50
脂肪含量y
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
28.2
(1)画出散点图，判断x与y是否具有相关关系；
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(2)根据(1)的结果，若具有线性相关关系，请写出y对x的线性回归方程．
解：(1)涉及两个变量，年龄与脂肪含量．因此选取年龄为自变量x，脂肪含量为因变量y，作散点图，从图中可看出x与y具有相关关系．
(2)y对x的线性回归方程为
y＝0.651 2x－2.74.
20．(本小题满分12分)根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示．
(1)求上图中a的值；
(2)甲队员进行一次射击，求命中环数大于7环的概率(频率当作概率使用)；
(3)由上图判断甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定(结论不需证明)．
解：(1)由题干图可得
0．01＋a＋0.19＋0.29＋0.45＝1，
所以a＝0.06.
(2)设事件A为“甲队员射击，命中环数大于7环”，它包含三个两两互斥的事件：
甲队员射击，命中环数为8环，9环，10环．
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所以P(A)＝0.29＋0.45＋0.01＝0.75.
(3)甲队员的射击成绩更稳定．
21．(本小题满分12分)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y关于t的回归方程y＝bt＋a；
(2)用所求回归方程预测该地区2016年(t＝6)的人民币储蓄存款．
附：回归方程y＝bt＋a中，，a＝－b.
解：(1)列表计算如下：
i
ti
yi
t
tiyi
1
1
5
1
5
2
2
6
4
12
3
3
7
9
21
4
4
8
16
32
5
5
10
25
50
∑
15
36
55
120
这里n＝5，＝i＝＝3，
＝i＝＝7.2.
从而b＝＝1.2，a＝－b＝7.2－1.2×3＝3.6，
故所求回归方程为y＝1.2t＋3.6.
(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2016年的人民币储蓄存款为y＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．
22．(本小题满分12分)某车站在春运期间为了改进服务，随机抽样调查了100名旅客从开始在购票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称购票用时，单位：min)．下面是这次抽样的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：
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分组
频数
频率
一组
0～5
0
0
二组
5～10
10
三组
10～15
10
0.10
四组
15～20
五组
20～25
30
0.30
合计
100
1.00
(1)这次抽样的样本容量是多少？
(2)在表中填写缺失的数据并补全频率分布直方图；
(3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一小组？
(4)若每增加一个购票窗口可使平均购票用时缩短5 min，要使平均购票用时不超过10 min，那么你估计最少要增加几个窗口？
解：(1)样本容量为100.
(2)
分组
频数
频率
一组
0～5
0
0
二组
5～10
10
0.10
三组
10～15
10
0.10
四组
15～20
50
0.50
五组
20～25
30
0.30
合计
100
1.00
(3)设旅客平均购票用时为s min，则有
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