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与圆有关的动态问题
与圆有关的动态问题是一类综合性的问题。解题时，既要熟悉圆的有关性质定理，还要
注意动静结合，特殊和一般结合，结合图形全面考虑，细心分析，灵活运用有关的性质定理，
必要时还需添加恰当的辅助线，加强图形间的内在联系，以便转化，使问题顺利解决。
在与圆有关的动态问题中，最常用到的定理有：
1. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
2. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
说明：在遇到切线时，连接圆心与切点是常见的辅助线，可以构造直角三角形，为解题
架设了桥梁。
3. 弧、弦、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。
4. 圆 周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半。
5. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的
连线平分两条切线的夹角。
例题 1 如图，已知线段 OA 交⊙O 于点 B，且 OB＝AB，点 P 是⊙O 上的一个动点，那么
∠OAP 的最大值是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
解析：本题考查了直线与圆的位置关系；掌握切线的性质与判定是解题的关键。根据题
意找出当 OP⊥AP 时，∠OAP 取得最大值。所以在 Rt△AOP 中，利用直角三角形可以求得此
时∠OAP 的值。
解：根据题意知，当∠OAP 的取最大值时，OP⊥AP；在 Rt△AOP 中，∵OP＝OB，OB＝
AB，∴OA＝2OP，∴∠OAP＝30°。故选 A。
答案：A
点拨：在点 P 的运动过程中，∠OAP 取最大值时，AP 正好是⊙O 的切线。
例题 2 （北京中考）如图，点 P 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB＝2，2
设弦 AP 的长为 x，△APO 的面积为 y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致
是（ ）
解析：考虑用特殊值验证的方法。
解：可以采用特殊值的方法来“破题”，比如当 x＝1 时，△APO 恰为正三角形，此时面
积为 ，达不到1
2，这样就排除了选项 B、D；由于 比较接近 ，所以只有选项 A 符合
要求。
答案：A
点拨：可以发现，在这种解法中，特殊值（y＝1）至关重要；此外，数学的直观能力、
题感在这道题也体现得比较充分，这也是本题选择以客观题（即不必展示过程）形式出现的
原因。正如史宁中教授所说：“数学上有很多问题我们能看出结果，但要说得真切是困难
的！”
例题 3 如图，C 为⊙O 直径 AB 上一动点，过点 C 的直线交⊙O 于 D、E 两点，且∠ACD＝
45°，DF⊥AB 于点 F，EG⊥AB 于点 G，当点 C 在 AB 上运动时，设 AF＝ ，DE＝ ，下列能
表示 与 函数关系的图象大致是（ ）
解析：本题若通过求函数解析式的方法求解，比较复杂。若注意分析 y 随 x 的变化而变
3
4
3
4
1
2
x y
y x3
化的趋势，与各选项的图象逐一比对，则能迅速解决。
解：点 C 从点 A 运动到点 B 的过程中，x 的值逐渐增大，DE 的长度随 x 值的变化先变大
再变小。故选 A。
答案：A
点拨：本题是一个以圆为背景的动点问题，若通过求函数解析式的方法求解，比较复杂；
但若仔细观察、分析可以发现：随着 x 的值逐渐增大，y 经历了一个先变大再变小的过程，
这样就能快速解决问题。
与圆有关的动态问题中的切线
动态问题一般是图形在运动中产生函数问题或规律问题，要善于借助动态思维的观点来
分析，不被“动”所迷惑，从“动”中找出问题的隐含规律。
满分训练 半径为 2cm 的⊙O 与边长为 2cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧，⊙O
与 l 相切于点 F，DC 在 l 上。
（1）过点 B 作⊙O 的一条切线 BE，E 为切点，
①填空：如图 1，当点 A 在⊙O 上时，∠EBA 的度数是____；
②如图 2，当 E、A、D 三点在同一直线上时，求线段 OA 的长；
（2）以正方形 ABCD 的边 AD 与 OF 重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图 3），
至边 BC 与 OF 重合时结束移动，M、N 分别是边 BC、AD 与⊙O 的公共点，求扇形 MON 的面积
的范围。
解析：本题综合考查了动态问题、圆、特殊平行四边形的判定、相似三角形的判定、三
角函数、一元二次方程的解法等知识。
解：（1）①如图 1，因为切线 BE 是 ⊙O 的切线，所以 OE⊥BE 于 E，又 OA＝AB＝OE＝
2，易得∠EBA＝30°；
②如图2，∵直线l与⊙O相切于F，∴∠OFD＝ 90°。
∵正方形ADCB中，∠ADC＝ 90°，∴OF//AD。∵OF＝AD＝2，∴四边形OFDA为平行四边
形。
∵∠OFD＝90°，∴平行四边形OFDA为矩形。∴DA ⊥AO，∵正方形ABCD中，DA⊥AB，
∴E、A、D三点在同一直线上。∵E、A、D三点在同一直线上，∴EA⊥OB。
∵∠OEB＝90°，∴∠OEB＝∠EAO。又∵∠EOB＝∠AOE，∴△EOA∽△BOE。
∴ 。∴OE2＝ OA ·OB。∴OA（2＋OA）＝4， 解得，OA＝－1± ，∵OA＞
0，
∴OA＝ －1
（2）如图3，设∠MON＝ n°， （cm2）。
OB
OE
OE
OA = 5
5
nnS 902360
2
MON
ππ =×=扇形4
S随n的增大而增大，∠MON取最大值时， 最大。
过O点作OK⊥MN于K，∴∠MON＝2∠NOK，NM＝2NK，
在Rt△ONK中，sin∠NOK＝
∴∠NOK随NK的增大而增大，∠MON随MN的增大而增大，∴当MN最大时∠MON最大，当MN
最小时∠MON最小。
①当N、M、O分别与D、B、A重合时，MN最大，MN＝BD，∠MON＝∠BOD＝90°，
（cm2）
② 当MN＝DC＝2时，MN最小。
∴ON＝MN＝OM，∴∠NOM＝60°。 （cm2），∴ 。
答案：（1）30°； －1；（2）
点拨：这类问题可细分为点动型、线动型、形动型。解答这类问题时，要求对几何元
素的运动过程有一个完整、清晰的认识，不管点动、线动还是形动，从特殊情形入手，变中
求不变，动中求静，抓住静的瞬间，把动态的问题转化为静态的问题来解决，从而找到“动”
与“静”的联系，揭示问题的本质，发现运动中的各个变量之间互相依存的函数关系，从而
找到解决问题的突破口，也就找到了解决这类问题的途径。
（答题时间：45 分钟）
【友情提示】因本讲内容综合性较强，故在解题过程中可能会涉及到相似和锐角三角函
数相关知识，请敢于挑战自我、勇于得满分的“童鞋”提前预习相关知识点。
1. 如图所示，直线 CD 与以线段 AB 为直径的圆相切于点 D 并交 BA 的延长线于点 C，且 AB
＝2，AD＝1，P 点在切线 CD 上移动。当∠APB 的度数最大时，则∠ABP 的度数为（ ）
A. 15° B. 30° C. 60° D. 90°
2.（湖南中考）如图所示，半径为 1 的圆和边长为 3 的正方形在同一水平线上，圆沿该水
平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过的时间为 t，正方形除去圆部分的面积为 S（阴影部
分），则 S 与 t 的大致图象为（ ）
MON扇形S
2
NK
ON
NK =
π=最大扇形MONS
π
3
2
MON
=最小扇形S ≤π
3
2 π≤MON扇形S
5 ≤π
3
2 π≤MON扇形S5
A. B. C. D.
3. （甘肃中考）如图，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 运动至点 B 后，立即按原路返回，
点 P 在运动过程中速度不变，则以点 B 为圆心，线段 BP 长为半径的圆的面积 S 与点 P 的运
动时间 t 的函数图象大致为（ ）
*4.（甘肃中考）如图，已知⊙P 的圆心在定角 （0°< 0）变化的函数图
象大致是（ ）
5. 如图，A 点在半径为 2 的⊙O 上，过线段 OA 上的一点 P 作直线 l，与⊙O 过 A 点的切线
交于点 B，且∠APB＝60°，设 OP＝x，则△PAB 的面积 y 关于 的函数图像大致是（ ）
α∠ α
α∠
x6
A. B. C.
D.
6. 如图，A、B、C、D 为⊙O 的四等分点，动点 P 从圆心 O 出发，沿 OC→ →DO 的路线
做匀速运动，设运动时间为 t 秒，∠APB 的度数为 y 度，则下列图象中表示 y（度）与 t（秒）
的函数关系最恰当的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，等边△ABC 的周长为 6π，半径是 1 的⊙O 从与 AB 相切于点 D 的位置出发，在△
ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与 AB 相切于点 D 的位置，则⊙O 自转了（ ）
A. 2 周 B. 3 周 C. 4 周 D. 5 周
8.如图，△ABC 中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2 ，D是线段 BC 上的一个动点，
以 AD 为直径画⊙O 分别交 AB、AC 于 E、F，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为 。
9. 如图，已知⊙O 是以坐标原点 O 为圆心，1 为半径的圆，∠AOB＝45°，点 P 在 x 轴上
运动，若过点 P 且与 OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设 P（x，0），则x 的取值范围是________。
∩
CD
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*10. 如图，∠APB＝30°，圆心在边 PB 上的⊙O 半径为 1cm，OP＝3cm，若⊙O 沿 BP 方向
移动，当⊙O 与 PA 相切时，求圆心 O 移动的距离。
***11. 在矩形 ABCD 中，点 P 是边 AD 上的动点，连接 BP，线段 BP 的垂直平分线交边 BC
于点 Q，垂足为点 M，连接 QP（如图）。已知 AD＝13，AB＝5，设 AP＝x，BQ＝y。
（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；
（2）当以 AP 长为半径的⊙P 和以 QC 长为半径的⊙Q 外切时，求 的值；
（3）点 E 在边 CD 上，过点 E 作直线 QP 的垂线，垂足为 F，如果 EF＝EC＝4，求 x 的值。
***12. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A、B 的坐标分别为（8，0）、（0，
6）。动点 Q 从点 O、动点 P 从点 A 同时出发，分别沿 OA 方向、AB 方向均以 1 个单位长度/秒
的速度匀速运动，运动时间为 t（秒）（0o 的常数），点 P 的速度是 1。当 0
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