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2017-2018学年度天津市中考数学模拟试卷 压轴3 解答 一、选择题 1.A．2.C．3.D．4.B．5.A．6.B．7.C．8.C．9.D．10.A．1 1 . D．12.B． 二、填空题 13. ﹣2x5． 14. k＞1． 15. ． 16. 1：3． 17. ． 18.（1）12 （2）如图： 三、解答题 19.解：（1）去分母，得 x+3+2≥4，移项，得 x≥4﹣2﹣3， 合并同类项，得 x≥﹣1，故答案是：x≥﹣1； （2）去括号，得 3x﹣1≤2x+2，移项，得 3x﹣2x≤2+1， 合并同类项，得 x≤3，故答案是：x≤3； （3） ； （4）不等式组的解集是：﹣1≤x≤3． 故答案是：﹣1≤x≤3． 20.解：（1）15÷ 30%=50（人），答：本次抽样的学生有 50 人； （2）捐款 15 元的人数=50﹣15﹣25=10（人），360° × =72° ， 答：该样本中捐款 15 元的人数所占的圆心角度数为 72° ； （3）据此信息可估计该校六年级学生每人捐款为： （5×15+10×25+15× 10）÷（15+25+10）=720÷50=9.5（元） 9.5×800=7600（元）． 答：八年级捐款总数为 7600 元． 21. （1）证明：连接 OC，∵CD 是⊙O 的切线，∴CD⊥OC， 又∵CD⊥AD，∴AD∥OC，∴∠CAD=∠ACO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO， ∴∠CAD=∠CAO，即 AC 平分∠DAB； （2）解：∵∠CAD=∠CAO，∴ = ，∴CE=BC=6，∵AB 为直径， ∴∠ACB=90° ，由勾股定理得：AB= = =10， 即⊙O 直径的长是 10． 22.解：解设 OB=x，则 OD=x+2，∵∠OBA=60° ，∴cos∠OBA= ， ∴AB=2x，∵∠ODA=45° ，∴cos∠ODA= ， ∴CD= ，∵AB=CD，即 2x= ， ∴x= ，∴梯子的长 AB= ． 23.解：（1）∵x=4 时，y = 4 0 ，∴A、B 两港距离 40 千米， 设船在静水中的速度为 x 千米/小时，则逆水速度为（x﹣5）千米/小时， 根据题意得，4（x﹣5）=40，解得 x=15； （2）乙船的速度为 15+5=20，所以，乙船对应的函数解析式为 y = 4 0 ﹣20x， 当 y = 0 时，40﹣20x=0，解得 x=2， 函数图象如图所示； （3）甲船速度为：15﹣5=10 千米/小时， 乙船速度为：15+5=20 千米/小时， 若两船还没有相遇，相距 5 千米，则 = 小时， 若两船相遇后相距 5 千米，则 = 小时， 综上所述，出发 小时或 小时后两船相距 5 千米． 24.解：（1）t=1 时，AP=2× 1=2，BQ=1，∵正方形 OABC 的边长为 4， ∴CQ=BC﹣BQ=4﹣1=3，∴点 P（2，4） ， Q（4，3） ， 设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b（k≠0） ， 则 ，解得 ， 所以，直线 PQ 的解析式为 y = ﹣ x+5； （2）∵点 P 的速度是每秒 2 个单位长度，点 Q 的速度是每秒 1 个单位长度， ∴点 P 从 A 到 B 的时间是 4÷2=2 秒，点 Q 从 B 到 C 的时间是 4÷1=4 秒， ①0＜t＜2 时，AP=2t，PB=4﹣2t，BQ=t，∵以 P，B，Q 为顶点的三角形与△ OAP 相似， ∴ = ，即 = ，整理得，t 2+4t﹣8=0， 解得 t1=2 ﹣2，t2=﹣2 ﹣2（舍去），或 = ， 即 = ，整理得，4﹣2t=2，解得 t=1， ②2＜t＜4 时，AP=8﹣2t，PB=2t﹣4，BQ=t， ∵以 P，B，Q 为顶点的三角形与△ OAP 相似，∴ = ， 即 = ，整理得，t2=8，解得 t1=2 ，t2=﹣2 （舍去）， 或 = ，即 = ， 整理得，t2﹣5t+8=0，△ =（﹣5）2﹣4×1×8=﹣7＜0，方程无解， 综上所述，t 的值为 1 或 2 ﹣2 或 2 ； （3）①0＜t≤2 时，点 P 从 A 到 B，点 Q 在 BC 上， PB=4﹣2t，S△ OPQ=S 梯形 OPBC﹣S△ P B Q﹣S△ OCQ， = （4﹣2t+4）×4﹣ ×（4﹣2t）t﹣ ×4（4﹣t） ， =t2﹣4t+8， ∵△OPQ 的面积为 6，∴t 2﹣4t+8=6，整理得 t 2﹣4t+2=0， 解得 t1=2﹣ ，t2=2+ （舍去），此时，AP=2×（2﹣ ）=4﹣2 ， 所以，点 P 的坐标为（4﹣2 ，4） ； ②2＜t＜4 时，点 P 从 B 到 A，点 Q 在 BC 上， PB=2t﹣4，S△ OPQ=S 梯形 OPBC﹣S△ P B Q﹣S△ OCQ， = （2t﹣4+4）×4﹣ ×（2t﹣4）t﹣ ×4（4﹣t） ， =﹣t2+8t﹣8， ∵△OPQ 的面积为 6，∴﹣t2+8t﹣8=6，整理得 t 2﹣8t+14=0， 解得 t1=4﹣ ，t2=4+ （舍去），此时，AP=8﹣2t=8﹣2（4﹣ ）=2 ， 所以，点 P 的坐标为（2 ，4） ； ③4≤t ＜8 时，点 P 在 AB 上，点 Q 在 OC 上， OQ=4+4﹣t=8﹣t，S△ OPQ= ×（8﹣t）×4=6， 解得 t=5，此时，点 P 运动的路程为 2×5=10， AP=10﹣4× 2=2， 所以，点 P 的坐标为（2，4） ， 综上所述，P 点坐标为（4﹣2 ，4）或（2 ，4）或（2，4） ． 25.（1）解：∵y = a x 2 过点（2，1） ， ∴1=4a，解得 a= ，∴抛物线解析式为 y = x2； （2）①证明： 当 m = 时，联立直线和抛物线解析式可得 ，解得 或 ， ∴A（﹣2，1） ， B（8，16） ， 分别过 A、B 作 AC⊥x 轴，BD⊥x 轴，垂足分别为 C、D，如图 1， ∴AC=1，OC=2，OD=8，BD=16，∴ = = ，且∠ACO=∠ODB， ∴△ACO∽△ODB，∴∠AOC=∠OBD，又∵∠OBD+∠BOD=90° ， ∴∠AOC+∠BOD=90° ，即∠AOB=90° ，∴△AOB 为直角三角形； ②解：△ AOB 为直角三角形．证明如下： 当 m ≠ 时，联立直线和抛物线解析式可得 ，解得 或 ， ∴A（2m﹣2 ， （ m ﹣ ）2） ， B（2m+2 ， （ m + ）2） ， 分别过 A、B 作 AC⊥x 轴，BD⊥x 轴，如图 2， ∴AC=（m ﹣ ） 2， OC=﹣ （ 2m﹣2 ） ， BD=（m + ） 2， OD=2m+2 ， ∴ = = ，且∠ACO=∠ODB，∴△ACO∽△OBD， ∴∠AOC=∠OBD，又∵∠OBD+∠BOD=90° ， ∴∠AOC+∠BOD=90° ，即∠AOB=90° ，∴△AOB 为直角三角形； （3）解 ：由（ 2）可知，一次函数 y=mx+4 的图象与二次函数 y = a x 2 的交点为 A、 B， 则 △ AOB 恒为直角三角形．（答案不唯一）．