第八届“启智杯”初中数学思维能力竞赛集训(九).doc

第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训（九）‎ ‎【备注】‎ 一、考察的思维品质 ‎ 考察数学思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性与批判性。‎ 二、考察的思维能力 ‎1．发散性思维能力：直觉思维——数学直觉和数学灵感；形象思维——数学表象和数学想象。‎ ‎2．收敛性思维能力：逻辑思维——形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑。‎ ‎3、通过等积分割、相似分割、同类分割、图形的反射、折射、平移、旋转、等积代换等方法，进行分拆与组合，注意抓住特点、变化趋势等，实现问题的解决。‎ 同步练习 ‎1．从前，有个地主，生前把一整块圆形耕地经营得非常好，临死时，他把四个儿子叫到床前说：“我死后，你们四个平均分这块地，要每块都与其他三块相连，要团结耕地，永保安康！”。你知道怎样分吗？‎ ‎【参考答案】‎ ‎ ‎ ‎2．如右图，这是用24根火柴摆成的两个正方形，请你只移动其中的4根火柴，使它变成两个完全相同的正方形。（答案画在右侧方框中）‎ ‎【参考答案】‎ ‎3. 请把一张正方形纸片,用剪刀分别分割成9个正方形和11个正方形. 请在右图中画出裁剪方式.‎ ‎【参考答案】‎ ‎4.将图，剪两刀，然后拼成一个正方形。‎ ‎【参考答案】‎ ‎5. 在下面图形中，写有“数”“学”“报”三个字。请你将这个图形剪成形状、大小都相同的三个图形，并且每个图形中各含有“数”“学”“报”这三个字中的一个字。‎ 启 智 杯 ‎【参考答案】‎ ‎6. 下图是正方体的展开图，将它折叠成正方体，可能的图形是A、B、C、D中的（ ）。‎ ‎【参考答案】C ‎7.如图所示，长方形ABCD是由四个等腰直角三角形和一个正方形EFGH拼成，已知长方形ABCD的面积为180平方厘米，试确定正方形EFGH的面积等于多少平方厘米？‎ ‎【参考答案】如图延长BF交DC于N点，延长EH交BC于M点，由已知条件可知：CE＝CM＝CN＝‎ CB，DA＝DE＝CB＝CN，所以CM＝MB＝CE＝EN＝ND.将长方形ABCD的长边3等分，短边2等分，如图所示，连接对应的等分点，分成网络图形，数一数，长方形ABCD恰好等于12个正方形EFGH的面积，由于长方形ABCD的面积为180平方厘米，所以正方形EFGH的面积等于18平方厘米。‎ ‎8. 如下图两个正方形的边长分别是和()，将边长为的正方形切成四块大小、形状都相同的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形．‎ ‎ ‎ ‎ （1） （2） （3）‎ ‎【参考答案】拼成大正方形的面积应是，设边长，则有等式，又因为将边长为的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线为大正方形边长，如图（1），一定有，而，则：，所以，由此可以确定，然后将绕中心旋转到位置，即可把正方形切成符合要求的4块。如图（2）与图（3），这种分法同时确保图（3）的中间部分就是边长为的小正方形．这是因为：‎ ‎（1）中心四边形的角即边长为的正方形的四个角，∠，∠，∠，∠，又因为各边长度相等．因此中心四边形是正方形。‎ ‎（2）中心正方形的边长．‎ 因此，中间部分是边长为的正方形。‎ ‎9.如图所示，这个图形是由2014个同样大小的小正方形组成的。小正方形的边长是1厘米。那么整个图形的周长是多少厘米？‎ ‎【参考答案】仔细观察图形，除最左边与最右边的两个小正方形各有3条边在外面，其余2012个小正方形都只有2条边在外面，因此整个图形的周长是2012×2＋2×3=4030（厘米）。‎ ‎10.在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．‎ ‎【参考答案】用连对角线的办法找出这块长方形地的中心O和正方形水池的中心A．过O、A画一条直线，这条直线正好能把除开水池外的这块地平分为两块(如右上图)．‎ ‎11.求…的值。‎ ‎【参考答案】猜想结论为2.‎ ‎12. 一排有50个座位，其中有些座位已经有人，若新来一个人，他无论坐在哪里，都有一个人与他相邻，则原来至少有多少个人？‎ ‎【参考答案】2，5，8，11，14，…，50，位置上已经坐了人，后来的人无论他坐在哪，都有一个人与他相邻。共有17人。‎ ‎13.把36拆成几个自然数的和，如何拆，所得的乘积最大？‎ ‎【参考答案】36=3+3+3+……+3，共分拆成12个3的和，此时，12个3相乘积最大。‎ ‎14.桌面上放有2013枚正面朝上的硬币，第1次翻动其中的1枚，第2次翻动其中的2枚，第3次翻动其中的3枚……第2013次翻动全部的2013枚硬币。问过2013次翻动后，能否使这2013枚硬币全部正面朝下？‎ ‎【参考答案】第1次与2012次合起来共翻动2013枚硬币，可将所有硬币各翻动一次。同理，第2次与2011次、第3次与2010次……第1006次与第1007次都可以将所有硬币各翻动一次。再加上最后一次翻动，每枚硬币都被翻动了（2013＋1）÷2＝1007（次），即每枚硬币都被翻动了奇数次，所以所有硬币正面朝下。‎ ‎15. 有三个自然数，它们的和是2015，两两相加的和分别是m＋1，m＋2011和m＋2012，那么这三个自然数分别是多少？‎ ‎【参考答案】设三全自然数分别为A、B、C，根据题意得：A＋B＋C＝2015，A＋B＝m＋1，A＋C＝m＋2011，B＋C＝m＋2012.‎ 根据后三个式子得：2（A＋B＋C）＝3m＋4024，‎ ‎2×2015＝3m＋4024，解得：m＝2，‎ 所以，A＋B＝3，A＋C＝2013，B＋C＝2014；‎ 那么，A＝(2013＋3－2014)÷2＝1，B＝2，C＝2012.‎ ‎16. 计算：…‎ ‎【参考答案】原式＝（1＋）＋（1＋）＋（1＋）＋…＋（1＋）＋（1＋）＝1007＋（－）×＝1007‎ ‎17.李乐和王欢在跳蚤市场上卖掉了各自相同数量的游戏卡，而每张游戏卡的单价和总数量正好相等。后来他们又买回来了一套儿童读物，每本10元，剩余的零钱刚好买了一枝水笔，他们平分了这套儿童读物，结果李乐比王欢多分了一本，而王欢得到了那枝水笔。为了公平，李乐应该补给王欢多少元钱？‎ ‎【参考答案】由题意可知，他们卖出的游戏卡所得的钱数是一个完全平方数，而买回来儿童读物的本数为奇数。设每张游戏卡的单价和游戏卡的总数为a，儿童读物的本数为b，水笔的单价为c，则 a×a＝10×b＋c(c＜10＜a），b为奇数。‎ ‎11×11＝121＝10×12＋1（×）；‎ ‎12×12＝144＝10×14＋4（×）；‎ ‎13×13＝169＝10×16＋9（×）；‎ ‎14×14＝196＝10×19＋6（√）；‎ ‎15×15＝225＝10×22＋5（×）；‎ ‎16×16＝256＝10×25＋6（√）；‎ ‎…‎ ‎24×24＝576＝10×57＋6（√）；‎ ‎…‎ ‎26×26＝676＝10×67＋6（√）‎ 经检验，个位为6的完全平方数才能满足题意，所以每枝水笔为6元钱。李乐应该给王欢（10－6）÷2＝2（元）。‎ ‎18.从1，2，3，…，99，100中任选若干个数，使得若干个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（三角形三边长互不相等）。问最少选出多少个数就可以满足条件？‎ ‎【参考答案】要使选出的数任意三个数都不 能构成不等边三角形的边长，可让选入的较大数正好等于较小数的两个数的和，于是就依次得到1，2，3，5，8，13，21，34，55，89。这恰好得到了“斐波那契数列”，其中任何三个数为边长均不可能构成三角形，因此从1至100中，最多可以选出这10个数，任意三个数均不能。这10个数加入剩下数中的任意一个数，在其中便一定可找到三个数能够组成三角形，所以最少选11个数可以满足条件。‎