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第四章 三角形自我测试
(时间45分钟 满分100分)
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．(2017·扬州)若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是( C )
A．6 B．7 C．11 D．12
2．(2017·鄂州)如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC＝EA.若∠CAE＝30°，则∠BAF＝( D )
A．30° B．40° C．50° D．60°
第2题图
第3题图
3．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝42°，则∠P的度数为( C )
A．44° B．66° C．96° D．92°
4．(2016·安顺)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( D )
A．2 B. C. D.
第4题图
第5题图
5．(2016·达州)如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为( B )
(导学号 58824164)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，则下列判断错误的是( D )
A．DE是△ABC的中位线
B．点O是△ABC的重心
C．△DEO∽△CBO
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D.＝
第6题图
第7题图
7．(2017·包头)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.若AC＝3，AB＝5，则CE的长为( A )
A. B. C. D.
8．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO＋∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO＋AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的个数是( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题(每小题3分，共18分)
9．(2017·呼和浩特)如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝48°，则∠AED为_114°_.
第9题图
第11题图
10．(2017·安顺)三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于_2.5_.
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11．(2017·常州)如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是_15_.
(导学号 58824165)
12．(2017·长沙)如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是_(1，2)_．
第12题图
第13题图
13．(2017·黄石)如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则建筑物AB的高度约为_137_米．
(注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73)
14．(2017·深圳)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝_3_.
三、解答题(本大题5小题，共58分)
15．(11分)(2017·郴州)已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：BE＝CD.
证明：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，
∵点D、E分别是AB、AC的中点．∴AD＝AE，
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在△ABE与△ACD中，，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD.
16．(11分)(2017·沈阳模拟)如图，点A，C，D在同一条直线上，BC与AF交于点E，AF＝AC，AD＝BC，AE＝EC.
(1)求证：FD＝AB；
(2)若∠B＝50°，∠F＝110°，求∠BCD的度数．
(导学号 58824166)
(1)证明：∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
在△AFD和△CAB中，，
∴△AFD≌△CAB，
∴FD＝AB；
(2)解：∵△AFD≌△CAB，′
∴∠BAC＝∠F＝110°，
∴∠BCD＝∠B＋∠BAC＝50°＋110°＝160°.
17．(11分)(2017·毕节)如图，在▱ABCD中过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.
(1)求证：△ABF∽△BEC；
(2)若AD＝5，AB＝8，sinD＝，求AF的长．
(导学号 58824167)
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC，
∵∠AFB＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D，
∴∠C＝∠AFB，
∴△ABF∽△BEC；
(2)解：∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE＝90°，
在Rt△ADE中，AE＝AD·sinD＝5×＝4，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE＝＝＝4，
∵BC＝AD＝5，
由(1)得：△ABF∽△BEC，
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∴＝，即＝，解得：AF＝2.
18．(12分)(2017·凉州区)美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝65°.若AB＝132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)
解：如解图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE＝x，
在Rt△DEB中，tan∠DBE＝，
∵∠DBC＝65°，∴DE＝xtan65°.
又∵∠DAC＝45°，∴AE＝DE.
∴132＋x＝xtan65°，
∴解得x≈115.8，
∴DE≈248(米)．
∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．
19．(13分)(2017·随州)风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成(如图①)，图②是从图①引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D(D，C，H在同一直线上)的仰角是45°.已知叶片的长度为35米(塔杆与叶片连接处的长度忽略不计)，山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．(参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6)
解：如解图，作BE⊥DH于点E，
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则GH＝BE，BG＝EH＝10，
设AH＝x，则BE＝GH＝GA＋AH＝43＋x，
在Rt△ACH中，CH＝AHtan∠CAH＝tan55°·x，
∴CE＝CH－EH＝tan55°·x－10，
∵∠DBE＝45°，∴BE＝DE＝CE＋DC，即43＋x＝tan55°·x－10＋35，解得：x≈45，
∴CH＝tan55°·x＝1.4×45＝63，
答：塔杆CH的高为63米．
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