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2017年高一数学必修24.2.2圆与圆的位置关系试题(人教A版有答案和解析)

来源:会员上传 日期:2017-11-13 23:21:51 作者:佚名
第四章  4.2  4.2.2
 
A级 基础巩固
一、选择题
1.已知圆C1:(x+1)2+(y-3)2=25,圆C2与圆C1关于点(2,1)对称,则圆C2的方程是导学号 09025009( B )
A.(x-3)2+(y-5)2=25 B.(x-5)2+(y+1)2=25
C.(x-1)2+(y-4)2=25 D.(x-3)2+(y+2)2=25
[解析] 设⊙C2上任一点P(x,y),它关于(2,1)的对称点(4-x,2-y)在⊙C1上,∴(x-5)2+(y+1)2=25.
2.圆x2+y2-2x-5=0和圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A、B,则线段AB的垂直平分线方程为导学号 09025010( A )
A.x+y-1=0    B.2x-y+1=0
C.x-2y+1=0    D.x-y+1=0
[解析] 解法一:线段AB的中垂线即两圆的连心线所在直线l,由圆心C1(1,0),C2(-1,2),得l方程为x+y-1=0.
解法二:直线AB的方程为:4x-4y+1=0,因此线段AB的垂直平分线斜率为-1,过圆心(1,0),方程为y=-(x-1),故选A.
3.若圆(x-a)2+(y-b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长,则a、b应满足的关系式是导学号 09025011( B )
A.a2-2a-2b-3=0  B.a2+2a+2b+5=0
C.a2+2b2+2a+2b+1=0 D.3a2+2b2+2a+2b+1=0
[解析] 利用公共弦始终经过圆(x+1)2+(y+1)2=4的圆心即可求得.两圆的公共弦所在直线方程为:(2a+2)x+(2b+2)y-a2-1=0,它过圆心(-1,-1),代入得a2+2a+2b+5=0.
4.(2016~2017•太原高一检测)已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相外切,则动圆圆心的轨迹方程是导学号 09025012( A )
A.(x-5)2+(y+7)2=25 B.(x-5)2+(y+7)2=9
C.(x-5)2+(y+7)2=15 D.(x+5)2+(y-7)2=25
[解析] 设动圆圆心为P(x,y),则x-52+y+72=4+1,
∴(x-5)2+(y+7)2=25.
故选A.
5.两圆x2+y2=16与(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0)在交点处的切线互相垂直,则r=
导学号 09025013( C )
A.5   B.4   C.3   D.22
[解析] 设一个交点P(x0,y0),则x20+y20=16,(x0-4)2+(y0+3)2=r2,
∴r2=41-8x0+6y0,
∵两切线互相垂直,
∴y0x0•y0+3x0-4=-1,∴3y0-4x0=-16.
∴r2=41+2(3y0-4x0)=9,∴r=3.
6.半径长为6的圆与y轴相切,且与圆(x-3)2+y2=1内切,则此圆的方程为导学号 09025014( D )
A.(x-6)2+(y-4)2=6 B.(x-6)2+(y±4)2=6
C.(x-6)2+(y-4)2=36 D.(x-6)2+(y±4)2=36
[解析] 半径长为6的圆与x轴相切,设圆心坐标为(a,b),则a=6,再由b2+32=5可以解得b=±4,故所求圆的方程为(x-6)2+(y±4)2=36.
二、填空题
7.圆x2+y2+6x-7=0和圆x2+y2+6y-27=0的位置关系是__相交__.
导学号 09025015
[解析] 圆x2+y2+6x-7=0的圆心为O1(-3,0),半径r1=4,圆x2+y2+6y-27=0的圆心为O2(0,-3),半径为r2=6,∴|O1O2|=-3-02+0+32=32,∴r2-r1<|O1O2|<r1+r2,故两圆相交.
8.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为23,则a=__1__.
导学号 09025016
[解析] 两个圆的方程作差,可以得到公共弦的直线方程为y=1a,圆心(0,0)到直线y=1a的距离d=|1a|,于是由(232)2+|1a|2=22,解得a=1.
三、解答题
9.求以圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆C的方程.导学号 09025017
[解析] 解法一:联立两圆方程
x2+y2-12x-2y-13=0x2+y2+12x+16y-25=0,
相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0.
再由4x+3y-2=0x2+y2-12x-2y-13=0,
联立得两圆交点坐标(-1,2)、(5,-6).
∵所求圆以公共弦为直径,
∴圆心C是公共弦的中点(2,-2),半径为
125+12+-6-22=5.
∴圆C的方程为(x-2)2+(y+2)2=25.
解法二:由解法一可知公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0.设所求圆的方程为x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数).
可求得圆心C(-12λ-1221+λ,-16λ-221+λ).
∵圆心C在公共弦所在直线上,
∴4•-12λ-1221+λ+3•-16λ-221+λ-2=0,
解得λ=12.
∴圆C的方程为x2+y2-4x+4y-17=0.
10.判断下列两圆的位置关系.导学号 09025018
(1)C1:x2+y2-2x-3=0,C2:x2+y2-4x+2y+3=0;
(2)C1:x2+y2-2y=0,C2:x2+y2-23x-6=0;
(3)C1:x2+y2-4x-6y+9=0,C2:x2+y2+12x+6y-19=0;
(4)C1:x2+y2+2x-2y-2=0,C2:x2+y2-4x-6y-3=0.
[解析] (1)∵C1:(x-1)2+y2=4,C2:(x-2)2+(y+1)2=2.
∴圆C1的圆心坐标为(1,0),半径r1=2,
圆C2的圆心坐标为(2,-1),半径r2=2,
d=|C1C2|=2-12+-12=2.
∵r1+r2=2+2,r1-r2=2-2,
∴r1-r2<d<r1+r2,两圆相交.
(2)∵C1:x2+(y-1)2=1,C2:(x-3)2+y2=9,
∴圆C1的圆心坐标为(0,1),r1=1,
圆C2的圆心坐标为(3,0),r2=3,
d=|C1C2|=3+1=2.
∵r2-r1=2,∴d=r2-r1,两圆内切.
(3)∵C1:(x-2)2+(y-3)2=4,
C2:(x+6)2+(y+3)2=64.
∴圆C1的圆心坐标为(2,3),半径r1=2,
圆C2的圆心坐标为(-6,-3),半径r2=8,
∴|C1C2|=2+62+3+32=10=r1+r2,
∴两圆外切.
(4)C1:(x+1)2+(y-1)2=4,
C2:(x-2)2+(y-3)2=16,
∴圆C1的圆心坐标为(-1,1),半径r1=2,
圆C2的圆心坐标为(2,3),半径r2=4,
∴|C1C2|=2+12+3-12=13.
∵|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,
∴两圆相交.
B级 素养提升
一、选择题
1.已知M是圆C:(x-1)2+y2=1上的点,N是圆C′:(x-4)2+(y-4)2=82上的点,则|MN|的最小值为导学号 09025019( D )
A.4   B.42-1 C.22-2   D.2
[解析] ∵|CC′|=5<R-r=7,
∴圆C内含于圆C′,则|MN|的最小值为R-|CC′|-r=2.
2.过圆x2+y2=4外一点M(4,-1)引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程为导学号 09025020( A )
A.4x-y-4=0   B.4x+y-4=0 C.4x+y+4=0   D.4x-y+4=0
[解析] 以线段OM为直径的圆的方程为x2+y2-4x+y=0,经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线,将两圆的方程相减得4x-y-4=0,这就是经过两切点的直线方程.
3.已知两圆相交于两点A(1,3),B(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c的值是导学号 09025021( C )
A.-1   B.2 C.3   D.0
[解析] 两点A,B关于直线x-y+c=0对称,kAB=-4m-1=-1.
∴m=5,线段AB的中点(3,1)在直线x-y+c=0上,
∴c=-2,∴m+c=3.
4.(2016•山东文)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是导学号 09025022( B )
A.内切   B.相交 C.外切   D.相离
[解析] 由题知圆M:x2+(y-a)2=a2,圆心(0,a)到直线x+y=0的距离d=a2,所以2a2-a22=22,解得a=2.圆M、圆N的圆心距|MN|=2,两圆半径之差为1、半径之和为3,故两圆相交.
二、填空题
5.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是__外切__.导学号 09025023
[解析] ∵点A(a,b)在圆x2+y2=4上,∴a2+b2=4.
又圆x2+(y-b)2=1的圆心C1(0,b),半径r1=1,
圆(x-a)2+y2=1的圆心C2(a,0),半径r2=1,
则d=|C1C2|=a2+b2=4=2,
∴d=r1+r2.∴两圆外切.
6.与直线x+y-2=0和圆x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是__(x-2)2+(y-2)2=2__.导学号 09025024
[解析] 已知圆的标准方程为(x-6)2+(y-6)2=18,则过圆心(6,6)且与直线x+y-2=0垂直的方程为x-y=0.方程x-y=0分别与直线x+y-2=0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(-3,-3).由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间,故所求圆的圆心为(2,2),半径为2,即圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2.
C级 能力拔高
1.已知圆M:x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0与圆N:x2+y2+2x+2y-2=0交于A、B两点,且这两点平分圆N的圆周,求圆心M的轨迹方程.导学号 09025025
[解析] 两圆方程相减,得公共弦AB所在的直线方程为2(m+1)x+2(n+1)y-m2-1=0,由于A、B两点平分圆N的圆周,所以A、B为圆N直径的两个端点,即直线AB过圆N的圆心N,而N(-1,-1),所以-2(m+1)-2(n+1)-m2-1=0,即m2+2m+2n+5=0,即(m+1)2=-2(n+2)(n≤-2),由于圆M的圆心M(m,n),从而可知圆心M的轨迹方程为
(x+1)2=-2(y+2)(y≤-2).
2.(2016~2017•金华高一检测)已知圆O:x2+y2=1和定点A(2,1),由圆O外一点P(a,b)向圆O引切线PQ,切点为Q,|PQ|=|PA|成立,如图.导学号 09025026
 
(1)求a,b间的关系;
(2)求|PQ|的最小值.
[解析] (1)连接OQ,OP,
则△OQP为直角三角形,
又|PQ|=|PA|,
所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2
=1+|PA|2,
所以a2+b2=1+(a-2)2+(b-1)2,
故2a+b-3=0.
(2)由(1)知,P在直线l:2x+y-3=0上,所以|PQ|min=|PA|min,为A到直线l的距离,
所以|PQ|min=|2×2+1-3|22+12=255.