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阶段质量检测（四） 圆与方程
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于( )
A. B．2
C．2 D．4
解析：选B 由题意，得圆心为(－1,0)，半径r＝，弦心距d＝＝，所以所求的弦长为2＝2，选B.
2．若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0
解析：选D 由题意，知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心为A(3,0)．因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN.又AP的斜率k＝＝－，所以直线MN的斜率为2，所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
3．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
解析：选D ∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6.再由＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
4．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为( )
A.x＋y－5＝0 B.x＋y＋5＝0
C．2x＋y－5＝0 D．2x＋y＋5＝0
解析：选C ∵M(2,1)在圆上，∴切线与MO垂直．
∵kMO＝，∴切线斜率为－2.又过点M(2,1)，
∴y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
5．把圆x2＋y2＋2x－4y－a2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x－4y－4＝0相切，则实数a的值为( )
A．－3 B．3
C．－3或3 D．以上都不对
解析：选C 圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝a2＋7，圆心为(－1,2)，半径为，
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由题意得＝－1，解得a＝±3.
6.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )
A．14米 B．15米
C.米 D．2米
解析：选D
如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，
则由已知可得A(6，－2)，
设圆的半径长为r，则C(0，－r)，
即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.
将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，
所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，
当水面下降1米后，水面弦的端点为A′，B′，
可设A′(x0，－3)(x0>0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝，
∴水面宽度|A′B′|＝2米．
7．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
解析：选A 设点P(3,1)，圆心C(1,0)．已知切点分别为A，B，则P，A，C，B四点共圆，且PC为圆的直径．故四边形PACB的外接圆圆心坐标为，半径长为＝.故此圆的方程为(x－2)2＋2＝.①
圆C的方程为(x－1)2＋y2＝1.②
①－②得2x＋y－3＝0，此即为直线AB的方程．
8．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为( )
A．1 B.
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C．2 D．2
解析：选A 由题意，得圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r＝2.因为直线l经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率为－1，方程为y－0＝－(x－1)，即为x＋y－1＝0.又圆心(0，－1)到直线l的距离d＝＝，所以弦长|AB|＝2＝2＝2.又坐标原点O到弦AB的距离为＝，所以△OAB的面积为×2×＝1.故选A.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)
9．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________________．
解析：由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r＝＝，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5
10．已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为______________．
解析：设B点的坐标为(x，y，z)，则有＝4，＝3，＝1，解得x＝5，y＝4，z＝1，
故B点的坐标为(5,4,1)．
答案：(5,4,1)
11．圆O：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线l：3x＋4y＋8＝0的距离的最大值是________．
解析：∵圆O的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心(1,1)到直线l的距离为＝3>1，∴动点Q到直线l的距离的最大值为3＋1＝4.
答案：4
12．已知过点(1,1)的直线l与圆C：x2＋y2－4y＋2＝0相切，则圆C的半径为________，直线l的方程为________．
解析：圆C的标准方程为x2＋(y－2)2＝2，
则圆C的半径为，圆心坐标为(0,2)．
点(1,1)在圆C上，则直线l的斜率k＝－＝1，
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则直线l的方程为y＝x，即x－y＝0.
答案： x－y＝0
13．已知圆C：(x－1)2＋y2＝25与直线l：mx＋y＋m＋2＝0，若圆C关于直线l对称，则m＝________；当m＝________时，圆C被直线l截得的弦长最短．
解析：当圆C关于l对称时，圆心(1,0)在直线mx＋y＋m＋2＝0上，得m＝－1.直线l：m(x＋1)＋y＋2＝0恒过圆C内的点M(－1，－2)，当圆心到直线l的距离最大，即MC⊥l时，圆C被直线l截得的弦长最短，kMC＝＝1，由(－m)×1＝－1，得m＝1.
答案：－1 1
14．已知点M(2,1)及圆x2＋y2＝4，则过M点的圆的切线方程为________，若直线ax－y＋4＝0与该圆相交于A，B两点，且|AB|＝2，则a＝________.
解析：若过M点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y＝k(x－2)＋1，由圆心到切线的距离等于半径得＝2，解得k＝－，故切线方程为y＝－(x－2)＋1，即3x＋4y－10＝0.
综上，过M点的圆的切线方程为x＝2或3x＋4y－10＝0.
由＝得a＝±.
答案：x＝2或3x＋4y－10＝0 ±
15．已知两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0，则两圆圆心的最短距离为________，此时两圆的位置关系是________．(填“外离、相交、外切、内切、内含”中的一个)
解析：将圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0化为标准方程得(x－a)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(a，－2)，半径为r1＝3，将圆C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0化为标准方程得(x＋1)2＋(y－a)2＝4，圆心为C2(－1，a)，半径为r2＝2.两圆的圆心距d＝＝＝，所以当a＝－时，dmin＝，此时＜|3－2|，所以两圆内含．
答案： 内含
三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)已知正四棱锥PABCD的底面边长为4，侧棱长为3，G是PD的中点，求|BG|.
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解：∵正四棱锥PABCD的底面边长为4，侧棱长为3，
∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB，BC所在的直线分别为y轴、x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B，D，P的坐标分别为B(2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,1)．
∴G点的坐标为G
∴|BG|＝ ＝.
17．(本小题满分15分)已知从圆外一点P(4,6)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B.
(1)求以OP为直径的圆的方程；
(2)求直线AB的方程．
解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP的中点(2,3)，
半径为|OP|＝ ＝，
∴以OP为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.
(2)∵PA，PB是圆O：x2＋y2＝1的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴A，B两点都在以OP为直径的圆上．
由得直线AB的方程为4x＋6y－1＝0.
18．(本小题满分15分)已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．
(1)求周长最小的圆的方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
解：(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，
即以线段AB的中点(0,1)为圆心，r＝|AB|＝为半径．
则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)法一：直线AB的斜率k＝＝－3，
则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，
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即x－3y＋3＝0.
由解得
即圆心的坐标是C(3,2)．
∴r2＝|AC|2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.
∴所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2.
则⇒
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
19．(本小题满分15分)已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.
(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；
(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．
解：(1)证明：圆的方程可整理为(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，
此方程表示过圆x2＋y2－20＝0和直线－4x＋2y＋20＝0交点的圆系．
由得
∴已知圆恒过定点(4，－2)．
(2)圆的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2.
①当两圆外切时，d＝r1＋r2，
即2＋＝，
解得a＝1＋或a＝1－(舍去)；
②当两圆内切时，d＝|r1－r2|，
即|－2|＝，
解得a＝1－或a＝1＋(舍去)．
综上所述，a＝1±.
20．(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x－y－4＝0相切．
(1)求圆O的方程．
(2)直线l：y＝kx＋3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形OAMB为菱形？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．
解：(1)设圆O的半径长为r，因为直线x－y－4＝0与圆O相切，所以r＝＝2，所以圆O的方程为x2＋y2＝4.
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(2)法一：因为直线l：y＝kx＋3与圆O相交于A，B两点，
所以圆心(0,0)到直线l的距离d＝或k
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