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必修一数学第2章函数单元试卷(苏教版有答案和解析)

来源:会员上传 日期:2017-08-19 23:53:14 作者:佚名

 (时间:120分钟;满分:160分)

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填在题中横线上)
1.设函数f(x)=(2k-1)x-4在(-∞,+∞)是单调递减函数,则k的取值范围是________.
解析:由题意2k-1<0,∴k<12.
答案:(-∞,12)
2.已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x<0时,f(x)=1+2x,则当x>0时,f(x)=________.
解析:当x>0时,-x<0,∴f(-x)=1+2(-x)=1-2x,
∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),
∴当x>0时,f(x)=1-2x.
答案:1-2x
3.若f(x)的定义域为[-3,1],则函数F(x)=f(x)+f(-x)的定义域为________.
解析:由-3≤x≤1-3≤-x≤1得定义域为[-1,1].
答案:[-1,1]
4.函数y=3-2x-x2的递增区间为________.
解析:由3-2x-x2≥0结合二次函数图象得-3≤x≤1,观察图象知递增区间为[-3,-1].
答案:[-3,-1]
5.函数f(x)=x3+x+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为________.
解析:f(x)-1=x3+x为奇函数,
又f(a)=2,∴f(a)-1=1,
故f(-a)-1=-1,即f(-a)=0.
答案:0
6.函数f(x)=x-4(x≥4)f(x+3)(x<4),则f[f(-1)]=________.
解析:f[f(-1)]=f[f(2)]=f[f(5)]=f(1)=f(4)=0.
答案:0
7.定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f(-π),f(3),f(-4)由小到大的顺序是________.
解析:因为f(x)是偶函数,所以f(-π)=f(π),f(-4)=f(4),又f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以f(3)<f(π)<f(4),即f(3)<f(-π)<f(-4).
答案:f(3)<f(-π)<f(-4)
8.若函数y=12x2-x+32的定义域和值域都为[1,b],则b的值为________.
解析:由二次函数图象知:12b2-b+32=b,得b=1或b=3,又因为b>1,所以b=3.
答案:3
9.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx的奇偶性是________.
解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),即ax2-bx+c=ax2+bx+c,
∴b=0.
∴g(x)=ax3+cx,因为函数g(x)的定义域是R,
又g(-x)=a(-x)3+c(-x)=-ax3-cx=-g(x).
所以函数g(x)是奇函数.
答案:奇函数
10.若函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值集合为________.
解析:由y=x2-2x+3即y=(x-1)2+2,结合图象分析知m的取值范围为[1,2]时,能使得函数取得最大值3和最小值2.
答案:[1,2]
11.如果函数f(x)满足f(n2)=f(n)+2,n≥2,且f(2)=1,那么f(256)=________.
解析:f(256)=f(162)=f(16)+2=f(42)+2=f(4)+4=f(22)+4=f(2)+6=1+6=7.
答案:7
12.函数y=|x|(1-x)的增区间为________.
解析:当x≥0时,y=|x|(1-x)=x(1-x)=x-x2=-(x-12)2+14;
当x<0时,y=|x|(1-x)=-x(1-x)=x2-x=(x-12)2-14.
故y=-(x-12)2+14 (x≥0)(x-12)2-14  (x<0),函数图象为:
 
所以函数的增区间为[0,12].
答案:[0,12]
13.y=f(x)在(0,2)上是增函数,y=f(x+2)是偶函数,则f(1),f(52),f(72)的大小关系是________.
解析:结合图象(图略)分析知:
y=f(x)的图象是由y=f(x+2)的图象向右平移两个单位而得到的;而y=f(x+2)是偶函数,即y=f(x+2)的图象关于y轴对称,所以y=f(x)的图象关于x=2对称,画出图象可以得到f(72)<f(1)<f(52).
答案:f(72)<f(1)<f(52)
14.已知t为常数,函数y=|x2-2x-t|在区间[0,3]上的最大值为2,则t=________.
解析:二次函数y=x2-2x-t图象的对称轴为x=1,函数y=|x2-2x-t|的图象是将二次函数y=x2-2x-t图象在x轴下方部分翻到x轴上方(x轴上方部分不变)得到的.由 区间[0,3]上的最大值为2,知ymax=f(3)=|3-t|=2,解得t=1或5;检验t=5时,f(0)=5>2不符,而t=1时满足题意.
答案:1
二、解答题(本大题共6小题,共90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)已知xy<0,并且4x2-9y2=36.由此能否确定一个函数关系y=f(x)?如果能,求出其解析式、定义域和值域;如果不能,请说明理由.
解:xy<0⇔x>0y<0或x<0y>0 .
∵4x2-9y2=36,
∴y2=49x2-4.
又x>049x2-4≥0⇔x>3或x<049x2-4≥0⇔x<-3,
∴y=- 49x2-4(x>3) 49x2-4(x<-3).
因此能确定一个函数关系y=f(x).其定义域为(-∞,-3)∪(3,+∞).且不难得到其值域为(-∞,0)∪(0,+∞).
16.(本小题满分14分)(1)已知f(x+1x)=x2+1x2+1,求f(x)的表达式.
(2)已知f(x-1)=9x2-6x+5,求f(x)的表达式.
解:(1)由f(x+1x)=x2+1x2+1=(x+1x)2-1知,
f(x)的表达式为:f(x)=x2-1(x≤-2或≥2).
(2)令t=x-1,∴x=t+1,
∴f(t)=9(t+1)2-6(t+1)+5=9t2+12t+8.
∴f(x)=9x2+12x+8.
17.(本小题满分14分)若f(x),g(x)的定义在R上的函数,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=1x2-x+1,求f(x)的表达式.
解:在f(x)+g(x)=1x2-x+1中用-x代替x,
得f(-x)+g(-x)=1(-x)2-(-x)+1,又f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以-f(x)+g(x)=1x2+x+1,联列方程组
f(x)+g(x)=1x2-x+1-f(x)+g(x)=1x2+x+1,
两式相减得f(x)=12(1x2-x+1-1x2+x+1).
18.(本小题满分16分)已知函数f(x)=2x+1,g(x)=x2-2x+1.
(1)设集合A={x|g(x)=9},求集合A;
(2)若x∈[-2,5],求g(x)的值域;
(3)画出y=f(x),x≤0g(x),x>0的图象,写出其单调区间.
解:
 
(1)集合A={x|g(x)=9}={x|x2-2x-8=0}={-2,4}.
(2)g(x)=(x-1)2,∵x∈[-2,5],
当x=1时,g(x)min=0;
当x=5时,g(x)max=16.
(3)画出函数图象如图:
则单调增区间是(-∞,0]和[1,+∞),单调减区间是[0,1].
19.(本小题满分16分)已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),当x>1时,f(x)<0,且f(x•y)=f(x)+f(y).如果f(33)=1,求满足不等式f(x)-f(x-2)≥-2的x的取值范围.
解:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
则x2x1>1,∴f(x2x1)<0.
又f(x•y)=f(x)+f(y),
∴f(x1)+f(x2x1)=f(x2),
∴f(x2)-f(x1)=f(x2x1)<0,
∴f(x2)<f(x1),
∴f(x)在定义域内是减函数.
由已知f(x•y)=f(x)+f(y),
得2f(33)=f(33)+f(33)=f(13)=2.
∴f(x)-f(x-2)≥-2即为f(x)+2=f(x)+f(13)=f(x3)≥f(x-2),
∵f(x)在定义域内是减函数,∴x3≤x-2,x>0,x-2>0,
∴x≥3.
20.(本小题满分16分)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=2x-x2.
(1)求x<0时,f(x)的解析式;
(2)问是否存在这样的正数a,b,当x∈[a,b]时,g(x)=f(x),且g(x)的值域为[1b,1a]?若存在,求出所有a,b的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)设x<0,则-x>0,于是f(-x)=-2x-x2,
又f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=2x+x2,
即x<0时,f(x)=2x+x2(x<0);
(2)分下述三种情况:
①0<a<b≤1,那么1a>1,而当x≥0,f(x)的最大值为1,故此时不可能使g(x)=f(x);
②若0<a<1<b,此时若g(x)=f(x),则g(x)的最大值为g(1)=f(1)=1,得a=1,这与0<a<1<b矛盾;
③若1≤a<b,因为x≥1时,f(x)是减函数,则f(x)=2x-x2,于是有
1b=g(b)=-b2+2b1a=g(a)=-a2+2a⇔(a-1)(a2-a-1)=0(b-1)(b2-b-1)=0
考虑到1≤a<b,解得a=1,b=1+52.
综上所述,a=1,b=1+52.