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2016～2017学年度西安市高三第二次模拟考试
数学（文科）试题
命题人：侯美菊 审题人：姚新武
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x＞2}，下图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．如果复数，则（ ）
A．|z|=2 B．z的实部为1 C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i
3．设命题；命题q：关于的函数是对数函数，则命题p成立是命题q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不不要条件
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则=（ ）
A．29 B．30 C．33 D．36
6．在边长为4的正方形ABCD内部任取一点M，则满足的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
8．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）
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A．﹣2 B． C．﹣1 D．2
9．函数在[﹣2，2]的图象大致为（ ）
A B C D
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．有极值 B．有零点 C．是奇函数 D．是增函数
11．设为坐标原点， 是以为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
12．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题 ：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应的位置上）
13．= ；
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14．已知变量x，y满足约束任务，则z=x+2y的最小值是 ；
15．已知由一组样本数据确定的回归直线方程为，且，发现有两组数据（2.4，2.8）与（1.6，5.2）误差较大，去掉这两组数据后，重新求得回归直线的斜率为1，那么当x=4时，y的估计值为 ；
16.如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n（n＞1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为，则= ．
三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(12分)已知函数的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数的解析式及单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值范围．
18．(12分)某微信群共有60人（不包括群主），春节期间，群主发60个随机红包（即每个人抢到的红包中的钱数是随机的，且每人只能抢一个）．红包被一抢而空．据统计，60个红包中钱数（单位：元）分配如表：
分组
[0，1）
[1，2）
[2，3）
[3，4）
[4，5）
频数
3
15
24
12
6
（Ⅰ）作出这些数据的频率分布直方图；
（Ⅱ）估计红包中钱数的平均数及中位数；
（Ⅲ）若该群中成员甲、乙二人都抢到4.5元红包，现系统将从抢到4元及以上红包的人中随机抽取2人给群中每个人拜年，求甲、乙二人至少有一人被选中的概率．
19．(12分)如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，
AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；
（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．
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20．(12分)已知椭圆的短轴长为2，离心率为，抛物线的焦点F与椭圆E的右焦点重合，若斜率为k的直线l过抛物线G的焦点F与椭圆E相交于A，B两点，与抛物线G相交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆E及抛物线G的方程；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得为常数？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．
21．(12分)已知函数．
（Ⅰ）若a=1，求函数的极值和单调区间；
（Ⅱ）若在区间（0，e]上至少存在一点使得成立，求实数a的取值范围．
请考生在第22,23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。
22．(10分)极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．
（Ⅰ）求C的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线l：与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．
23．(10分)已知函数=|x|+|x+1|．
（Ⅰ）若∀x∈R，恒有≥λ成立，求实数λ的取值范围；
（Ⅱ）若∃m∈R，使得成立，试求实数t的取值范围．
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2016～2017学年度第二学期高三年级第二次模拟考试
数学（文科）参考答案
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x＞2}，下图中阴影部分所表示的集合为（ C ）
A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．如果复数，则（ C ）
A．|z|=2 B．z的实部为1 C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i
3．设命题；命题q：关于的函数是对数函数，则命题p成立是命题q成立的（ B ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不不要条件
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ B ）
A． B． C． D．
5．等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则=（ B ）
A．29 B．30 C．33 D．36
6．在边长为4的正方形ABCD内部任取一点M，则满足的概率为（ A ）
A． B． C． D．
7．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是（ B ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
8．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ B ）
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A．﹣2 B． C．﹣1 D．2
9．函数在[﹣2，2]的图象大致为（ D ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则下列结论正确的是（ D ）
A． 有极值 B．有零点 C．是奇函数 D．是增函数
11．设为坐标原点， 是以为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（ C ）
A． B． C． D．1
12．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ A ）
A． B．
C． D．
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二、填空题 ：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应的位置上）
13．=
14．已知变量x，y满足约束任务，则z=x+2y的最小值是 3 ．
15．已知由一组样本数据确定的回归直线方程为，且，发现有两组数据（2.4，2.8）与（1.6，5.2）误差较大，去掉这两组数据后，重新求得回归直线的斜率为1，那么当x=4时，y的估计值为 6 ．
16.如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n（n＞1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为，则=
三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式及单调递减区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值范围．
【解答】解：（1）由图象知A=1，，∴ω=2，
∴f（x）=sin（2x+φ）∵图象过（），将点代入解析式得，
∵，∴
故得函数．递减区间是
（2）由（2a﹣c）cosB=bcosC，
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根据正弦定理，得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC
∴2sinAcosB=sin（B+C），∴2sinAcosB=sinA．∵A∈（0，π），∴sinA≠0，
∴cosB=，即B=∴A+C=，即
那么：，
故得．
18．某微信群共有60人（不包括群主），春节期间，群主发60个随机红包（即每个人抢到的红包中的钱数是随机的，且每人只能抢一个）．红包被一抢而空．据统计，60个红包中钱数（单位：元）分配如表：
分组
[0，1）
[1，2）
[2，3）
[3，4）
[4，5）
频数
3
15
24
12
6
（Ⅰ）作出这些数据的频率分布直方图；（Ⅱ）估计红包中钱数的平均数及中位数；
（Ⅲ）若该群中成员甲、乙二人都抢到4.5元红包，现系统将从抢到4元及以上红包的人中随机抽取2人给群中每个人拜年，求甲、乙二人至少有一人被选中的概率．
【解答】解：（Ⅰ）由已知作出频率分布表：
分组
[0，1）
[1，2）
[2，3）
[3，4）
[4，5）
频数
3
15
24
12
6
频率
0.05
0.25
0.4
0.2
0.1
由此作出频率分布直方图如下：
（Ⅱ）由频率分布直方图，估计红包中钱数的平均数为：
=2.55（元）
设中位数为x，则0.05+0.25+（x﹣2）×0.40=0.5，
解得中位数x=2.5（元）
（Ⅲ）该群中抢到红包的钱数不小于4元的人数是6；记为：a，b，c，d，甲，乙
现从这6人中随机抽取2人，基本事件数是：ab，ac，ad，a甲，a乙，bc，bd，b甲，
b乙，cd，c甲，c乙；d甲，d乙，甲乙共15种
其中甲、乙二人至少有一人被选中的基本事件为：
a甲，a乙，b甲，b乙，c甲，c乙，d甲，d乙，甲乙，共9种，
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所以对应的概率为：．
19．如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，
F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；
（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF
∴AE⊥平面BCE．（4分）
（Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点，
∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．（6分）
在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．（8分）
（Ⅲ）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，
∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，（10分）
∵G是AC中点，∴F是CE中点，且，
∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．∴Rt△BCE中，．
∴，（12分）∴（12分）
20．已知椭圆的短轴长为2，离心率为，抛物线的焦点F与椭圆E的右焦点重合，若斜率为k的直线l过抛物线G的焦点F与椭圆E相交于A，B两点，与抛物线G相交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆E及抛物线G的方程；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得为常数？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，设F（c，0），则得，…（1分）
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解得． …（3分）
所以椭圆E的方程为，…（4分）
由题意得，所以p=4．
故抛物线G的方程为y2=8x． …（5分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
由题意，直线l的方程为y=k（x﹣2）（k≠0），
由消去y，整理得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，…（6分）． …（7分）． …（8分）
由消去y，整理得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，…（9分）
，
则，由抛物线定义得，…（10分）
所以，…（11分）
要使为常数，则须有，解得． …（12分）
所以存在，使为常数．
21．已知函数．
（1）若a=1，求函数的极值和单调区间；
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（2）若在区间（0，e]上至少存在一点，使得成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）因为f′（x）=﹣+=，（2分）
当a=1，f′（x）=，
令f'（x）=0，得x=1，（3分）
又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x
（0，1）
1
（1，+∞）
f'（x）
﹣
0
+
f（x）
↘
极小值
↗
所以x=1时，f（x）的极小值为1．（5分）
f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
（2）∵f′（x）=，（a≠0，a∈R）．
若在区间[0，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，
其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．
（i）当a＜0时，f′（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，
∴f（x）在区间(0，e]上单调递减，
故f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（e）=+alne=+a，
由+a＜0，得a＜﹣；
（ii）当a＞0时，令f′（x）=0，得到x=，
①若e≤，则f′（x）≤0对x∈（0，e]成立，
∴f（x）在区间（0，e]上单调递减，
∴f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（e）=+alne=+a＞0，
显然，f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0不成立．
②若1＜＜e，即a＞时，则有
x
（0，）
（，e）
f′（x）
﹣
0
+
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f（x）
↘
极小值
↗
∴f（x）在区间[0，e]上的最小值为f（）=a+aln，
由f（）=a+aln=a（1﹣lna）＜0，
得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）．
综上，由（1）（2）可知：a∈（﹣∞，﹣）∪（e，+∞）．
22．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．
（1）求C的直角坐标方程；
（2）直线l：与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．
【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）
∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x2+y2=2x+2y
即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 （5分）
（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，
得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．（10分）
23．已知函数=|x|+|x+1|．
（1）若∀x∈R，恒有≥λ成立，求实数λ的取值范围；
（2）若∃m∈R，使得成立，试求实数t的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）=|x|+|x+1|≥1．∵∀x∈R，恒有f（x）≥λ成立，∴λ≤1；
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（2）由题意，f（t）=，∃m∈R，使得m2+2m+f（t）=0成立，
∴△=4﹣4f（t）≥0，∴f（t）≤1，
t＜﹣1时，f（t）=﹣2t﹣1≤1，∴t≥﹣1，不合题意，舍去；
﹣1≤t≤0时，f（t）=1，此时f（t）≤1恒成立；
t＞0时，f（t）=2t+1≤1，∴t≤0，不合题意，舍去；
综上所述，t的取值范围为[﹣1，0]．
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