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舒城中学2017-2018学年度第一学期第三次统考试卷
高二理数
（时间120分钟 满分150分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设 ，则“ ”是“ ”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.设命题：，则为 ( )
A. B.
C. D.
3.双曲线的渐近线的方程是 ( )
A． B． C． D．
4.下列说法正确的是 ( )
A.若且为假命题，则，均为假命题
B.“”是“”的必要不充分条件
C.若，则方程无实数根
D.命题“若，则”的逆否命题为真命题
5.如果方程表示椭圆，则的取值范围是 （ ）
A．且 B．
C． D．
6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 ( )
舒中高二统考理数 第1页（共4页）
A.若； 舒中高二统考理数 第2页（共4页）
B.若；
C.若； D.若；
7.如图，在长方体中，，则与平面所成角的正弦值为 ( )
B
A. B. C. D.
8.抛物线上有三点，是它的焦点，若成等差数列，则 （ ）
A．成等差数列 B．成等差数列
C．成等差数列 D．成等差数列
9.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是（ ）
A B． C． D．
10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面 的面积为 ( )
A. B. C. D.3
11.已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点．若恰好将线段三等分，则 ( )
A． B． C． D．
12.抛物线的准线与双曲线的左、右支分别交于两点，为双曲线的右顶点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为
（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.若抛物线上的点到轴的距离是，则到焦点的距离为 ．
14.过点作一直线与椭圆相交于A、B两点，若点恰好为弦的中点，则所在直线的方程为 ．
15.边长为2的正方形中，点分别是的中点，将,分别沿折起，使得三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为
16.已知椭圆的左、右焦点分别为过作一条直线（不与轴垂直）与椭圆交于两点，如果恰好为等腰直角三角形，则该直线的斜率为
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（本小题满分10分）
已知且。设:函数在区间内单调递减；:曲线与轴交于不同的两点，如果“”为真命题，“”为假命题 ，求实数的取值范围.
18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面，，，点为棱的中点.
(Ⅰ)证明： ；
(Ⅱ)求二面角的余弦值．
19. （本小题满分12分）
如图，四边形中，，，，分别在上，．现将四边形沿折舒中高二统考理数 第4页（共4页）
起，使得平面⊥平面．
(Ⅰ)当，是否在折叠后的上存在一点，使得平面？若存在，求出点位置，若不存在，说明理由；
(Ⅱ)设，问当为何值时，三棱锥的体积有最大值？并求出这个最大值．
20. （本小题满分12分）
已知双曲线：（）的离心率为，虚轴长为．
(Ⅰ)求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，求的面积．
21（本小题满分12分）
已知椭圆:的右焦点为，且点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知动直线过点，且与椭圆交于，两点.试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
22. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系中,已知,点在直线上, 点满足∥,=,点的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)为上的动点,为在点处的切线,求点到距离的最小值.
舒城中学2017-2018学年高二第三次统考试卷
数 学
（时间120分钟 满分150分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设 ，则“ ”是“ ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.设命题：，则为( )
A. B.
C. D.
3.双曲线的渐近线的方程是
A． B． C． D．
4.下列说法正确的是（ ）
A.若且为假命题，则，均为假命题
B.“”是“”的必要不充分条件
C.若，则方程无实数根
D.命题“若，则”的逆否命题为真命题
5.如果方程表示椭圆，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是( )
A.若； B.若；
C.若； D.若；
7.如图，在长方体中，，则与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.抛物线上有三点，是它的焦点，若成等差数列，则 （ ）
A．成等差数列 B．成等差数列
C．成等差数列 D．成等差数列
9.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为( )
A. B. C. D.3
11.已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点．若恰好将线段三等分，则( )
A． B． C． D．
12.抛物线的准线与双曲线的左、右支分别交于两点，为双曲线的右顶点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.若抛物线上的点到轴的距离是，则到焦点的距离为 ．
14.过点作一直线与椭圆相交于A、B两点，若点恰好为弦的中点，则所在直线的方程为 ．
15.边长为2的正方形中，点分别是的中点，将,分别沿折起，使得三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为
16.已知椭圆的左、右焦点分别为过作一条直线（不与轴垂直）与椭圆交于两点，如果恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（本小题满分10分）
已知且。设:函数在区间内单调递减；:曲线与轴交于不同的两点，如果“”为真命题，“”为假命题 ，求实数的取值范围.
18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面，
，，点为棱的中点.
(Ⅰ)证明： ；
(Ⅱ)求二面角的余弦值．
19. （本小题满分12分）
如图，四边形中，，，，分别在上，．现将四边形沿折起，使得平面⊥平面．
(Ⅰ)当，是否在折叠后的上存在一点，使得平面？若存在，求出点位置，若不存在，说明理由；
(Ⅱ)设，问当为何值时，三棱锥的体积有最大值？并求出这个最大值．
20. （本小题满分12分）
已知双曲线：（）的离心率为，虚轴长为．
(Ⅰ)求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，求的面积．
21（本小题满分12分）
已知椭圆:的右焦点为，且点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知动直线过点，且与椭圆交于，两点.试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
22. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系中,已知,点在直线上, 点满足∥,=,点的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)为上的动点,为在点处的切线,求点到距离的最小值.
舒城中学2017-2018学年高二第三次统考试卷
数学答案
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
ACCDA CDAAB CC
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 10 14. 15. 16.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.（本题10分）
18. （本题12分）(Ⅰ)略；(Ⅱ)．
19. （本题12分）解：
(Ⅰ)若存在P，使得CP∥平面ABEF，此时λ=：
证明：当λ=，此时=，
过P作MP∥FD，与AF交M，则=，
又FD=5，故MP=3，
因为EC=3，MP∥FD∥EC，
所以MP∥EC，且MP=EC，故四边形MPCE为平行四边形，
所以PC∥ME，
因为CP平面ABEF，ME⊂平面ABEF，
故答案为：CP∥平面ABEF成立．
(Ⅱ)因为平面ABEF⊥平面EFDC，ABEF∩平面EFDC=EF，AF⊥EF，
所以AF⊥平面EFDC，
因为BE=x，所以AF=x，（0＜x＜4），FD=6﹣x，
故三棱锥A﹣CDF的体积V=××2×（6-x）x=﹣（x-3）2+3，
所以x=3时，三棱锥A﹣CDF的体积V有最大值，最大值为3．
20.（本题12分）(Ⅰ); (Ⅱ).
21. （本题12分）
22.（本题12分）
(Ⅰ)设(,),由已知得(,-3),(0,—1),
∴=(,),=(0,),=(,-2),
由题意可知=0,即=0,化简整理得,
∴曲线的方程为;
(Ⅱ)设(,)为曲线:上一点,∴的斜率为, ∴直线的方程为=,即
∴点到的距离===≥2,
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