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高二12月月考数学（文科）试题
时间：120分钟 满分：150分 命题人：
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2. 已知集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
3. 命题“若都是奇数，则是偶数”的逆否命题是( )
A.若不是偶数，则都不是奇数
B.若不是偶数，则不都是奇数
C.若是偶数，则都是奇数
D.若是偶数，则不都是奇数
4. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5. 已知,则的最小值是( )
A. 5 B. 4 C. D.9
6. 若实数满足，则的最小值是（ ）
A．3 B．1 C． D．6
7. 明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”你的答案是( )
A．盏 B．盏 C．盏 D．盏
8. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D.
9. 设点是椭圆上一点，分别是两圆和上的点，则 的最大值为 ( )
A．8 B．9 C．11 D．12
10. 已知分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上的任意一点，若的最小值等于，则双曲线的离心率的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
11. 设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12. 下列命题中正确的个数是（ ）
①命题“”的否定是“”
②“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件
③“平面向量与的夹角是锐角”的充要条件是“”
④在中，角所对的边分别是，则“”是“”的充要条件
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分
13. 若抛物线上一点到轴的距离为3，则点到抛物线的焦点的距离为_____.
14. 设为等差数列的前项和,若,则 ________.
15. 已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于
两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为 ．
16. 已知是双曲线的左焦点,是双曲线右支上的动点,则 的最小值为________.
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知，命题：对，不等式恒成立；命题：，使得成立．
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）当时，若为假，为真，求的取值范围．
18.（本小题满分12分）
经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点．
（1）若直线的斜率是，求的值；
（2）若是坐标原点，求的值．
19.（本小题满分12分）
已知关于的不等式.
（1）当时，解该不等式;
（2）当时，解该不等式.
20.（本小题满分12分）
已知一焦点在轴上，中心在原点的双曲线的实轴长等于虚轴长，且经过点
.
(1)求该双曲线的方程；
(2)若直线与该双曲线有且只有一个公共点，求实数的值.
21.（本小题满分12分）
数列的前项和记为,已知
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．
高二12月月考数学（文科）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
B
A
C
C
B
B
D
A
C
B
二、填空题
13、 4 14、 15 15、 16、9
三、解答题
17. 解：（1）对任意，不等式 恒成立，∴，
解得．………………………4分
（2）时，存在，使得成立．∴．…………6分
∵且为假，或为真，
∴与必然一真一假，
∴或，解得或．
∴的取值范围是．………………………10分
18. 解：（1）抛物的焦点是，直线方程是，与联立得
，解得，．所以．
…………6分
（2）当垂直于轴时，，．…8分
当不垂直于轴时，设，代入得，所以，从而．故．
综上． …………12分
19. 解：原不等式可化为，即,
等价于. …………………2分
（1）当时，不等式等价于,
∴.
∴原不等式的解集为. ………………4分
（2）∵原不等式等价于, 又,
∴. ……………………………6分
当，即时，解集为; ……………8分
当，即时，解集为;……………10分
当，即时，解集为 . …………12分
20. 解(1)∵,∴所求圆锥曲线为等轴双曲线.
∴设双曲线方程为
∵双曲线经过点,∴ ∴ ……………………2分
∴所求双曲线方程为 ……………………4分
(2) ……………………6分
①
……………………8分
② …………10分
直线与双曲线有且只有一个公共点.……………12分
21. （1）证明：因为,又
数列是等比数列,首项为，公比为的等比数列. ……………6分
（2）由（1）可知
Tn=2+2·22+3·23+…(n-1)·2n-1 +n·2n,
2Tn=22+2·23+3·24+…+(n-1)2n+n·2n+1,
所以Tn-2Tn=-Tn=2+22+23+24+…+2n-n·2n+1
=(1-n)2n+1-2,
所以Tn=(n-1)2n+1+2. ……………12分
22. 解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意，……………………2分
所求椭圆方程为．……………………3分
(2)设，．
①当轴时，．……………………4分
②当与轴不垂直时，
设直线的方程为．
由已知，得．……………………5分
把代入椭圆方程，整理得，
，．……………………6分
……………………8分
．
当且仅当，即时等号成立．
当时，，综上所述．……11分
当最大时，面积取最大值．… 12分
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