成都外国语学校2017-2018高二上10月月考理科数学试卷（含答案）.doc

成都外国语学校2017-2018学年度高二上期十月月考 数学试题(理科)‎ 注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。‎ ‎ 2. 本堂考试120分钟，满分150分。‎ ‎ 3．答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封线内。‎ ‎ 4．考试结束后，将所有答题卷和机读卡交回。‎ 第Ⅰ卷（60分）‎ 一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的）。‎ ‎1.圆 关于原点对称的圆的方程是( A   ) A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2.设则“且”是“”的( A )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件 ‎3．椭圆 的左右焦点分别为,一直线过交椭圆于A，B 两点，‎ 则 的周长为 （ B ）‎ ‎ A.32 B.16 C. 8 D. 4‎ ‎4. 已知命题；命题 ， 下列命题为 真命题的是（　B　） ‎ A、p∧q B、p∧￢q C、￢p∧q D、￢p∧￢q ‎5．已知点M（a,b）（ab≠0），是圆 内一点，直线m是以M为中点的弦所在的 直线，直线的方程是，则（ C ）‎ ‎ A. ∥m且与圆相交 B. ⊥m且与圆相切 ‎ C. ∥m且与圆相离 D. ⊥m且与圆相离 ‎6. 已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为 直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ B ）‎ A．5 B．7 C．13 D．15‎ ‎8．平面内到点（1，1）的距离为1且到点（1，4）的距离为2的直线有（ C ）条。‎ A. 1 B. 2 C.3 D.4‎ ‎9．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的 取值范围是 ( D )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（ B ） ‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎11．已知椭圆 ，点 为其长轴 AB 的 6 等分点，分别过这五点作斜率为 的一组平行线，交椭圆 C于 ，则10条直线 的斜率乘积为（ D ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】设其中的任一等分点为 ，过 的直线交椭圆于点 、 ，不妨设直线 的方程为 ，则与椭圆方程联立可得： 整理后可得 ．‎ 从中可以得到 所以 ．‎ 当 分别取 、 、 、 、 时，算出斜率的乘积为 ．‎ ‎12．关于下列命题,假命题的个数是（ C ） ‎ ‎（1）若点在圆外，则或. （假）‎ ‎（2）已知圆与直线，对于，总 使直线与圆恒相切. （假）‎ ‎（3）已知点P是直线上一动点，PA、PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，则四边形PACB的最小面积是为2 . （真）‎ ‎（4）设直线系，中的直线所能围成的正三角形 面积等于.（假）‎ A．1 B.2 C.3 D．4‎ 第Ⅱ卷（90分）‎ 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上的相应位置）.‎ ‎13.若为圆的弦AB的中点,‎ 则直线AB的方程是　　▲　. .‎ ‎14．若命题“,使得”是假命题,‎ 则实数a的取值范围是　　▲　　. ‎ ‎15. 在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点B在椭圆 上，则　　▲　　. ‎ ‎16．已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为　　▲　　. ‎ 三、解答题：(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)。‎ ‎ 17．（本小题满分10分）已知 .‎ ‎（1）若p是q 的充分条件，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若m=5，“”为真命题，“”为假命题，求实数x的取值范围．‎ 解：（1） 由题知 ：．‎ 因为 是 的充分条件，所以 是 的子集，‎ 所以 解得 ．所以实数 的取值范围是 ．‎ ‎     （2） 当 时，：，依题意得， 与 一真一假．‎ 当 真 假时，有 无解；‎ 当 假 真时，有 解得 或 ．‎ 所以实数 的取值范围为 ．‎ ‎18.（本小题满12分）已知 的顶点 ，AB边上的中线 CM 所在直线方程为 ，AC边上的高 BH 所在直线方程为 ．求：‎ ‎（1）顶点C的坐标； （2）直线BC的方程．‎ 解： （1） ， ，‎ ‎ 直线 的方程为 ，整理得 ．‎ 由 解得 顶点 的坐标为 ．‎ ‎    （2） 设顶点 的坐标为 ，点 在直线 上， ‎ 线段 的中点 的坐标为 ，点 在中线 上，‎ ‎ ，整理得 ‎ 由 联立，解方程组得 ，，即点 的坐标为 ．‎ 又 ， 直线 的方程为 ，整理得 ．‎ ‎19．（本小题满分12分）椭圆与直线相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．‎ 解析　方法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 代入椭圆方程并作差，得 a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.而＝－1，＝kOC＝，‎ 代入上式可得b＝a.‎ 再由|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，‎ 其中x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根．‎ 故()2－4·＝4.将b＝a代入，得a＝，∴b＝.‎ ‎∴所求椭圆的方程是＋＝1.‎ 方法二：由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝·.‎ ‎∵|AB|＝2，∴＝1.①‎ 设C(x，y)，则x＝＝，y＝1－x＝.‎ ‎∵OC的斜率为，∴＝. 代入①，得a＝，b＝.‎ ‎∴椭圆方程为＋y2＝1.‎ 方法三：利用中点弦的斜率求解 ‎20.（本小题满分12分）平面上两点，在圆 上取一点，求:①恒成立，求的范围 ‎②求的最值及此时点的坐标。‎ 解析：①由，得，由圆的参数方程的，所以 ‎②设，则，此为圆 上的点到原点的距离平方，所以最小值为20，；最大值为100， 。‎ ‎21．（本小题满分12分）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），‎ P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，‎ 求证：过定点.‎ 试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.‎ 又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.‎ 因此，解得.‎ 故C的方程为.‎ ‎（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，‎ 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.‎ 则，得，不符合题设.‎ 从而可设l：（）.将代入得 由题设可知.‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.‎ 而 ‎.‎ 由题设，故.‎ 即.‎ 解得.‎ 当且仅当时，，欲使l：，即，‎ 所以l过定点（2，）‎ ‎22．（本小题满分12分）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上. ‎ ‎ (Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线 交椭圆于两点，射线 交椭圆于点.‎ ‎( i )求的值； （ii）求面积的最大值.‎ 试题解析：（I）由题意知 ，则 ,又 可得 ,‎ 所以椭圆C的标准方程为.‎ ‎（II）由（I）知椭圆E的方程为,‎ (1) 设， ，由题意知 因为,‎ 又 ，即 ,所以 ，即 .‎ ‎（ii）设 将代入椭圆E的方程，‎ 可得由 ，可得 …‎ 则有 ‎ 所以 ‎ 因为直线与轴交点的坐标为 ‎ 所以的面积 ‎ 令 ,将 代入椭圆C的方程可得 ‎ 由 ，可得 …………………………………………②‎ 由①②可知 ‎ 因此 ,故 ‎ 当且仅当 ，即 时取得最大值 ‎ 由（i）知， 面积为 ,所以面积的最大值为 .‎