江西省新余市第一中学2018届毕业年级第二模拟考试
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，若，则，则（ ）
A． -5 B．5 C． -1 D．1
2.已知命题甲：，命题乙：且，则命题甲是命题乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
3.若函数的值域为，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
4.在中，，则的形状为（ ）
A． 等腰三角形 B．直角三角形 C.等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
5.动点到点的距离比它到直线的距离小2，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C. D．
6.在二项式的展开式中，各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且，则展开式中常数项的值为（ ）
A． 6 B．9 C. 12 D．18
7.执行如图所示的程序框图，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为（ ）
A． B． C. D．
8.已知函数的周期为2，当时，，如果，则函数的所有零点之和为（ ）
A．2 B． 4 C. 6 D．8
9.已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C. D．
11.用表示不大于实数的最大整数，如，设分别是方程，
的根，则（ ）
A． 2 B． 3 C. 4 D．5
12.已知为奇函数，与图像关于对称，若，则（ ）
A． 2 B． -2 C. 1 D．-1
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设，且，则 ．
14.函数的图像恒过定点，若点在直线上，且为正数，则的最小值为 ．
15.函数与有相同的定义域，且都不是常值函数，对于定义域内的任何，有，，且当时，，则的奇偶性为 ．
16.在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是 ．（写出所有正确命题的编号）
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②若与都是无理数，则直线不经过任何整点；
③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点；
④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数；
⑤存在恰经过一个整点的直线.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知命题：实数满足；命题：实数满足，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
18. 在中，分别为内角的对边，已知，.
（1）若的面积等于，求；
（2）若，求的面积.
19. 已知三次函数的导函数，，为实数.
（1）若曲线在点处切线的斜率为12，求的值；
（2）若在区间上的最小值，最大值分别为-2，1，且，求函数的解析式.
20. 某品牌汽车店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如表所示：
付款方式
分1期
分2期
分3期
分4期
分5期
频数
40
20
10
已知分3期付款的频率为0.2，店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元，分2期或3期付款其利润为1.5万元，分4期或5期付款，其利润为2万元，用表示经销一辆汽车的利润.
（1）求上表中的值；
（2）若以频率作为概率，求事件：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有一位采用分期付款”的概率；
（3）求的分布列及数学期望.
21. 已知椭圆：的左右焦点分别是，直线与椭圆交于两点，当时，恰为椭圆的上顶点，此时的面积为6.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左顶点为，直线与直线分别相交于点，问当变化时，以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由.
22.已知函数，.
（1）若曲线与在公共点处有相同的切线，求实数的值；
（2）当时，若曲线与在公共点处有相同的切线，求证：点唯一；
（3）若，，且曲线与总存在公切线，求：正实数的最小值.
试卷答案
一、选择题
1-5: ABBCD 6-10:BBDBA 11、12：CB
二、填空题
13. 14. 4 15.偶函数 16. ①③⑤
16.【解析】①正确，比如直线y＝x＋，当x取整数时，y始终是一个无理数；②错误，直线y＝x－中k与b都是无理数，但直线经过整点(1,0)；③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；④错误，当k＝0，b＝时，直线y＝不通过任何整点；⑤正确，比如直线y＝x－只经过一个整点(1,0)．
三、解答题
17. 解：令
∵ “若则”的逆否命题为 “若则”,又是的必要不充分条件，∴是的必要不充分条件，
∴AÞ B ，故
18. 解：（1）
（2）依题得
①当即时， 此时
②当即时，再由
得 此时
故
19. 解析：（Ⅰ）由导数的几何意义=12
∴
∴ ∴
（Ⅱ）∵ ， ∴
由 得，
∵ ［-1，1］，
∴ 当［-1，0）时，，递增；
当（0，1］时，，递减。
∴ 在区间［-1，1］上的最大值为
∵ ，∴ =1
∵ ，
∴ ∴ 是函数的最小值，
∴ ∴
∴ =
20. （1）
（2）记分期付款的期数为，则：，，
，故所求概率
（3）Y可能取值为1，1.5，2（万元）
，
Y的分布列为：
Y
1
1.5
2
P
0.4
0.4
0.2
Y的数学期望（万元）
21. 解：（I）当时，直线的倾斜角为，所以：
解得：，所以椭圆方程是：；
（II）当时，直线：，此时，，，又点坐标是，据此
可得，，故以为直径的圆过右焦点，被轴截得的弦长为6．由此猜测当变化时，以为直径的圆恒过焦点，被轴截得的弦长为定值6．
证明如下：设点点的坐标分别是，则直线的方程是：
，所以点的坐标是，同理，点的坐标是，
由方程组 得到：，
所以：，
从而：
=0，
所以：以为直径的圆一定过右焦点，被轴截得的弦长为定值6．
22. 解：（Ⅰ），．∵曲线与在公共点处有相同的切线∴ ， 解得，．
（Ⅱ）设，则由题设有 … ①又在点有共同的切线
∴代入①得
设，则，
∴在上单调递增，所以 ＝0最多只有个实根，
从而，结合（Ⅰ）可知，满足题设的点只能是
（Ⅲ）当，时，，，
曲线在点处的切线方程为，即．
由，得 ．
∵ 曲线与总存在公切线，∴ 关于的方程，
即 总有解．
若，则，而，显然不成立，所以 ．
从而，方程可化为 ．
令，则．
∴ 当时，；当时，，即 在上单调递减，在上单调递增．∴在的最小值为，
所以，要使方程有解，只须，即．
[中国百强中学]江西省新余市第一中学2018
届毕业年级第二模拟考试理科数学试题，图片版有word答案20171006
江西省新余一中2018届毕业年级第二次模拟考试
数学试卷（理）答案
1 A 2 B 3 B 4 C 5 D 6 B 7B 8D 9B 10A 11C 12B
13． 14．4 15. 偶函数
16.①③⑤解析 ①正确，比如直线y＝x＋，当x取整数时，y始终是一个无理数；②错误，直线y＝x－中k与b都是无理数，但直线经过整点(1,0)；③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；④错误，当k＝0，b＝时，直线y＝不通过任何整点；⑤正确，比如直线y＝x－只经过一个整点(1,0)．
17．解：令
∵ “若则”的逆否命题为 “若则”,又是的必要不充分条件，∴是的必要不充分条件，
∴AÞ B ，故
18、（12分） 解：（1）
（2）依题得
①当即时， 此时
②当即时，再由
得 此时
故
19，解析：（Ⅰ）由导数的几何意义=12
∴
∴ ∴
（Ⅱ）∵ ， ∴
由 得，
∵ ［-1，1］，
∴ 当［-1，0）时，，递增；
当（0，1］时，，递减。
∴ 在区间［-1，1］上的最大值为
∵ ，∴ =1
∵ ，
∴ ∴ 是函数的最小值，
∴ ∴
∴ =
20．（1）
（2）记分期付款的期数为，则：，，
，故所求概率
（3）Y可能取值为1，1.5，2（万元）
，
Y的分布列为：
Y
1
1.5
2
P
0.4
0.4
0.2
Y的数学期望（万元）
21．解：（I）当时，直线的倾斜角为，所以：
解得：，所以椭圆方程是：；
（II）当时，直线：，此时，，，又点坐标是，据此
可得，，故以为直径的圆过右焦点，被轴截得的弦长为6．由此猜测当变化时，以为直径的圆恒过焦点，被轴截得的弦长为定值6．
证明如下：设点点的坐标分别是，则直线的方程是：
，所以点的坐标是，同理，点的坐标是，
由方程组 得到：，
所以：，
从而：
=0，
所以：以为直径的圆一定过右焦点，被轴截得的弦长为定值6．
22.解：（Ⅰ），．∵曲线与在公共点处有相同的切线∴ ， 解得，．
（Ⅱ）设，则由题设有 … ①又在点有共同的切线
∴代入①得
设，则，
∴在上单调递增，所以 ＝0最多只有个实根，
从而，结合（Ⅰ）可知，满足题设的点只能是
（Ⅲ）当，时，，，
曲线在点处的切线方程为，即．
由，得 ．
∵ 曲线与总存在公切线，∴ 关于的方程，
即 总有解．
若，则，而，显然不成立，所以 ．
从而，方程可化为 ．
令，则．
∴ 当时，；当时，，即 在上单调递减，在上单调递增．∴在的最小值为，
所以，要使方程有解，只须，即．
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