2018版高中数学第一章立体几何初步1.2.2空间两条直线的位置关系学业分层测评苏教版必修2.doc

‎1.2.2‎‎ 空间两条直线的位置关系 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[学业达标]‎ 一、填空题 ‎1．下列说法正确的有__________．(填序号)‎ ‎①两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线；‎ ‎②两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线；‎ ‎③两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线；‎ ‎④两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线．‎ ‎【解析】　①只说明两直线不同在一个平面内，没有说明平面的任意性；②把两条直线放到特定的两个平面内，也不具有任意性；③从反面肯定了两直线的异面；④中的两条直线可能在同一平面内．故填③.‎ ‎【答案】　③‎ ‎2．如图1－2－23，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若MN＝6，则BD＝________.‎ 图1－2－23‎ ‎【解析】　连结AM并延长交BC于E，连结AN并延长交CD于F，则E，F分别为BC，CD的中点，连结EF.由题意知，＝＝，‎ ‎∴EF＝×6＝9，∴BD＝2EF＝18.‎ ‎【答案】　18‎ ‎3．如图1－2－24，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形有________．‎ 6‎ ‎①　　　　②　　　　③　　　　④‎ 图1－2－24‎ ‎【解析】　①中GH∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，MN必相交．‎ ‎【答案】　②④‎ ‎4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是__________. ‎ ‎【解析】　易证四边形EFGH为平行四边形，又∵E，F分别为AB，BC的中点，‎ ‎∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°.‎ ‎∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．‎ ‎【答案】　矩形 ‎5．如果l和n是异面直线，那么和l，n都垂直的直线有________条．‎ ‎【解析】　l和n是异面直线，则和l，n都垂直相交的直线有一条m，与m平行的直线和l，n都垂直．‎ ‎【答案】　无数 ‎6．如图1－2－25，四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是________．‎ 图1－2－25‎ ‎【解析】　因四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AA1∥DD1.又AB∥CD，所以∠A1AB与∠D1DC相等．又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等．‎ ‎【答案】　∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B ‎7．如图1－2－26，三棱柱ABC－A1B‎1C1中，底面三角形A1B‎1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是________．‎ 6‎ 图1－2－26‎ ‎①CC1与B1E是异面直线；‎ ‎②C1C与AE共面；‎ ‎③AE，B1C1是异面直线；‎ ‎④AE与B1C1所成的角为60°.‎ ‎【解析】　CC1与B1E共面，CC1与AE异面，故①②错；AE与BC垂直，BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，故④错．‎ ‎【答案】　③‎ ‎8．如图1－2－27，过正方体ABCD－A1B‎1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条．‎ 图1－2－27‎ ‎【解析】　连结AC1(图略)，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．‎ ‎【答案】　4‎ 二、解答题 ‎9．如图1－2－28，E，F分别是长方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱A‎1A，C‎1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．‎ 图1－2－28‎ ‎【证明】　如图，设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，‎ ‎∴EQ綊B1C1(平行公理)，∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綊C1Q.‎ 又∵Q，F是矩形DD1C1C的两边的中点，∴QD綊C1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Q綊DF.又∵B1E綊C1Q，∴B1E綊DF，∴四边形B1EDF是平行四边形．‎ 6‎ ‎10．如图1－2－29所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角. ‎ 图1－2－29‎ ‎【解】　因为D，E分别是VB，VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1．一个正方体纸盒展开后如图1－2－30，在原正方体纸盒中有下列结论：‎ 图1－2－30‎ ‎①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.‎ 以上结论中正确的是________(填序号)．‎ ‎【解析】　把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．‎ ‎【答案】　①③‎ ‎2．如图1－2－31，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E，F分别是棱C‎1C与BC的中点，则直线EF与直线D‎1C所成的角的大小是__________．‎ 图1－2－31‎ ‎【解析】　如图，连结BC1，A1B.‎ 6‎ ‎∵BC1∥EF，A1B∥CD1，则∠A1BC1即为EF与D1C所成的角．‎ 又∵∠A1BC1为60°，‎ ‎∴直线EF与D1C所成的角为60°.‎ ‎【答案】　60°‎ ‎3．如图1－2－32所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为________．‎ 图1－2－32‎ ‎【解析】　如图，取AC的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，‎ ‎∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．‎ 在Rt△ABC中，BC＝，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝.在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.‎ 在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.‎ 在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝，‎ ‎∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.‎ ‎【答案】　 ‎4．如图1－2－33所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC 6‎ ‎′交于同一点O，且＝＝＝.‎ 图1－2－33‎ ‎(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；‎ ‎(2)求的值. ‎ ‎【解】　(1)证明：∵AA′∩BB′＝O，且＝＝，‎ ‎∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.‎ ‎(2)∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且边AB和A′B′，AC和A′C′方向都相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′，‎ 同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，‎ ‎∴△ABC∽△A′B′C′且＝＝，‎ ‎∴＝2＝.‎ 6‎