相似三角形的判定
(满分100分，30分钟完成)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(每题5分,共40分)
1 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，如果∠DBC = ∠A，BC=，AC = 3，那么CD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意知：在△BCD和△ACB中，∠C=∠C（公共角），∠DBC=∠A（已知），根据两角对相等的两三角形相似，可得△BCD∽△ACB，可得，可由BC=，AC=3，求得CD=2．
故选C
考点：相似三角形的判定与性质
2如图，△ABC的高CD和高BE相交于D，则与△DOB相似的三角形个数是
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B.
【解析】
试题分析：如图所示，
∵CD、BE是高，
∴∠1=∠2=90°，
又∵∠3=∠4，
7
∴△BOD∽△COE，
又∵CD、BE是高，
∴∠AEB=90°=∠2，
∵∠6=∠6，
∴△AEB∽△ODB，
同理可证△COE∽△CAD，
∴△BOD∽△CAD，
∴和△BOD相似的三角形有3个．
故选B．
考点：相似三角形的判定．
3.如图,在矩形ABCD中，E、F分别是DC、BC边上的点，且∠AEF=90°则下列结论正确的是（ ）。
A、△ABF∽△AEF B、△ABF∽△CEF
C、△CEF∽△DAE D、△DAE∽△BAF
【答案】C
【解析】
试题分析：根据矩形的性质可得：∠C=∠D=90°，∠DAE+∠DEA=90°，根据∠AEF=90°可得：∠CEF+∠DEA=90°，则∠DAE=∠CEF，则△CEF∽△DAE.
考点：三角形相似的判定.
4.下列图形中，不是相似三角形的是（ ）
A、 任意两个等边三角形
B、有一个角是45°的两个直角三角形
C、有一个角是92°的两个等腰三角形
D、有一个角是45°的两个等腰三角形
【答案】D．
【解析】
试题分析：Ａ项，三边成比例的两个三角形相似，两个等边三角形，三边能够成比例，故能构成相似三角形；Ｂ、Ｃ项中有两个角分别相等的两个三角形相似，Ｄ项则不是相似三角形．
考点：相似三角形的判定定理．
5. 如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】D
【解析】
7
试题分析：根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．
当∠ACP=∠B，
∠A公共，
所以△APC∽△ACB；
当∠APC=∠ACB，
∠A公共，
所以△APC∽△ACB；
当AC2=AP•AB，
即AC：AB=AP：AC，
∠A公共，
所以△APC∽△ACB；
当AB•CP=AP•CB，即=，
而∠PAC=∠CAB，
所以不能判断△APC和△ACB相似．
故选D．
考点：相似三角形的判定定理．
6. 如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D．
【解析】
试题分析：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB，同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD，∴共4对，故选D．
考点：1．相似三角形的判定；2．平行线的判定．
7. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有 （ ）
A.ΔADE∽ΔAEF B. ΔECF∽ΔAEF
C.ΔADE∽ΔECF D. ΔAEF∽ΔABF
【答案】C
【解析】
试题分析：在矩形ABCD中，∠D=∠C =90°，所以∠ADE+∠DEA =90°，∠CEF+∠CFE =90°，又因为∠AEF=90°，所以∠DEA+∠CEF =90°，所以∠DAE=∠CEF,所以ΔADE∽ΔECF，故选：C.
考点：1.矩形的性质；2.互余的性质；3.相似三角形的判定.
7
8.在△和△中，下列命题中真命题的个数为（ ）．
（1）若，，则△∽△；
（2）若，，则△∽△；
（3）若，（），，则△∽△；
（4）若，则△∽△．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
试题分析：根据相似三角形的判定定理一可知（1）是真命题，根据相似三角形的判定定理二可知（2）（3）是真命题，而两个三角形的面积相等，两个三角形不一定相似，故（4）不一定是真命题，所以选：C．
考点：1．相似三角形的判定；2．命题．
二、填空题(每题6分,共30分)
9. 如图，点D是△ABC的边AB上的一点，AD=6，BD=2，当AC= 时，△ABC∽△ACD.
A
C
D
【答案】
【解析】
试题分析：∵△ABC∽△ACD，
∴=．
即AC2=AD•AB=AD•（AD+BD）=2×6=12，
∴AC=
考点：相似三角形的判定与性质
10.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD＝4， DB＝2，则的值为 ．
7
【答案】．
【解析】
试题分析：∵AD=4，DB=2，∴AB=AD+BD=4+2=6，
∵DE∥BC，△ADE∽△ABC，∴，故答案为：．
考点：相似三角形的判定与性质．
11. 如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，B与AD交于点F，CD＝2DE．若△DEF的面积为a，则□ABCD的面积为 ．（用a的代数式表示）
【答案】12a．
【解析】
试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，∴，，
∵CD=2DE，∴DE：CE=1：3，DE：AB=1：2，
∵S△DEF=a，∴S△CBE=9a，S△ABF=4a，∴S四边形BCDF=S△CEB﹣S△DEF=8a，
∴S▱ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=8a+4a=12a．
故答案为：12a．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．
12. 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且，则∠BCA的度数为_______．
【答案】65°或115°
【解析】
试题分析：（1）当∠C为锐角时，由AD2=BD•DC，AD是BC边上的高得，△BDA∽△ADC，
∴∠CAD=∠B=25，∴∠BCA=65°；
（2）当∠C为钝角时，同理可得，△BDA∽△ADC
∴∠BCA=25°+90°=115°．
考点：相似三角形的判定与性质
13. 如图，在△ABC中D、E两点分别在BC、AC边上，若BD=CD，∠B=∠CDE，DE=2，则AB的长度是 ．
7
【答案】4
【解析】
试题分析：先根据平行线的判定定理判定AB∥DE，进而可证明△CDE∽△CBA，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出AB的长．
∵∠B=∠CDE，
∴AB∥DE，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∵BD=CD，
∴，
∵DE=2，
∴AB=4，
故答案为：4．
考点：相似三角形的判定与性质．
三、解答题(每题15分,共30分)
14. 已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于O，连结AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
【答案】（1）见试题解析；（2）AB的长为10．
【解析】
试题分析：①只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似；
②根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长．
试题解析：①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B．
∴∠APO=90°．
∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC．
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．
∴△OCP∽△PDA．
7
②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴==．
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8．
设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．
在Rt△PCO中，
∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，
∴x2=（8﹣x）2+42．
解得：x=5．
∴AB=AP=2OP=10．
∴边AB的长为10．
【考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．
15.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点D为BC上一点，BD=2．过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE=∠B．求线段EC的长度．
【答案】1．
【解析】
试题分析：根据等边对等角可得∠B=∠C，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，然后求出∠BAD=∠CDE，再利用两组角对应相等的三角形相似证明△ABD∽△DCE，根据相似三角形对应边成比例可得，然后代入数据整理即可得解．
试题解析：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∴∠BAD=∠CDE，∴△ABD∽△DCE，，∴，∴EC=1．
考点：相似三角形的判定与性质．
7
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