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宜昌市一中2016年秋季学期高二年级12月阶段考试试题
理科数学
本试题卷共4页，共23题。满分150分。考试用时120分钟。
命题人：陈永林 审题人：吴海涛
★祝考试顺利★
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题中只有一个正确答案）
1．直线的倾斜角为（ ）
A．150° B．60° C．120° D．30°
2．设集合，，则的子集的个数是（ ）
A．4 B．3 C ．2 D．1
3．用秦九韶算法求多项式 ，当时，的值为（ ）
A.27 B.86 C.262 D.789
4.下列判断错误的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”的否定是“”
C．若为真命题，则均为假命题
D．命题“若，则”为真命题，则“若，则”也为
真命题
5.执行程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是( )
A．120 B．720 C．1440 D．5040
6.直角坐标系中，已知两点，，若点满足=+，其中，，+=， 则点的轨迹为 ( ) ．
A．射线 B．直线 C．圆 D．线段
7.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A ． B．
C． D．
8.已知实数满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． 1 B． 2 C. 8 D．4
9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，
则几何体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10. 方程有两个不等实根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11. 有五根细木棍，它们的长度分别为从中任取三根，它们能搭成钝角三角形
的概率是 （ ）
A. B. C. D.
12、已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，
为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卷的横线上)
13．.将一张画有平面直角坐标系并且两坐标轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点
与点重合，若点与点重合，则的值是
14．已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B，则△ABM的周长为 _____
15．在的二面角内有一点，且点到平面、的距离分别为、，
则点到的距离为__________
16．已知棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，P，Q是面对角线A1C1上的两个不同的动点．给出以下四个结论：
①存在P，Q两点，使BP⊥DQ；
②存在P，Q两点，使BP，DQ与直线B1C都成45°的角；
③若PQ＝1，则四面体BDPQ的体积一定是定值；
④若PQ＝1，则四面体BDPQ
在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值．
以上各结论中，正确结论的序号为
三、 解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤)
17．（本题满分10分）宜昌市政府为了确定一个较为合理的居民用电标准，必须先了解全市居民日常用电量的分布情况．现采用抽样调查的方式，获得了位居民在2015年的月均用电量（单位：度）数据，样本统计结果如下图表：
⑴求出值；
⑵求月均用电量的中位数与平均数估计值；
⑶若月用电紧张指数与月均用电量（单位：度）满足如下关系式：，将频率视为概率，请估算用电紧张指数的概率．
18．（本题满分12分）已知：对任意实数都有恒成立；：关于的方程 有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
19．设椭圆过点，离心率为
(1)求椭圆的方程；
(2)求过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的中点坐标．
20．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．
（1）求圆的方程；
（2）若圆与直线交于两点，且，求的值.
21.. （本题满分12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=．
（1）求证：⊥平面；
（2）设，且平面与所成的锐二面角的大小为30°，
试求的值．
22．（本题满分12分）已知圆过点，且与圆关于直线 对称．
⑴求圆的方程；
⑵若为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值；
⑶已知直线，是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点为，试探究直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，请说明理由．
宜昌市一中2016年秋季学期高二年级12月阶段考试试题
理科数学评分说明
一、选择题 AACC BBDD DDBA
二、填空题
13、13 14、8 15、 16、①③④
17. 解：（1）第3组的频率=0.030×10=0.30
样本容量n==100 …………2分
（2）由，
…………4分…
所以平均数是33 . …………6分
（3）由y>70% 得，∴x>40 …………8分
所以，用电紧张指数y>0.7的概率=0.15+0.15=0.30 …………10分
18．解：对任意实数都有恒成立；（3分）
关于的方程有实数根；（5分）
如果P正确，且Q不正确，有；（8分）
如果Q正确，且P不正确，有．（11分）
所以实数的取值范围为．（12分）
19.（1）依题意有 ，所求方程为 6分
（2）设直线，设交椭圆于，两点，线段的中点为
，由消去得，，，
20.（Ⅰ）曲线与坐标轴的交点为（0,1）（3，
故可设圆的圆心坐标为（3，t），则有+
解得t=1,则圆的半径为.所以圆的方程为.（6分）
（Ⅱ）设A(， B(其坐标满足方程组
消去y得到方程由已知可得判别
式=56-16a-4>0由韦达定理可得， ①由可得又,所以
2, ② 由①②可得a= -1,满足>0，故a= -1.（12分）
21.解答：（1）证明：AB⊥侧面BB1C1C，BC1⊂侧面BB1C1C，∴AB⊥BC1，
在△BCC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=，由余弦定理得：
B=BC2+C﹣2BC•CC1•cos∠BCC1
=12+22﹣2×1×2×cos=3，∴BC1=，
∴BC2+B=C，∴BC⊥BC1，∵BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC．（6分）
（2）解：由（1）知，BC，BA，BC1两两垂直，以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直
系．，．∴，∴，∴，则．
设平面AB1E的法向量为，则，∴，令，则，∴．
∵AB⊥侧面BB1C1C，∴=（0，1，0）是平面BEB1的一个法向量，
∴|cos＜|=||=，
两边平方并化简得2λ2﹣5λ+3=0，∴λ=1或（舍去）．∴λ的值是1．（12分）
22. 解：(1)设圆心O(a，b)，
则解得则圆O的方程为x2＋y2＝r2，将点的坐标代入得r2＝2，故圆O的方程为x2＋y2＝2.（4分）
（2）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为.则
∴
∴
当且仅当 即 时，取“=”
∴四边形EGFH的面积的最大值为. （8分）
（3）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设.
其方程为：
即 ①
又C、D在圆O：上②
②-①∴ 即
由 得 ∴直线CD过定点 （12分）
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