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衡阳八中2016-2017高二数学12月六科联赛试卷(理科有解析)

时间:2016-12-16 11:51:01作者:佚名试题来源:网络
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衡阳市八中2016年高二上期六科联赛试题数  学(理)

一、选择题 (本大题共12小题,每小题只有一个正确答案,每小题5分,共60分)
1.双曲线 的两条渐近线夹角是(   )
A.           B.         C.           D.
2.已知向量a=(0,2,1),b=(-1,1,-2),则a与b的夹角为(  )
A.0°    B.45°    C.90°    D.180°
3.已知向量 ,且 与 互相垂直,则 的值是
A.     B.     C.     D.
4.下列命题的逆命题为真命题的是(   )
A.若 ,则     B.若 ,则
C.若 ,则           D.若 ,则
5.曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(   )
A、       B、         C、       D、
6.已知函数f(x)=x2+2x+m(m∈R)的最小值为-1,则  =(   )
A.2         B.           C.6           D.7
7.已知空间直角坐标系 中有一点 ,点 是平面 内的直线 上的动点,则 , 两点的最短距离是(   )
A.                  B.                  C.                 D.
8.极坐标方程 和参数方程 为参数)所表示的图形分别是(  )
A.圆与直线     B.圆与椭圆       C.直线与圆      D.直线与椭圆
9.参数方程 表示的曲线不经过点(   )
A.             B.             C.              D.
10.过抛物线 的焦点 且倾斜角为 的直线 与抛物线在第一、四象限分别交于 , 两点,则 的值等于(   )
A.5    B.4    C.3    D.2
11.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,点 在椭圆上,若 是一个直角三角形的三个顶点,则点 到 轴的距离为
A.      B.      C.     D.
12.已知定义在 上的函数 和 分别满足 , ,则下列不等式成立的是(   )
A.        B.
C.        D.
二、填空题 (本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若 , ,且 与 互相垂直,则 的值是_____
14.已知命题 :“ ,有 成立”,则 为_______.
15.函数 在 时取得极值,则实数 _______.
16.设 、 分别是椭圆 的左,右焦点, 为椭圆上任一点,点 的坐标为 ,则 |的最小值为________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解题时必须写出必要的计算或推理过程)
17.(10分)设 实数 满足 ,其中 ; 实数 满足 .
(1)若 ,且 为真,求实数 的取值范围;
(2)若 是 的充分不必要条件,求实数 的取值范围.
18.(10分)在极坐标系中,已知圆 的方程是 ,直线 的方程是 .
(1)以极点 为原点,极轴为 轴正半轴,建立平面直角坐标系,将直线 与圆 的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求直线 与圆 相交所得的弦长.

19.(12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,BC⊥侧面AA1C1C,AC=BC=1,CC1=2, ∠CAA1=  ,D、E分别为AA1、A1C的中点.
 
(1)求证:A1C⊥平面ABC;
(2)(2)求平面BDE与平面ABC所成角的余弦值.

20.(12分)已知函数 的图象与直线 相切于点 .
(1)求 的值;
(2)求函数 的单调区间.
21.(13分)以椭圆 的四个顶点为顶点的四边形的四条边与 共有 个交点,且这 个交点恰好把圆周六等分.
(1)求椭圆 的方程;
(2)若直线 与 相切,且与椭圆 相交于 两点,求 的最大值.

22.(13分)已知函数 .
(1)若 是定义域上不单调的函数,求 的取值范围;
(2)若 在定义域上有两个极值点 ,证明: .
衡阳市八中2016年高二上期六科联赛试题
数学(理)参考答案
1.B.
【解析】
试题分析:根据题意可知,双曲线的渐近线方程是 ,其倾斜角为 ,故两渐近线的夹角是 ,故选B.
考点:1.双曲线的标准方程;2.两直线的夹角.
2.C
【解析】
试题分析: ,所以 与 的夹角为 ,故选C.
考点:空间向量的运算
3.D
【解析】
试题分析: ,由 与 互相垂直可得
考点:向量坐标运算
4.B
【解析】
试题分析:A.“若 ,则 ”的逆命题为“若 ,则 ”,错误;B.“若 ,则 ”的逆命题为“若 ,则 ”正确;C.“若 ,则 ” 的逆命题为“若 ,则 ”,如 , ,但 ;D.“若 ,则 ”的逆命题为“若 ,则 ”,如 时, ,但 不一定成立
考点:命题真假性的判断
5.D
【解析】
试题分析:  ,故选D.
考点:1、导数的几何意义;2、三角形的面积.
6.B
【解析】
试题分析: ,当 时,  , , .故选B.
考点:求定积分.
7.B
【解析】
试题分析:∵点 是平面 内的直线 上的动点,
∴可设点 由空间两点之间的距离公式,得

当 时, 的最小值为
∴当 时, 的最小值为 ,即 , 两点的最短距离是
故选B
考点:空间两点之间的距离公式
8.D         
【解析】
试题分析:由 ,为直线;
而 为参数),消参可得; 为椭圆。
考点:极坐标,参数方程化普通方程.
9.A
【解析】
试题分析:因 ,故应选A.
考点:参数方程的理解和运用.
10.C
【解析】
试题分析:设 ,则过 分别作 的垂线,垂足分别为 ,延长 交于点 ,在 中, ,由抛物线的定义可知 ,则 ,解之得 ,故应选C.
考点:抛物线的定义及几何性质的运用.
11.C
【解析】
试题分析:由椭圆方程可知三点构成的直角三角形只能以 为直角,所以点 到 轴的距离为为通径的一半,即
考点:椭圆方程及性质
12.D
【解析】
试题分析: ,所以 , , ,设 , ,由于 , 恒成立,所以 单调递减,所以 , ,故有 ,即 ,因此 ,故选D.
考点:导数的运算及利用导数研究函数的单调性.
【方法点睛】本题主要考查了导数的运算及利用导数研究函数的单调性,属于中档题.解答本题首先对 求导,求出 ,进而得到函数 的解析式,对于 的应用,应考虑构造函数 ,求导即可得到其单调性,从而有 ,整理即可得到结论,考查考生的发散思维能力和创新能力.
13.
【解析】
试题分析: ,解得: .
考点:空间向量的运算
14. 成立
【解析】
试题分析:全称命题的否定是特称命题,所以原命题的否定 为“ 成立”.
考点:全称命题及其否定.
15. .
【解析】
试题分析:由题意得,求出函数 的导函数 ,解 可得到 的值.
考点:导数的应用.
16.
【解析】
试题分析:由椭圆方程可知 ,两焦点坐标 ,由椭圆定义可得
 ,结合三角形三边关系可知 ,所以 ,最大值为
考点:椭圆方程及定义的应用
17.(1) ;(2) .
【解析】
试题分析:(1)若 ,求出 成立的等价,利用 ∧ 为真,即可求实数 的取值范围;(2)根据 是 的充分不必要条件,建立条件关系即可求实数 的取值范围.
试题解析:
解:(1)当 时,若命题 为真,则 ;若命题 为真,则 ,
∵ ∧ 为真,即 都为真,
∴ ,即实数 的取值范围是 .
(2)若q是p的充分不必要条件,则 ,所以,实数 的取值范围是 .
考点:集合的运算,充要条件.
18.(1) , ;(2) .
【解析】
试题分析:(1)根据 转化即可;(2)首先求得圆心到直线 的距离,然后利用弦长公式求解即可.
试题解析:(1)由 ,得 ,则 ,
故圆 的极坐标方程化为直角坐标方程为 ;
由 ,得 ,即 ,则 ,
故直线 的极坐标方程化为直角坐标方程为 ,.............................5分
(2)因为圆心 到直线 的距离为 ,
所以直线 与圆 相交所得的弦长 ...............10分
考点:1、极坐标方程与直角坐标方程的互化;2、点到直线的距离;3、弦长公式.
19.(1)通过余弦定理来证明AC⊥A1C,以及结合题目中的BC⊥A1C来得到证明。
(2)
【解析】
试题分析:解:(1)证明:∵BC⊥侧面AA1C1C,A1C在面AA1C1C内,∴BC⊥A1C.  2分
在△AA1C中,AC=1,AA1=C1C=2,∠CAA1= ,
由余弦定理得A1C2=AC2+ -2AC•AA1cos∠CAA1=12+22-2×1×2×cos =3, 
∴A1C=     ∴AC2+A1C2=AA12    ∴AC⊥A1C                  5分
∴A1C⊥平面ABC.                                             6分
(2)由(Ⅰ)知,CA,CA1,CB两两垂直
∴如图,以C为空间坐标系的原点,分别以CA,CA1,CB所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(0,0,1),A(1,0,0),A1(0, ,0)
由此可得D( , ,0),E(0, ,0), =( , ,-1), =(0, ,-1).
设平面BDE的法向量为 =(x,y,z),则有 令z=1,则x=0,y=
∴ =(0, ,1)           9分
∵A1C⊥平面ABC    ∴ =(0, ,0)是平面ABC的一个法向量        10分
∴     
∴平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值为 .        12分
考点:二面角的平面角以及线面垂直
点评:主要是考查了空间中线面位置关系,以及二面角的平面角的求解的综合运用,属于中档题。
20.(1) ;(2) 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 .
【解析】
试题分析:(1)由题意可得两个等式 ,由此建立关于 的二元一次方程组,可解得 的值;(2)由导数与单调性的关系可知 的解为函数的单调递增区间, 的解为函数的单调递减区间.
试题解析:(1)
由题意知
解得
(2)由(1)知 ,
所以 ,解得
 ,解得
 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 .
考点:导数的几何意义;导数与函数的单调性.
【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义;导数与函数的单调性.求函数的切线方程的注意事项(1)首先应判断所给点是不是切点,如果不是,要先设出切点.(2)切点既在原函数的图象上也在切线上,可将切点代入两者的函数解析式建立方程组.(3)在切点处的导数值就是切线的斜率,这是求切线方程最重要的条件.曲线的切线方程是导数的几何意义的应用.
21.(1) ;(2) .
【解析】
试题分析:(1)由题意得, ,从而得到 的值,由此能求出椭圆方程;(2)当直线 的斜率不存在时,直线 的方程可求出,当当直线 的斜率存在时,可设直线 的方程,利用根的判别式,韦达定理,弦长公式,结合已知条件能求出 的最大值.
试题解析:(1)如图,依题意, , 因为 ,所以 ,  得 ,故椭圆的方程为  .
 
(2)当直线 的斜率不存在时,直线 的方程为 ,代入 ,得 ,此时 .
当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 , 因为直线 与 相切,所以 ,即 , 由 消去 ,整理得 ,
 , 由 ,得 ,设 ,则 ,
所以 ,所以
 , 当且仅当 , 即 时, 取得最大值 .综上所述, 最大值为 .
考点:1.椭圆的简单性质;2.直线与椭圆的综合;3.基本不等式.
【方法点睛】本题主要考查的是圆的方程,椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系等基础知识,推理论证能力,运算求解能力,数形结合思想,函数与方程思想,分类与整合思想,属于中档题,解决本题的最重要的思想就是数形结合思想,通过图形分析出其满足的几何关系,再通过韦达定理进行计算,即可求解,因此正确的利用圆的性质,椭圆的性质是解决问题的关键.

22.(1) ;(2)详见解析
【解析】
试题分析:(1) ,令 ,当 时, 在 单调递减,当 时, ,方程 有两个不相等的正根 ,不妨设 ,则当 时, ,当 时, ,这时 不是单调函数.综上, 的取值范围是 .(2)由(1)知,当且仅当 时, 有极小值点 和极大值 ,且 ,   令 ,则当 时, , 在 单调递减,所以 ,即 .
试题解析:解:(1) .
令 ,当 时, 在 单调递减.
当 时, ,方程 有两个不相等的正根 ,
不妨设 ,则当 时, ,当 时, ,这时 不是单调函数.
综上, 的取值范围是 
(2)由(1)知,当且仅当 时, 有极小值点 和极大值 ,
且 ,
 ,
 
 .
令 ,
则当 时, , 在 单调递减,
所以 ,即
考点:1.导数在函数单调性中的应用;2.函数的极值.

 

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