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广东实验中学2017届高三理科数学8月月考试卷(附答案)

时间:2016-09-02 16:46:37作者:佚名试题来源:网络
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2016-2017学年高三8月月考
理科数学
2016年8月
本试卷共4页,满分150分,考试时间120分钟。
注意事项:略

第Ⅰ卷(选择题部分,共60分)
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设集合 ,则 (    )
   A.  B.    C.    D.
2.若 ( 为虚数单位),则 的虚部是(    )
A.     B.   C.    D.
3.已知命题 ,命题 ,则命题 是 的(    )  
A.充分不必要条件             B.必要不充分条件
C.充要条件                   D.既不充分也不必要条件
4.已知 ,则 等于(     )
A.     B.     C.    D.
5.已知数列 是等差数列, ,则前 项和 中最大的是(     )
A.    B. 或     C. 或    D.

6.定义行列式运算 = .将函数 的图象向左平移 个单位,以下是所得函数图象的一个对称中心是 (    )
   A.         B.      C.        D.   
7.已知抛物线y2=4x,过抛物线焦点且倾斜角为 的直线与抛物线交于A、B两点,则|AB|=(    )
A.  B.  C. 5       D.
8.在四边形ABCD中, , ,则四边形的面积为(  )
A.  B.  C.5 D.10
9.执行如下右图所示的框图,若输出的结果为 ,则输入的实数 的值是(  )
A.  B.  C.  D.

 

 

 

 

 


10.某三棱锥的三视图如上左图所示,图中网格小正方形的边长为1,则该三棱锥的体积为(    )
 A. B. 4 C. 3 D. 2
11.已知变量 满足约束条件 ,若目标函数 仅在点 处取到最大值,则实数 的取值范围为
A.    B.   C.    D.

12.设函数f(x)=ax+bx-cx,其中c>a>0,c>b>0.若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列命题正确的有几个。(     )
①∀x∈(-∞,1),f(x)>0;
②∃x∈R,使ax,bx,cx不能构成一个三角形的三条边长;
③若△ABC为钝角三角形,则∃x∈(1,2),使f(x)=0. 
 A.0 B. 1 C. 2 D. 3

第Ⅱ卷(非选择题部分,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答,第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.函数 的定义域为___________.
14.二项式 的展开式的第二项的系数为 ,则 的值为       
15.已知函数 的图像为曲线C,若曲线C不存在与直线 垂直的切线,则实数m的取值范围是         
16.已知椭圆C: 的左焦点为 与过原点的直线相交于 两点,连接 ,若 ,则C的离心率            .
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤.
17.(本小题满分12分) 中,角 、 、 所对应的边分别为 、 、 ,若 .
(1)求角 ;
(2)若 ,求 的单调递增区间.

18.(本小题满分12分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题:
频率分布表
 
(Ⅰ)写出 的值;
(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动,求所抽取的2名同学来自同一组的概率;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数,求 的分布列及其数学期望.

19.(本题满分12分)四棱锥 中, 与 都是等边三角形.
(I)证明:        
(II)求钝二面角 的余弦值.
20.(本题满分12分)已知平面内一动点 到点F(1,0)的距离与点 到 轴的距离的差等于1.
(I)求动点 的轨迹 的方程;
(II)过点 作两条斜率存在且互相垂直的直线 ,设 与轨迹 相交于点 , 与轨迹 相交于点 ,求 的最小值.

21.(本小题满分12分)已知函数 ,若曲线 在点 处的切线与直线 垂直(其中e为自然对数的底数)
(1)若 在 上存在极值,求实数 的取值范围;
(2)求证:当 时,

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做第一个题目计分.
22.【选修4-1:几何证明选讲】如图所示,AC为⊙O的直径,D为 的中点,E为BC的中点.
(Ⅰ)求证:DE∥AB;
(Ⅱ)求证:AC•BC=2AD•CD.
23.【选修4-4:坐标系与参数方程选讲】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为: ,曲线C的参数方程为:  (α为参数).
(I)写出直线l的直角坐标方程;
(Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.
24.【选修4-5:不等式选讲】设函数
(I)解不等式 ;  (Ⅱ)当 时,证明: .

 

 

2016-2017学年高三8月月考
理科数学答案及说明
一、选择题:每小题5分,满分60分.
1~12   D.B.A.D.  B.B.D.C.  D.C.B.D.

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。
13.    14.     15.      16.  .
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分) 中,角 、 、 所对应的边分别为 、 、 ,若 .
(1)求角 ;
(2)若 ,求 的单调递增区间.
 17.解:(1)由 ,得 ,
即 ,由余弦定理,得 ,……5分
 ,∴ ;                     ……6分
(2) 
         …………9分
由 ,得 ,
故 的单调递增区间为 , .  ………12分

18. (本小题满分12分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题:
频率分布表
 
(Ⅰ)写出 的值;
(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动,求所抽取的2名同学来自同一组的概率;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数,求 的分布列及其数学期望.
18.解:(Ⅰ)设总数为 ,则 ,所以第四组的频数为 ,
则 , ,
… ……4分
(Ⅱ)由题意可知,第4组有4人,第5组有2人,共6人.
从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学有
 种情况.     ………………………………………………………………6分
设事件 :随机抽取的2名同学来自同一组,则
 .
所以,随机抽取的2名同学来自同一组的概率是 . …………………………8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知, 的可能取值为 ,则
     , , .
所以, 的分布列为
 
 
 
 

    
 

 

…………………………………………11分

所以, .  ……………………………………12分
19.(本小题满分12分)如图,四棱锥P­ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB和△PAD都是等边三角形.
(1)证明:PB⊥CD;
(2)求二面角A­PD­C的大小.

(1) 证明:取BC的中点E,连接DE,
则ABED为正方形.
过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.
连接OA,OB,OD,OE.
由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD,
所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点,
故OE⊥BD,从而PB⊥OE.
因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE∥CD.因此PB⊥CD. ………………6分
(2)法一:由(1)知CD⊥PB,CD⊥PO,PB∩PO=P,
故CD⊥平面PBD.
又PD⊂平面PBD,所以CD⊥PD.
取PD的中点F,PC的中点G,连接FG,
则FG∥CD,FG⊥PD.
连接AF,由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.
所以∠AFG为二面角A­PD­C的平面角.
连接AG,EG,则EG∥PB.
又PB⊥AE,所以EG⊥AE.
设AB=2,则AE=2 2,EG=12PB=1,
故AG= AE2+EG2=3.
在△AFG中,FG=12CD=2,AF=3,AG=3,
所以cos ∠AFG=FG2+AF2-AG22×FG×AF=-63.
所以二面角A­PD­C的余弦值为-63                ………………………12分
法二:由(1)知,OE,OB,OP两两垂直.
以O为坐标原点,OE―→的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.

设|AB|=2,则A(-2,0,0),D(0,-2,0),C(2 2,-2,0),P(0,0,2),
PC=(2 2,-2,-2),PD=(0,-2,-2),
AP=(2,0,2),AD=(2,-2,0).
………………………7分
设平面PCD的法向量为n1=(x,y,z),则
n1•PC―→=x,y,z•22,-2,-2=0,n1•PD―→=x,y,z•0,-2,-2=0,
可得2x-y-z=0,y+z=0.
取y=-1,得x=0,z=1,故n1=(0,-1,1).………………………9分
设平面PAD的法向量为n2=(m,p,q),则
n2•AP―→=m,p,q•2,0,2=0,n2•AD―→=m,p,q•2,-2,0=0,
可得m+q=0,m-p=0. 
取m=1,得p=1,q=-1,故n2=(1,1,-1).………………………11分
于是cos〈n1,n2〉=n1•n2|n1||n2|=-63.
所以二面角A­PD­C的余弦值为-63            ………………………12分

20. (本题满分12分)已知平面内一动点 到点F(1,0)的距离与点 到 轴的距离的差等于1.
(I)求动点 的轨迹 的方程;
(II)过点 作两条斜率存在且互相垂直的直线 ,设 与轨迹 相交于点 , 与轨迹 相交于点 ,求 的最小值.
20.解:(I)设动点 的坐标为 ,由题意为
化简得
当 、
所以动点P的轨迹C的方程为   ……………………5分
(II)由题意知,直线 的斜率存在且不为0,设为 ,则 的方程为 .
由 ,得 
设 则 是上述方程的两个实根,于是
      .                       …………………………6分
因为 ,所以 的斜率为 .
设 则同理可得  ………………………7分
故             ……………………………11分
当且仅当 即 时, 取最小值16.……………………………12分


21.(本小题满分12分)已知函数 ,若曲线 在点 处的切线与直线 垂直(其中e为自然对数的底数)
1)若 在 上存在极值,求实数 的取值范围;
2)求证:当 时,
21.1) ,                      …………………………1分
由题意得 ,解得 。               …………………………2分
所以 ,由 得 ;
当 时, ;当 时, ,所以, 为 的极大值点,
…………………………3分

所以 ,所以 。              …………………………4分
2)记 ,则 ,

则 ,( ,所以当 时, ,
所以当 , ,所以, 。…………………………8分
记 , ,
当 时, ,
所以 ,                         …………………………11分
所以当 时, ,即 ,
所以 。                    …………………………12分


四、选做题:请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.(本大题10分)
22.【选修4-1:几何证明选讲】如图所示,AC为⊙O的直径,D为 的中点,E为BC的中点.
(Ⅰ)求证:DE∥AB;
(Ⅱ)求证:AC•BC=2AD•CD.


解答: 证明:(Ⅰ)连接BD,因为D为 的中点,所以BD=DC.
因为E为BC的中点,所以DE⊥BC.
因为AC为圆的直径,所以∠ABC=90°,
所以AB∥DE.…(5分)
(Ⅱ)因为D为 的中点,所以∠BAD=∠DAC,
又∠BAD=∠DCB,则∠DAC=∠DCB.
又因为AD⊥DC,DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD.
所以 = ,AD•CD=AC•CE,2AD•CD=AC•2CE,
因此2AD•CD=AC•BC.…(10分)


23.【选修4-4:坐标系与参数方程选讲】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为: ,曲线C的参数方程为: (α为参数).
(I)写出直线l的直角坐标方程;
(Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.

解答: 解:(1)∵直线l的极坐标方程为: ,
∴ρ( sinθ﹣ cosθ)= ,
∴ ,
∴x﹣ y+1=0.…………………………5分
(2)根据曲线C的参数方程为: (α为参数).

(x﹣2)2+y2=4,
它表示一个以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,
圆心到直线的距离为:
d= ,∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值 = .…………………………10分

24.【选修4-5:不等式选讲】设函数f(x)=|x+2|﹣|x﹣2|
(I)解不等式f(x)≥2;
(Ⅱ)当x∈R,0<y<1时,证明:|x+2|﹣|x﹣2|≤ .
解答: (Ⅰ)解:由已知可得: ,
由x≥2时,4>2成立;﹣2<x<2时,2x≥2,即有x≥1,则为1≤x<2.
所以,f(x)≥2的解集为{x|x≥1};…………………………5分
(II)证明:由(Ⅰ)知,|x+2|﹣|x﹣2|≤4,
由于0<y<1,则 =( )[y+(1﹣y)]=2+ + ≥2+2=4,
则有 .…………………………10分


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