菏泽市2016届高三下学期一模考试
数学试题（理）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1.复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（ ）
A. B. C. D.
【知识点】复数乘除和乘方
【试题解析】
所以z的共轭复数为1+i，即对应点为（1，1）。
故答案为：A
【答案】A
2.已知集合，集合，则为（ ）
A. B. C. D.
【知识点】集合的运算
【试题解析】因为
所以
故答案为：C
【答案】C
3. 已知函数的部分图像如图所示，向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39，由此可估计的值约为（ ）
A. B. C. D.
【知识点】几何概型积分
【试题解析】 表示阴影部分的面积s。因为所以s=。
故答案为：D
【答案】D
4.圆被直线分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（ ）
A. B. C. D.
【知识点】直线与圆的位置关系
【试题解析】的圆心为（1，0），半径为1．
圆心到直线的距离为所以较短弧长对的圆心角为
较长弧长对的圆心角为故弧长之比为1:2．
故答案为：A
【答案】A
5.若的展开式中项系数为20，则的最小值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【知识点】均值定理二项式定理与性质
【试题解析】的通项公式为：
令12-3r=3，所以r=3．所以
所以
故答案为：C
【答案】C
6.下列四个判断：
某校高三（1）班的人数和高三（2）班的人数分别是和，某次数学测试平均分分别是，则这两个班的数学平均分为；
从总体中抽取的样本，则回归直线必过点；
已知服从正态分布，且，则其中正确的个数有（ ）
A.0个 B. 1个 C.2个 D. 3个
【知识点】样本的数据特征变量相关
【试题解析】对：平均分为故错；
对‚：样本的中心点为（3，3．475），所以回归直线必过点（3，3．475）。故‚错；
对ƒ：，
故ƒ正确。
故答案为：B
【答案】B
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. B.
C. D.
【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】该几何体是半个圆锥，故
故答案为：A
【答案】A
8. 函数（为自然对数的底数）的图像可能是（ ）
【知识点】函数的奇偶性
【试题解析】由解析式知函数为偶函数，故排除B、D。
又故选A。
故答案为：A
【答案】A
9.点是抛物线于双曲线的一条渐近线的一个交点，若点到抛物线的焦点的距离为，则双曲线的离心率等于（ ）A. B. C. D.
【知识点】双曲线抛物线
【试题解析】因为点到抛物线的焦点的距离为，故A到准线距离为p，所以A（）
双曲线渐近线为故，
即e=。
故答案为：B
【答案】B
10. 若函数在区间上的值域为，则的值是（ ）
A.0 B. 1 C. 2 D. 4
【知识点】函数综合
【试题解析】
故答案为：D
【答案】D
二、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上的相应位置.
11. 已知命题，若为假命题，则的取值范围是
【知识点】全称量词与存在性量词
【试题解析】若为假命题，则p为真命题。
设若对，
则
故答案为：
【答案】
12. 分别是角A,B,C的对边，的面积为，且，则
【知识点】解斜三角形
【试题解析】由得
由余弦定理得：或
故答案为：2或
【答案】2或 （填写一个不给分）
13.右图表示的是求首项为-41，公差为2的等差数列前n项和的最小值得程序框图，如果中填，则可填写
【知识点】等差数列算法和程序框图
【试题解析】因为所有负数项的和最小，所以当a>0时，前n项和最小。
故答案为：
【答案】
14. 若满足不等式组，表示平面区域为D，已知点，点是D上的动点，，则的最大值为
解答
【知识点】线性规划
【试题解析】作可行域：
由题知：所以
设M（x，y），由得：
即的最大值为
故答案为：
【答案】
15.若函数的导数仍是的函数，就把的导数叫做函数二阶导数，记做。同样函数的n-1阶导数叫做的n阶导数，表示.在求的n阶导数时，已求得根据以上推理，函数的第阶导数为
【知识点】函数综合
【试题解析】由题知：当n为奇数时，函数的n阶导数为正，n为偶数时，函数的n阶导数为负。
根据题中条件得到规律。
故答案为：
【答案】 [（n-1）!写成1·2·3·……n的给满分]
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡上的相应位置.
16.（本小题满分12分）
已知函数
求的最大值；
求的图像在轴右侧第二个最高点的坐标.
【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题解析】（1）由已知，有f（x）＝cos x·（sin x＋cos x）－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－（1＋cos 2x）+ ＝sin 2x－cos 2x＝sin（2x－）．
所以f（x）的最大值为;
（2）令2x－=，得，
令，得．
所以f（x） 的图象在轴右侧第二个最高点的坐标是．
【答案】（1）;（2）
17. （本小题满分12分）
如图，三棱锥中，和所在平面互相垂直，且,分别为的中点.
求证：平面平面;
求二面角的正弦值.
【知识点】空间的角垂直
【试题解析】（1）证明 由BC＝4，，∠ACB＝45°，
则，
显然，，所以，即．
又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCD=BC，平面ABC，
所以平面BCD，
又平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD．
（2）（方法一）由BC＝BD，F分别为DC的中点，
知，由CD=，知，知，
所以，则，
如图，以点B为坐标原点，以平面DBC内与BC垂直的直线为轴，以BC为y轴，以BA为轴建立空间坐标系；
则，，，，
所以，．
显然平面CBF的一个法向量为n1＝（0，0，1），
设平面BBF的法向量为n2＝（x，y，z），
由得其中一个n2＝（，－1，1），
设二面角E－BF－C的大小为θ，则＝|cos〈n1，n2〉|＝＝，
因此sin θ＝，即二面角E－BF－C的正弦值为．
（方法二）
连接BF，由BC＝BD，F分别为DC的中点，知BF⊥DC，……5分
如图，在平面ABC内，过E作EG⊥BC，垂足为G，则G是BC的中点，且EG平面BCD．
在平面DBC内，过G作GH⊥BF，垂足为H，连接EH．
由EG平面BCD，知EGBF，又EH⊥BF，EGEH=E，EG，EH平面EHG，
所以BF平面EHG，所以是二面角E－BF－C的平面角．
由GH⊥BF，BF⊥DC，则GH//FC ，
则EG是△ABC的中位线，所以EG=，
易知HG是△BFC的中位线，所以HG=，
所以， sin=，
即二面角E－BF－C的正弦值为．
【答案】详见解析
17. （本小题满分12分）
某架飞机载有5位空降兵空降到A、B、C三个地点，每位空降兵都要空降到A、B、C中任意一个地点，且空降到每一个地点的概率都是，用表示地点C空降人数，求：
地点A空降1人，地点B、C各空降2人的概率；
随机变量的分布列与期望.
【知识点】随机变量的期望与方差随机变量的分布列古典概型
【试题解析】（1）基本事件的总数为个，
“地点A空降1人，地点B、C各空降2人”包含的基本事件为，
所以所求事件的概率为：；
（2）由题意知随机变量 ，
∴随机变量的所有可能取值为
，
所以随机变量的分布列为:
根据二项分布得数学期望．
【答案】（1）（2）详见解析
17. （本小题满分12分）
已知数列的前项和
求数列的通项公式；
设数列的通项，求数列的前项和.
【知识点】倒序相加，错位相减，裂项抵消求和数列的概念与通项公式
【试题解析】（1）当时，
当，得，（）;
（2）由题意知=
记的前项和为，的前项和为，
因为=，
所以
两式相减得2+=
所以，
又，所以=
=．
【答案】（1）（2）；
20.（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.
求椭圆的方程；
过原点的直线与椭圆交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点在椭圆C上，且，直线与轴轴分别交于两点。
设直线斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；
求面积的最大值.
【知识点】圆锥曲线综合椭圆
【试题解析】（1） ，
设直线与椭圆交于两点．不妨设点为直线和椭圆在第一象限的交点，
又∵弦长为，∴，∴，可得，
解得，∴椭圆方程为．
（2）（i）设，则，[来源:Z_xx_k．Com]
直线AB的斜率，又，故直线AD的斜率，
设直线AD的方程为，由题意知．
由可得．
所以因．
由题意知所以
所以直线BD的方程为
令y=0，得，可得，
所以．因此存在常数使得结论成立．
（ii）直线BD的方程为．
令x=0得，即，
由（i）知，可得的面积．
因为，当且仅当时等号成立，
此时S取得最大值，所以的面积为最大．
【答案】（1）（2）详见解析
21. （本小题满分14分）
已知函数
当时，求的单调区间；
若不是单调函数，求实数的取值范围.
【知识点】导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性
【试题解析】函数定义域为，
;
（1）当时，，令 ，
则 ，由，得，
则时，；时，，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以，
即， 所以在上是增函数，
即的增区间为．
（2）由（1）知，
①当时，，
故，于是，
则在上是增函数，故不合题意；
②当时，令 ，
，由，得，
于是时，；时，，
即所以在上是减函数，在上是增函数，
而，，
故在上存在唯一零点，
设其为，则时，，即；
时，，即，
所以在上是增函数，在上是减函数，
所以不是单调函数，故符合题意．
所以实数的取值范围是．
【答案】（1）（2）
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