宜昌一中2014-2015高二数学3月月考试题（文科带答案）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1. 若为全体正实数集合，，则下列结论正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知平面向量，，且，则( )
A． B． C． D．
3． “”是 “”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 函数在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲
线在点处切线的斜率为 （ ）
A． B． C． D．
6．设是双曲线的两个焦点, 是上一点,若且的最小内角为,则的离心率为( )
A． B． C． D．
7. 定义运算为执行如图所示的程序框图输出的s值，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．―1
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8．在正方体中，，分别，是的中点，则下列判断错误的是（ ）
A． 与垂直 B．与垂直
C．与平行 D．与平行
9. 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )
A. B. C. D.
10.已知是定义在上的奇函数，且当时，不等式成立，若， ，则大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
11.函数=的定义域为 ．
12.复数满足(是虚数单位)，则复数对应的点位于复平面的第 象限.
13．已知，，则 ．
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14．向量在正方形网格中的位置如图所示.设向量,若，则实数 .
15.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为 ．
16.记等差数列的前n项的和为，利用倒序求和的方法得：；类似地，记等比数列的前n项的积为，且，试类比等差数列求和的方法，将表示成首项，末项与项数n的一个关系式，即= .
17.对于实数，用表示不超过的最大整数，如若，,为数列的前项和，则：
（1）= ；
（2）= ．
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.
19.（本小题满分12分）
设等比数列的前项和为，且.
（1）求等比数列的通项公式；
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（2）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
20.（本小题满分13分）
如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且。
（1）求证：平面；
（2）若为线段的中点，为中点.求点到平面的距离.
21．（本小题满分14分）
已知椭圆的右焦点为F(2,0)，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点（）．
22.(本小题满分14分)
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
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（2）若恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）证明：.
- 8 -
19.解：（1）， 时
时， 时
由于数列是等比数列，所以其公比 …………3分
令得，，
等比数列的通项公式为 …………6分
（2）， …………8分
则，即得 ………10分
又为正整数存在正整数使得，正整数的最大值为3 ………12分
20解：（Ⅰ）证明：∵底面为正方形，
∴，又，∴平面，
∴. 同理， ∴平面．
……6分
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（Ⅱ）解：法一：等体积法得到距离为
法二：建立如图的空间直角坐标系，
则.
∵为中点，∴
P
A
B
C
D
E
F
y
x
z
同理，设为平面的一个法向量，
则，．又，
令则.
得．
又
∴点到平面的距离.
……13分
21．解：（1）由△是等腰直角三角形，得 c2＝2＝4, a2＝8
=
故椭圆方程为 ……5分
（2）(1)若直线的斜率存在，设方程为，依题意．
设，，
由 得 ． ……6分
则． ……7分
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（3）由（2）知，当时有在恒成立，
且在上是减函数，，即在上恒成立，
令，则，即，从而，
得证. ……14分
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