2015版高中数学 2.3 等比数列 第4课时练习 新人教B版必修5.doc

‎2.3等比数列第4课时测试题（带解析新人教B版必修五）‎ 一、选择题 ‎1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为(　　)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ a b c A．1　 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由题意知a＝，b＝，c＝，故a＋b＋c＝1.‎ ‎2．若Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2，则{an}是(　　)‎ A．等比数列，但不是等差数列 B．等差数列，但不是等比数列 C．等差数列，但也是等比数列 D．既不是等差数列，又不是等比数列 ‎[答案]　B ‎[解析]　Sn＝n2，Sn－1＝(n－1)2(n≥2)，‎ ‎∴an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)，‎ 又a1＝S1＝1满足上式，∴an＝2n－1(n∈N*)‎ ‎∴an＋1－an＝2(常数)‎ ‎∴{an}是等差数列，但不是等比数列，故应选B．‎ ‎3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)‎ A．6　 B．7‎ C．8 D．9‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　设等差数列的公差为d，由由a4＋a6＝－6得‎2a5＝－6，‎ ‎∴a5＝－3.又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2，‎ ‎∴Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，故当n＝6时Sn取最小值，故选A．‎ ‎4．等比数列{an}的前n项和为Sn，且‎4a1,‎2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝(　　)‎ A．7　 B．8‎ C．15 D．16‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　设等比数列的公比为q，则由‎4a1,‎2a2，a3成等差数列，得‎4a2＝‎4a1＋a3，‎ ‎∴‎4a1q＝‎4a1＋a1q2，又∵a1＝1，‎ - 6 -‎ ‎∴q2－4q＋4＝0，q＝2.‎ ‎∴S4＝＝15.‎ ‎5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　)‎ A．13　 B．35‎ C．49 D．63‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，‎ ‎∴S7＝＝49.‎ ‎6．在数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5(　　)‎ A．成等差数列　 B．成等比数列 C．倒数成等差数列 D．不确定 ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意，得‎2a2＝a1＋a3，‎ a＝a2·a4， ①‎ ＝＋. ②‎ ‎∴a2＝，代入①得，a4＝ ③‎ ‎③代入②得，＝＋，∴＋＝＋，‎ ‎∴a＝a‎1a5.‎ 二、填空题 ‎7．(2014·天津理，11)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　本题考查等差数列等比数列综合应用，由条件：‎ S1＝a1，‎ S2＝a1＋a2＝a1＋a1＋d＝‎2a1－1，‎ S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝‎4a1＋6d＝‎4a1－6，‎ ‎∴(‎2a1－1)2＝a1·(‎4a1－6)，‎ 即‎4a＋1－‎4a1＝‎4a－‎6a1，‎ ‎∴a1＝－.‎ ‎8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.‎ ‎[答案]　24‎ ‎[解析]　设等差数列的首项为a1，公差为d，‎ 则a2＋a4＋a9＝‎3a1＋12d，又S9＝72，‎ ‎∴S9＝‎9a1＋×9×8×d＝‎9a1＋36d＝72，‎ ‎∴a1＋4d＝8，‎ - 6 -‎ ‎∴a2＋a4＋a9＝3(a1＋4d)＝24.‎ 三、解答题 ‎9．(2013～2014学年度贵州遵义四中高二期中测试)已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求a1＋a4＋a7＋a10＋…＋a3n－2.‎ ‎[解析]　(1)设公差为d，由题意，得 a＝a1·a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，‎ 又a1＝25，解得d＝－2或d＝0(舍去)．‎ ‎∴an＝a1＋(n－1)d＝25＋(－2)×(n－1)＝27－2n.‎ ‎(2)由(1)知a3n－2＝31－6n，‎ ‎∴数列a1，a4，a7，a10，…，是首项为25，公差为－6的等差数列．‎ 令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2‎ ‎＝＝－3n2＋28n.‎ 一、选择题 ‎1．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝·(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是(　　)‎ A．5月、6月　 B．6月、7月 C．7月、8月 D．8月、9月 ‎[答案]　C ‎[解析]　设第n个月份的需求量超过1.5万件．则Sn－Sn－1＝(21n－n2－5)－[21(n－1)－(n－1)2－5]＞1.5，‎ 化简整理，得n2－15n＋54＜0，即6＜n＜9.∴应选C．‎ ‎2．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log‎2a1＋log‎2a3＋…＋log‎2a2n－1＝(　　)‎ A．n(2n－1)　 B．(n＋1)2‎ C．n2 D．(n－1)2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由已知，得an＝2n，log‎2a2n－1＝2n－1，‎ ‎∴log‎2a1＋log‎2a3＋…＋log‎2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.‎ ‎3．等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1等于(　　)‎ A．　 B． C．20 D．110‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意知：S奇＝a1·a3·…·a2n＋1＝100，‎ S偶＝a2·a4·…·a2n＝120，‎ - 6 -‎ ‎∴＝·a1＝a1·qn＝an＋1，‎ ‎∴an＋1＝＝.‎ ‎4．已知数列{an}的首项a1＝2，且an＝4an－1＋1(n≥2)，则a4为(　　)‎ A．148　 B．149‎ C．150 D．151‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵a1＝2，an＝4an－1＋1(n≥2)，∴a2＝‎4a1＋1＝4×2＋1＝9，a3＝‎4a2＋1＝4×9＋1＝37，a4＝‎4a3＋1＝4×37＋1＝149.‎ 二、填空题 ‎5．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则＋的值__________．‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　b2＝ac,2x＝a＋b,2y＝b＋c，‎ ‎∴＋＝＋ ‎＝＝＝2.‎ ‎6．将全体正整数排成一个三角形数阵：‎ ‎1‎ ‎2　3‎ ‎4　5　6‎ ‎7　8　9　10‎ ‎……‎ 按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即个，因此第n行从左向右的第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.‎ 三、解答题 ‎7．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.‎ ‎[解析]　(1)设公比为q(q>0)，‎ ‎∵a1＝2，a3＝a2＋4，‎ ‎∴a1q2－a1q－4＝0，‎ 即q2－q－2＝0，解得q＝2，‎ ‎∴an＝2n.‎ ‎(2)由已知得bn＝2n－1，‎ ‎∴an＋bn＝2n＋(2n－1)，‎ - 6 -‎ ‎∴Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)‎ ‎＝＋ ‎＝2n＋1－2＋n2.‎ ‎8．(2013～2014学年度安徽宿州市泗县双语中学高二期末测试)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.‎ ‎(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列．‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和．‎ ‎[解析]　(1)∵an＋1＝2an＋2n，‎ ‎∴＝＋1，即bn＋1＝bn＋1，‎ ‎∴bn＋1－bn＝1.‎ 故数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．‎ ‎(2)由(1)知bn＝n，∴an＝n·2n－1.‎ Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1，‎ ‎2Sn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，‎ 两式相减得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n ‎＝－n·2n ‎＝2n－1－n·2n，‎ ‎∴Sn＝(n－1)2n＋1.‎ ‎9．已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n＝1,2，….‎ ‎(1)证明：数列是等比数列；‎ ‎(2)求数列的前n项和Sn.‎ ‎[解析]　(1)∵an＋1＝，‎ ‎∴＝＝＋·，‎ ‎∴－1＝，‎ 又a1＝，∴－1＝，‎ ‎∴数列是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎(2)由(1)知－1＝·＝，‎ 即＝＋1，∴＝＋n.‎ 设Tn＝＋＋＋…＋， ①‎ - 6 -‎ 则Tn＝＋＋…＋＋， ②‎ ‎①－②得Tn＝＋＋…＋－ ‎＝－＝1－－，‎ ‎∴Tn＝2－－.又1＋2＋3＋…＋n＝.‎ ‎∴数列的前n项和 Sn＝2－＋＝－.‎ - 6 -‎