景胜中学2015--2016学年度第一学期月考（12月）
高二数学试题（理）
时间120分钟满分150分
一． 选择题
1. 全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是（ ）
A． 所有被5整除的整数都不是奇数 Ｂ.所有奇数都不能被5整除
Ｃ．存在一个被5整除的整数不是奇数 Ｄ．存在一个奇数，不能被5整除
2. 下列命题：
(1)“若”的逆命题；(2)“全等三角形面积相等”的否命题；
(3)“若a>1,则关于x的不等式的解集为R”的逆否命题；
(4)“命题“为假”是命题“为假”的充分不必要条件”.
其中正确命题的个数是（ ）
A. 1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
3.在平面直角坐标系中，已知点，沿x轴把坐标平面折成的二面角后线段AB的长度为（ ）
A.5 Ｂ．7 Ｃ． Ｄ．
4.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）
A．若,,,则 B．若,,,则
C．若,,,则 D．若,,,则
5.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到正视图可以为
A． B． C． D．
6.已知为平面内两个不重合的定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是 （ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
7.已知a>b>0，椭圆的方程为，双曲线的方程为，的离心率之积为，则的渐进线方程为（ ）
15
A. Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8.在正方体中，点O为底面ABCD的中心，点P为线段的中点，则直线OP与平面所成角的大小为（ ）
A. Ｂ． Ｃ． Ｄ．
9. 已知边长都为1的正方形ABCD与DCFE所在的平面相互垂直，点P、Q分别是线段BC、DE上的动点（包括端点），PQ=.设线段PQ中点的轨迹为，则的长度为（ ）
A.2 Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10.已知点M为直线上任意给定的一点，点N，则过点M、N且与直线相切的圆可能有（ ）个.
A.0或1 Ｂ． 1或2 Ｃ．0，1或2 Ｄ．2
11.如图,是椭圆与双曲线的公O
x
y
A
B
F1
F2
（第11题图）
共焦点,分别是,在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形,则的离心率是
A． B． C． D．
12.设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为
A．或 B．或
C．或 D．或
一． 填空题
13.若双曲线C经过点，且与具有相同的渐近线，则C的标准方程为_________.
14.在三棱锥P-ABC中，，AB=AC=PA，，点E满足，则直线AE和PC所成角的余弦值是_________.
15.已知p:,q:,若成立的一个充分而不必要条件是，则实数a的取值范围为_________.
15
16.已知椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其左焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的取值范围为_________.
一． 解答题
17.已知，命题P：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得成立。
（ Ⅰ ）当a=1, p且q为假，p或q为真时，求m的取值范围；
（ Ⅱ ）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围。
18.已知两点，满足条件的动点P的轨迹是曲线E，直线与曲线E交于不同两点A、B：
（ Ⅰ）求k的取值范围； ( Ⅱ )若，求直线的方程。
19.已知抛物线，点P（a,0)是x轴上一点，过点P作直线与该抛物线相交于不同的两点A、B
（Ⅰ）若直线的斜率为1，当点P在x轴上运动时，求线段AB中点M的轨迹方程；
（Ⅱ）点F为该抛物线的焦点，若，求直线的方程。
20.如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M是线段的中点，N是线段BC的中点，点P在直线上，且满足
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得平面PMN与平面ABC所成的锐二面角的大小为？右存在，求出λ的值；否则说明理由．
21.如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面,,分别是,的中点.
第21题图
(I)记平面与平面的交线为,试判断直线与平面的位置关系,并加以证明;
15
(II)设(I)中的直线与圆的另一个交点为,且点满足.记直线与平面所成的角为,异面直线与所成的角为,二面角的大小为,求证:.
22.如图所示，已知点A是离心率为的椭圆C：上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合。
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)求面积的最大值；
(Ⅲ)设直线AB、AD的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在实数λ，使得成立？若存在，求出λ的值；否则说明理由．
考生注意：只交答题纸卷！
一
学校__________________ 班级_________________ 姓名_________________ 考号___________________
********************** 密 *********************************封***********************************线*********************
景胜中学2015--2016学年度第一学期月考（12月）
高二数学答题纸（理） 时间120分钟满分150分
考生注意：
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、__________ 14、_________ 15、__________ 16、_________
三、计算题（本大题共6题，共70分）
17、
15
15
18、
19、
15
20、
21、
15
22、
15
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
景胜中学2015-2016学年度第一学期月考（12月）
高二数学试题答案 2015.12.17
参考答案（理科）
一．选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
A
D
A
C
C
D
D
C
D
C
二． 填空题
13. 14. 15. 16.
三．解答题
17．解（Ⅰ）∵对任意 x Î[ -1,1] ，不等式 x -1 ³ m 2 - 3m 恒成立
∴( x - 1) min ³ m 2 - 3m 即m 2 - 3m £ -2 解得1 £ m £ 2
即 p 为真命题时，m 的取值范围是[1, 2] 。
∵a = 1，且存在 x Î[ -1,1] ，使得m £ ax 成立 ∴m £ 1
即命题q 为真时，m £ 1
∵ p 且q 为假， p 或q 为真 ∴ p 、q 一真一假
当 p 真q 假时，则
当p假q 真时，则
综上所述， （也可写为 ） …………………5分
（Ⅱ）当a = 0 时显然不合题意，
当a > 0 时，存在 x Î[ -1,1] ，使得m £ ax 成立
命题q 为真时m £ a
∵ p 是q 的充分不必要条件
∴ a ³ 2
当 a < 0 时，存在 x Î[ -1,1] ，使得m £ ax 成立
命题q 为真时m £ -a
∵ p 是q 的充分不必要条件
∴a £ -2
综上所述， …………………10分
18. 解（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线 E 是以 为焦点的双曲线的右支，且c = , a = 1，易知b = 1.故曲线 E 的方程为 x 2 - y 2 = 1( x > 0)
设，由题意建立方程组
消去，得
15
又已知直线与双曲线左支交于两点，则
解得
即k的取值范围是 …………6分
（Ⅱ）∵
依题意得，
整理后得，解得
又，，故直线AB的方程为 …………12分
19解：（Ⅰ）设,
法一 ：联立
又
故线段AB中点M的轨迹方程为
法二 ：
15
线段AB中点M的轨迹方程为 …………6分
(Ⅱ)过A、B作准线的垂线，垂足分别为，
由，则点B为PA的中点，连接OB，故
，B点的横坐标为，代抛物线的方程中得B的纵坐标为，
由B和P知直线的方程为
此时该直线与抛物线有两个交点，符合题意。
（该题方法较多，其它方法同样给分） …………12分
20. 解：（Ⅰ）以 A 为原点．AB、AC、AA1 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系．P(λ，0,1)，
则，
……………6分
（2）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为，即可得到平面ABC的一个法向量为，设平面PMN的一个法向量为，.
由得 ，
解得
令于是由
15
，
解得的延长线上，且，满足题意……………12分
15
21.解:
15
22．解：（Ⅰ），
∴椭圆方程为
又点在椭圆上 ，
，， 椭圆方程为 ……………………3分
（Ⅱ）设直线BD方程为 ，
15
，
设为点到直线的距离，
当且仅当时，的面积最大，最大值为 ……………………8分
（Ⅲ）当直线BD过椭圆左顶点时，
此时，猜想时成立。
证明如下：
当，，故当且仅当时满足条件
（其它方法也同样给分）……………………12分
15
微信/支付宝扫码支付