高中数学 （2.2.2 等差数列通项公式）示范教案 新人教A版必修5.doc

2.2.2　等差数列通项公式 从容说课 本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式 及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；让学生明白一个数列的通 项公式是关于正整数 n 的一次型函数，那么这个数列必定是一个等差数列，使学生学会用图 象与通项公式的关系解决某些问题. 在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在教学过程中， 遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程， 激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位，通过等差数列 概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识. 通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与 一般的辩证唯物主义观点，通过等差数列的图象的应用，通过等差数列通项公式的运用，渗 透方程思想，进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究，主动学习，提 高学生学习积极性，也提高了课堂的教学效果. 教学重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用. 教学难点 等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题. 教具准备 多媒体及课件 三维目标 一、知识与技能 1.明确等差中项的概念; 2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数 列的性质; 3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题. 二、过程与方法 1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通 项公式的运用，渗透方程思想; 2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习; 3.理论联系实际，激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观 1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊 与一般的辩证唯物主义观点; 2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣. 教学过程 导入新课 师 同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆 一下什么样的数列叫等差数列？ 生 我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数， 即 an-a n-1=d(n≥2，n∈N *)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通 常用字母“d”表示). 师 对，我再找同学说一说等差数列{an}的通项公式的内容是什么？ 生 1 等差数列{an}的通项公式应是 an=a1+(n-1)d. 生 2 等差数列{an}还有两种通项公式：an=am+(n-m)d 或 an=pn+q(p、q 是常数). 师 好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差 d 的公式：①d=an-a n-1；② ；③ .你能理解与记忆它们吗？ 生 3 公式② 与③ 记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之 差). ［合作探究］ 探究内容：如果我们在数 a 与数 b 中间插入一个数 A，使三个数 a，A，b 成等差数列，那么 数 A 应满足什么样的条件呢？ 师 本题在这里要求的是什么? 生 当然是要用 a，b 来表示数 A. 师 对，但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答? 生 由定义可得 A -a=b-A，即 . 反之，若 ，则 A-a=b-A, 由此可以得 a,A,b 成等差数列. 推进新课 我们来给出等差中项的概念：若 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项(有穷数列的末项 除外)都是它的前一项与后一项的等差中项. 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5 是 3 与 7 的等差中项，也是 1 和 9 的等差中项. 9 是 7 和 11 的等差中项，也是 5 和 13 的等差中项. ［方法引导］ 等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住 a，A，b 成等差数列2A=a+b，以促成将等差数 列转化为目标量间的等量关系或直接由 a，A，b 间的关系证得 a，A，b 成等差数列. ［合作探究］ 师 在等差数列{an}中，d 为公差，若 m,n,p,q∈N*且 m+n=p+q，那么这些项与项之间有何种 等量关系呢？ 生 我得到了一种关系 am+an=ap+aq. 师 能把你的发现过程说一下吗？ 生 受等差中项的启发，我发现 a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a7. 从而可得在一等差数列中，若 m+n=p+q，则 am+an=ap+aq. 师 你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们 是否可以对这归纳的结论加以证明呢？ 生 我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为 a1，则 am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d, ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d. 因为我们有 m+n=p+q,所以上面两式的右边相等，所以 am+an=ap+aq. 师 好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列{an}的各项中，与首末两项 等距离的两项的和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若 m+n=p+q,则上面两式的右边 相等，所以 am+an=ap+aq. 同样地，我们还有：若 m+n=2p,则 am+an=2ap.这也是等差中项的内容. 师 注意：由 am+an=ap+aq 推不出 m+n=p+q，同学们可举例说明吗? 1 1 − −= n aad n mn aad mn − −= 1 1 − −= n aad n mn aad mn − −= 2 baA += 2 baA += ⇔+= 2 baA生 我举常数列就可以说明了. 师 举得好!这说明在等差数列中，am+an=ap+aq 是 m+n=p+q 成立的必要不充分条件. ［例题剖析］ 【例 1】 在等差数列{an}中，若 a1+a6=9，a4=7，求 a3，a9. 师 在等差数列中通常如何求一个数列的某项？ 生 1 在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项. 生 2而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两 项(知道任意两项就知道公差，这在前面已研究过了). 生 3 本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手…… 师 好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解？ 生 4 因为{an}是等差数列，所以 a1+a6=a4+a3=9a3=9-a4=9-7=2, 所以可得 d=a4-a3=7-2=5. 又因为 a9=a4+(9-4)d=7+5×5=32，所以我们求出了 a3=2，a9=32. 【例 2】 (课本 P44 的例 2)　某市出租车的计价标准为 1.2 元/km，起步价为 10 元，即最初 的 4 千米(不含 4 千米)计费 10 元.如果某人乘坐该市的出租车去往 14 km 处的目的地，且一 路畅通，等候时间为 0，需要支付多少元的车费? 师 本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？ 生 这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决. 师 为什么？ 生 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4 km 时，每增加 1 km，乘客需要支付 1.2 元. 所以，我们可以建立一个等差数列来进行计算车费. 师 这个等差数列的首项和公差分别是多少? 生 分别是 11.2，1.2. 师 好，大家计算一下本题的结果是多少? 生 需要支付车费 23.2 元. (教师按课本例题的解答示范格式) 评述：本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，做此题的目的是让大家学会从实 际问题中抽象出等差数列的模型，用等差数列知识解决实际问题. 课堂练习 1.在等差数列{an}中， (1)若 a5=a,a10=b,求 a15. 解：由等差数列{an}知 2a10=a5+a15,即 2b=a+a15,所以 a15=2b-a. (2)若 a3+a8=m,求 a5+a6. 解：等差数列{an}中，a5+a6=a3+a8=m. (3)若 a5=6,a8=15,求 a14. 解：由等差数列{an}得 a8=a5+(8-5)d,即 15=6+3d,所以 d=3. 从而 a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33. (4)已知 a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80，求 a11+a12+…+a15 的值. 解：等差数列{an}中，因为 6+6=11+1,7+7=12+2,…… 所以 2a6=a1+a11,2a7=a2+a12,…… 从而(a11+a12+…+a15)+(a1+a2+…+a5)=2(a6+a7+…+a10), 因此有(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5) =2×80-30=130. 2.让学生完成课本 P45 练习 5.教师对学生的完成情况作出小结与评价. ［方法引导］ 此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等差数列的 性质，其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围. 课堂小结 师 通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会？ 生 通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质. (让学生自己来总结，将所学的知识,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达 到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力) 布置作业 课本第 45 页习题 2.2 A 组第 4、5 题. 预习内容：课本 P48～P52. 预习提纲：①等差数列的前 n 项和公式；②等差数列前 n 项和的简单应用. 板书设计 等差数列通项公式 　　　　　　　　　　等差中项　　　　　　　　　　　　　　　　例题 　　　　　　　　　　在等差数列{an}中, 　　　　　　　　　　若 m、n、p、q∈N*且 m+n=p+q, 　　　　　　　　　　则 am+an=ap+aq