高二人教A版必修5系列教案：3.4基本不等式5 .doc

3.4.1 基本不等式 一、教材分析 “基本不等式” 是必修 5 的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌 握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不 等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用。利用基本不等式求最值在实际问题 中应用广泛。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利 于培养学生良 好的思维品质。 二、学情分析 学生们通过本章前两节的学习对不等式有了初步了解，学会运用不等式。但接触的不等 式较为单一，灵活度不够，学生在练习时运用困难，而基本不等式对学生更为灵活，但也为 学生掌握设置了障碍，特别是在基本不等式的几何意义理解上会存在困难。 三、教学目标 1、知识与技能： （1）学会推导基本不等式； （2）理解基本不等式的几何意义； （ 3）掌握基本不等式成立、取等条件。 2、过程与方法： （1）探索了解基本不等式的证明过程。 （2）体会基本不等式的证明方法。 3、情感态度价值观： （1）通过探索基本不等式的证明过程，培养学生的探索、研究精神。 （2）通过对基本不等式成立条件的分析，培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和 谐统一，激发学生的学习兴趣和 勇于探索的精神。 四、教学重难点 教学重点：从不同 角度证明基本不等式； 教学难点：从数形结合的思想理解不等式的含义，挖掘基本不等式的内涵及几何意义。 五、教学过程 （一）认识基本不等式 师：在前面我们已经对不等式进行了多方面的学习，昨天 老师交给了部分同学一些任务， 让他们从这几个图中找出其中存在的不等关系，下面我们来请他们上来汇报一下探究成果。 学生 1： 如图是 2002 年在北京召开的第 24 届国际数学家大会会标，会标颜色的明暗使它看上去 像一个 风车。 实际上，它是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计而成的。大家可以对比欣赏一下。 那么，这个会标与我们今 天所要学习的基本不等式有何关系呢？ 首先把这个会标抽象成一个数学图形，观察这个图形，:这四个直角三角形的面积相等，为全等三角形； 大正方的面积大于四个直角三角形面积之和。 设直角三角形两条直角边长为 ，那么正方形的 边长为 ．[ 4 个直角三角形的面积之和 ， 正方形的面积 ． 由图可知 ，即 ． 当小正方形缩成了一个点时，大正方形的面积正好等于这四个直角三角形面积之和。实际上 这个过程也就是这四个直角三角形变成了等腰直角三角形，也就是 a 等于 b。所以也可以说， 当 a=b 时，等号成立。 师：结合以上分析我们可以得到 （再次强调，等号何时成立）. 此时 a，b 的取值范围是怎样的呢 ？—— 学生 2： 如图， 是圆 的直径，点 是 上一点， ， ．过点 作垂直于 的弦 ，连接 ． 根据射影定理可得： 由于 Rt 中直角边 斜边 ， 于是有 当且仅当点 与圆心 重合时，即 时等号成立． 故而再次证明： ba, 22 ba + abS 21 = 22 2 baS += 12 SS > abba 222 >+ 2 2 2a b ab+ ≥ 0, 0a b> > AB O C AB aAC = bBC = C AB DE BDAD, abBCACCD =⋅= COD∆ 0,b>0。 这就是两条不等式存在的前提条件，那么接下来看看等号成立需要满足什么条件？ 当 时取等号。 还有其他情况使得等号成立吗？——没有。 因此，准确的说，应该是，当 a=b，而且只有当 a=b 时，等号成立。 0,0 >> ba 2 baab +≤ ba = 2 2 2 21 1 22 2a b ab a b ab+ ≥ ⇒ + ≥ 2 2 2a b ab+ ≥ 2 baab +≤ 2 2 2a b ab+ ≥ a b 2 baab +≤ 2 2 2a b ab+ ≥ 2 baab +≤ 0, 0a b> > 0)(2 222 ≥−=−+ baabba abba 222 ≥+∴ ba = ba =即：当且仅当 a=b 时，等号成立。 英语里面对“当且仅当”这个词是这样翻译的：if and only if，大家要仔细体会这里“当且 仅当”的含义。 所以我们看基本不等式，要从几个方面去认识它：成立的前提，等号成立条件，以及这条式 子本身。 基本不等式: 若 ，则 （当且仅当 时，等号 成立） 若 ，则 （当且仅当 时，等号成立） 深化认识： 称 为 的几何平均数；称 为 的算术平均数 基本不等式 又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 另外，我们会发现： （1） 其实就是等比数列的等比中项， 是等差数列的等差中项。 可见，数列和不等式是有着密不可分的关系。 （2）双钩函数 ，现在我们可以用基本不等式来解释为什么 时取到最小值. （三）用代数法证明 若 ，则 ． 回头看这个过程，我们由几何图形发现了基本不等式，又由重要不等式推导出基本不等式。 那么，你能否利用不等式的性质直接证明基本不等式呢？ 证明：由于 ，于是 要证明 ， 只要证明 ， 即证 ， 即 ，该式显 然成立，所以 ，当 时取等号． 像这样，从我们需要证明的结论出发，寻找使之成立的条件，直至找到一个明显成立的条件 为止，从而证得结论的方法，执果索因，我们称之为分析法。 （或者作差法）[来源:学_科_网 Z_X_X_K] +∈ Rba, 2 baab +≤ ba = Rba ∈, abba 222 ≥+ ba = ab ba, 2 ba + ba, 2 baab +≤ ab 2 ba + ( 0, 0)ay x a xx = + > > x a= +∈ Rba, 2 baab +≤ +∈ Rba, abba ≥+ 2 abba 2≥+ 02 ≥−+ abba 0)( 2 ≥− ba abba ≥+ 2 ba =例 1.设 证明：（1） ； （2） 变式：若 ，且 恒成立，求 n 的最大值.[来源:Z+xx+k.Com][来源:Z.Com] 例 2.若 ，且 ，求 的取值范围. 变式：若 ，且 ，求 的取值范围. （三）归纳小结 基本不等式：若 ，则 （当且仅当 时，等号成立） 若 ，则 （当且仅当 时，等号成立） , , 0a b c > 2a b b a + ≥ 6b c c a a b a b c + + ++ + ≥ 0a b c> > > 1 1 n a b b c a c + ≥− − − , 0a b > 1ab a b= + + ,ab a b+ , 0a b > 1ab a b≥ + + a b+ Rba ∈, abba 222 ≥+ ba = +∈ Rba, 2 baab +≤ ba =附件 1：律师事务所反盗版维权声明 附件 2：独家资源交换签约学校名录（放大查看） 学校 名录参 见：h ttp://w ww.z.com/wxt/list. aspx ? ClassID=3060