3.3 二元一次不等式（组）与平面区域
一、知识与技能
1.使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；
2.能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域.
二、过程与方法
1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想；
2.提高学生“建模”和解决实际问题的能力；
3.本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递
进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论.
三、情感态度与价值观
1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”
去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力；
2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.
会求二元一次不等式（组）表示平面的区域.
如何把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.
分析引导，类比探究
复习
引入
师 在现实和数学中，我们会遇到各种不同的不等关系，需要用不同的数学模型来刻画和研究它们.
前面我们学习了一元二次不等式及其解法，这里我们将学习另一种不等关系的模型.先看一个实际
例子.
一家银行的信贷部计划年初投入 25 000 000 元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可带
来 30 000 元的效益，其中从企业贷款中获益 12%，从个人贷款中获益 10%，那么，信贷部应该如
何分配资金呢？
师 这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？
生 设用于企业贷款的资金为 x 元，用于个人贷款的资金为 y 元，由资金总数为 25 000 000元，
得到 x+y≤25 000 000.①
师 由于预计企业贷款创收 12%，个人贷款创收 10%.共创收 30 000 元以上，所以
(12%)x+(10%)y≥30 000，即 12x+10y≥3 000 000.②
师 最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负数，于是
生 x≥0,y≥0.③
师 将①②③合在一起，得到分配资金应该满足的条件：
师 我们把含有两个未知数，且未知数的次数是 1 的不等式（组）称为二元一次不等式（组）.
满足二元一次不等式（组）的 x 和 y 的取值构成有序数对(x,y)，所有这样的有序数对(x,y)构成的集
合称为二元一次不等式（组）的解集.有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是，二元一次
不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.
师 我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程 x+y-1=0 的解为坐标的点的集合{(x,y)|x+y-1=0}
是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线 l，那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未
知数的最高次数都是 1 的不等式）x+y-1＞0 的解为坐标的点的集合 A={(x,y)|x+y-1＞0}是什么图形
呢？点题板书课题
≥
≥
≥+
≤+
.0
,0
,30000001012
,25000000
y
x
yx
yx新
课
学
习
师 二元一次方程 x＋y－1＝0 有无数组解，每一组解是一对实数，它们在坐标平面上表示一个点，
这些点的集合组成点集{(x，y)|x＋y－1＝0}，它在坐标平面上表示一条直线.
以二元一次不等式 x＋y－1＞0 的解为坐标的点，也拼成一个点集.如 x＝3，y＝2 时，x＋y－1＞0，
点(3，2)的坐标满足不等式 x＋y－1＞0.(3，2)是二元一次不等式 x＋y－1＞0 的解集中的一个元素.
我们把二元一次不等式 x＋y－1＞0 的解为坐标的点拼成的点集记为{(x，y)|x＋y－1＞0}.
请同学们猜想一下，这个点集在坐标平面上表示什么呢？
生 x＋y－1＞0 表示直线 l：x＋y－1＝0 右上方的所有点拼成的平面区域.
师 事实上，在平面直角坐标系中，所有的点被直线 x＋y－1＝0 分为三类：在直线 x＋y－1＝0 上；
在直线 x＋y－1＝0 右上方的平面区域内；在直线 x＋y－1＝0 左下方的平面区域内.如(2，2)点的坐
标代入 x＋y－1 中，x＋y－1＞0，(2，2)点在直线 x＋y－1＝0 的右上方.(－1，2)点的坐标代入 x＋y
－1 中，x＋y－1＝0，(－1，2)点在直线 x＋y－1＝0 上.(1，－ 1)点的坐标代入 x＋y－1 中，x＋y－
1＜0，(1，-1)点在直线 x＋y－1＝0 的左下方.
因此，我们猜想，对直线 x＋y－1＝0 右上方的点(x，y)，x＋y－1＞0 成立；对直线 x＋y－1＝0 左
下方的点(x，y)，x＋y－1＜0 成立.
师 下面对这一猜想进行一下推证.
生在直线 l：x＋y－1＝0 上任取一点 P(x 0，y 0)，过点 P 作平行于 x 轴的直线 y＝y0，这时这条平行
线上在 P 点右侧的任意一点都有 x＞x 0，y＝y0 两式相加.
x＋y＞x 0＋y 0，则 x＋y－1＞x0＋y0－1,P 点在直线 x＋y－1＝0 上，x0＋y 0－1＝0.
所以 x＋y－1＞0.
因为点 P(x0，y0)是直线 x＋y－1＝0 上的任意一点，所以对于直线 x＋y－1＝0 的右上方的任意点(x，
y),x＋y－1＞0 都成立.
同理，对于直线 x＋y－1＝0 左下方的任意点(x，y)，x＋y－1＜0 都成立.
所以点集{(x，y)|x＋y－1＞0}是直线 x＋y－1＝0 右上方的平面区域，点集{(x，y)|x＋y－1＜0}
是直线 x＋y－1＝0 左下方的平面区域.
师一般来讲，二元一次不等式 Ax＋By＋C＞0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax＋By＋C＝0 的某一
侧所有点组成的平面区域.如何让快速、准确的判断？
生由于对在直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，实数 Ax＋By＋C 的符号相同，所以只需在
此直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y0)，由 Ax0＋By0＋C 的正、负就可判断 Ax＋By＋C＞0 表示
直线哪一侧的平面区域.
师当 C≠0 时，我们常把原点作为这个特殊点去进行判断.如把(0，0)代入 x＋y－1 中，x＋y－1＜0.
说明：x＋y－1＜0 表示直线 x＋y－1＝0 左下方原点所在的区域，就是说不等式所表示的区域与原
点在直线 x＋y－1＝0 的同一侧.
如果 C＝0，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算的点去进行判断.
师 提醒同学们注意，不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的区域，应当理解为{(x，y)|Ax＋By＋C＞
0}∪{(x，y)|Ax＋By＋C＝0}.这个区域包括边界直线，应把边界直线画为实线.
师 另外同学们还应当明确有关区域的一些称呼.（1）A 为直线 l 右上方的平面区域
(2)B 为直线 l 左下方的平面区域
(3)C 为直线 l 左上方的平面区域
(4)D 为直线 l 右下方的平面区域
归纳总结
师 二元一次不等式 ax+by+c＞0 和 ax+by+c＜0 表示的平面区域.
（1）结论：二元一次不等式 ax+by+c＞0 在平面直角坐标系中表示直线 ax+by+c=0 某一侧所有点
组成的平面区域.
把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式 ax+by+c≥0 表示的平面区域时，此区域
包括边界直线，则把边界直线画成实线.
（2）判断方法：由于对在直线 ax+by+c=0 同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标(x,y)代入 ax+by+c，
所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0)，以 ax0+by0+c 的正负
情况便可判断 ax+by+c＞0 表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当 c≠0 时，常把原点作为此
特殊点.
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