导学案——分式的乘除

1 导学案——分式的乘除 【学习目标】 1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则. 2.会分式的乘法、除法运算. 3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算. 【要点梳理】 【高清课堂 402545 分式的乘除运算 知识要点】 要点一、分式的乘除法 1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 用字母表示为： ，其中 是整式， . 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 用字母表示为： ，其中 是整式， . 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整 式. （2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约 分，然后再乘. （3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是 1 的代数式） 和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要 先分解因式，便于约分. （4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式. 要点二、分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （ 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把 写成 （2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的 奇次方为负. （3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算 乘除，有多项式时应先分解因式，再约分. （ 4 ） 分 式 乘 方 时 ， 应 把 分 子 、 分 母 分 别 看 作 一 个 整 体 . 如 . 【典型例题】 类型一、分式的乘法 a c ac b d bd ⋅ = a b c d、 、 、 0bd ≠ a c a d ad b d b c bc ÷ = ⋅ = a b c d、 、 、 0bcd ≠ n n n a a b b   =   n n n n a a b b   =   n na a b b   =   ( )22 2 2 2 2 a ba b a b b b b −− −  = ≠  2 1、（2016 北京•门头沟一模）已知 x－3y=0，求 的值． 【思路点拨】先把分母分解因式，并运用分式的乘法法则约分、化简，再把 x=3y 代入可求 分式的值． 【答案与解析】 解：原式= = ∵ x－3y=0，∴ x=3y． ∴当 x=3y 时，原式= ． 【总结升华】本题考查综合运用分式的乘法法则，约分化简分式，并根据已知条件式求分式 的值． 举一反三： 【变式】已知分式 ，计算 的值． 【答案】 解： ． ∵ ， ∴ ， 且 ， 即 且 ， 解 得 ， ，此时 ． ∴ 原式 ． 类型二、分式的除法 2、课堂上，李老师给同学们出了这样一道题：当 ， ， 时，求代 数式 的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明 解决这个问题吗？请你写出具体的过程． 【思路点拨】分式求值问题的解题思路是先化简，再代入求值，一般情况下不直接代入，本 题所给的 的值虽然有的较为复杂，但化简分式后即可发现结果与字母 的取值无关． 2| 2 | ( 3) 0a b a b − + − =+ 2 2 2 2 2 a ab a ab b a b + − − 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )( ) a ab a ab a a b a a b a b a b b a b a b b + − + −= =− + −  2| 2 | ( 3) 0a b a b − + − =+ 2| 2 | ( 3) 0a b− + − = 0a b+ ≠ 2 0a − = 3 0b − = 2a = 3b = 5 0a b+ = ≠ 2 2 2 4 3 9 = = 3x = 5 2 2− 7 3+ 2 2 2 1 2 2 1 1 x x x x x − + −÷− + x x ( )2 2 2 2 x y x yx xy y + ⋅ −− + ( ) ( )2 2x y x y x y + ⋅ − − 2x y x y + − 2 3 7 7 3 2 2 y y y y y y × + = =−3 【答案与解析】 解： ． 所以无论 取何值，代数式的值均为 ，即代数式的值与 的取值无关． 所以当 ， ， 时，代数式的值都是 ． 【总结升华】本题实际就是一道普通的分式化简求值题，只是赋予情景，增加兴趣，要通过 认真审题，领会解决问题的实质． 举一反三： 【变式】已知 ，其中 不为 0，求 的值. 【答案】 解：原式＝ ＝ . ∵ ， ∴ . ∴ 原式＝ . ∵ 不为 0， ∴ 原式＝ . 类型三、分式的乘方 3、 （2015 春•泉州校级期中）计算： ． 【思路点拨】先进行乘方运算，再计算乘法运算即可得到结果． 【答案与解析】解：原式=﹣ • =﹣ ． 【总结升华】分式乘方时也可以先确定符号，再将分子、分母分别乘方． 类型四、分式的乘除法、乘方混合运算 【高清课堂 402545 分式的乘除运算 例 2（4）】 2 2 2 2 1 2 2 ( 1) 1 1 1 1 ( 1)( 1) 2( 1) 2 x x x x x x x x x x − + − − +÷ = =− + + − − x 1 2 x 3x = 5 2 2− 7 3+ 1 2 2 0a b+ = a 22 2 2 2 ba aba b aba − −÷+ ( ) ( )( ) ( )2 a a b a b a b b a a b + + −⋅ − ( ) 2 2 b ba + 2 0a b+ = ab 2−= 2 2 2 2 4)2( )( a a a a = − − a 4 14 4、 若 等于它的倒数，求 的值． 【答案与解析】 解： ∵ 等于它的倒数， ∴ 解得 ∴ 时，原式＝ ； 时，原式＝ . 【总结升华】乘除混合运算，首先把除法运算转化为乘法运算，再用乘法运算法则计算．有 乘方的，先算乘方，注意符号的处理. 举一反三： 【变式】（2014 春•安县校级月考）化简： ． 【答案】 解 ： 原 式 =﹣ • • =﹣ ． m 32 2 2 2 ) 2 .() 2 2( 4 44 m m mm m mm − − +÷ − ++ 2 2 2 3 2 4 4 2( ) .( )4 2 2 m m m m m m m + + +÷ −− − ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 22 2 2 2 2 82 2 8 2 m m m m m m m m m m + −= − × ×+ − + −= − + m 1 ,m m = 1m = ± 1m = 1 24 1m = − 3 8 −5 【巩固练习】 一.选择题 1．（2014 秋•岱岳区期中）化简 ，其结果是（　　） A.﹣ B.2 C.﹣2 D． 2．（2016•济南）化简 ÷ 的结果是（　　） A． B． C． D．2（x+1） 3．计算 的结果是（ ） A． B． C． D． 4．下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 5． （ 为正整数）的值是（ ） A． B． C． D． 6．下列分式运算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 二.填空题 7．已知 ＝2011， ＝2012，则 的值为______． 8．（2015 春•周口校级月考）化简：（﹣ ）3÷（ • ）=　 　． ×− 3 2 )2( b a 2)2( a b 2( )b a ÷ − 6 8 b a− 6 38 b a− 5 216 b a 5 216 b a− 2 6 3 3 3 3( )2 2 x x y y= 22 2 2 4)2( ba a ba a += + 22 22 2)( yx yx yx yx + −=+ − 3 3 3 )( )()( nm nm nm nm − +=− + n a b 2 2 )(− n n n a b 2 22+ n n a b 2 4 n n a b 2 12 + − n n a b 2 4 − 4 4 5 3.m n m n m n = .a c ad b d bc = 2 2 2 2 2 4( )a a a b a b =− − 3 3 3 3 3( ) 44 x x yy = x y 2 2 4 4 ( )( )x y x y x y + + −6 9．（2016•永州）化简： ÷ =　　　　　　． 10.已知 ， ，则 ＝________. 11.当 ， 时，代数式 的值为________. 12.计算： ___________. 三.解答题 13．（2015 春•成都校级月考）计算： （1） ﹣ （2） ÷ ． 14．先化简，再求值： （1） 其中 （2） 其中 ＝－1． 15．已知 求 的值． 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】C； 【解析】解：原式=﹣ • • =﹣2，故选 C． 2.【答案】A； 【解析】原式= •（x﹣1）= . 3.【答案】C； 【解析】 . 4.【答案】D； x a b= − y a b= + ( )2x y xy −− 2x = 3y = − 2 2 2 22 x y x x x xy y − ⋅ + + 2 2 2 2 1 3 6 9 9 2 1 1 x x x x x x x x − + − +⋅ ⋅ =− − + + ,144 42 14 22 x xx x x ++÷− − 1 4x = − ⋅ ,a b.b baa ba baa 2 22 224 )( )( +÷− − ,2 1=a b .0)2 55(|13| 2 =−+−+ baba 3 2 3 2 3 2 2 3 6( ) .( ) ( )a ab b a bb a − ÷ −− ×− 3 2 )2( b a 2)2( a b 3 2 2 6 2 5 2 8 4 16( ) 2 b a b a a a b a b b  ÷ − = − × × − =  7 【解析】 ； ； . 5.【答案】B； 【解析】 . 6.【答案】A； 【解析】 ； ； . 二.填空题 7.【答案】－1； 【解析】 . 8.【答案】﹣ ； 【解析】解：原式=﹣ ÷ =﹣ • =﹣ ，故答案为：﹣ . 9.【答案】 ； 【解析】原式= • = . 10.【答案】 ； 【解析】 . 11.【答案】－5； 【解析】 . 12.【答案】 ； 【解析】 . 三.解答题 13.【解析】 2 6 3 3 3 27( )2 8 x x y y= 2 2 2 2 4( ) ( ) a a a ba b = ++ 2 2 2 ( )( ) ( ) x y x y x y x y − −=+ + 2 4 2 2( ) n n n b b a a − = .a c ac b d bd = ( ) 2 2 2 2 4( )a a a b a b =− − 3 3 3 3 27( ) 644 x x yy = 2 2 2 2 4 4 2 2 ( )( ) ( )( ) 1 1 1( )( )( ) ( ) 2011 2012 x y x y x y x y x y x y x y x y x y + + + += = = = −− + + − − − 2 2 2 4b a b − − ( ) ( ) ( ) ( )( ) 22 2 2 2 4a b a bx y b xy a b a b a b − − + −  − = − = −− + − ( )( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 3 52 2 3 x y x yx y x x x y x x xy y x x yx y + − − −− −⋅ = ⋅ = = = −+ + + −+ 3 1 x x − − ( )( ) ( )( ) ( ) ( )22 2 22 2 1 1 31 3 6 9 3 3 9 2 1 1 3 3 1 11 x x xx x x x x x x x x x x x x xx + − −− + − + + −⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =− − + + + − + −−8 解：（1）原式= + = ； （2）原式= • =x． 14.【解析】 解：（1） 当 时，原式＝ . （2） 当 ＝－1 时，原式＝ . 15.【解析】 解：∵ ∴ 解得 . 2 24 1 4 4 1 2 4 x x x x x − + +÷− ( )( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 x x x x x + −= ⋅− − + ( )2 2 1 4 2 x x x x = − = −+ + 1 4x = − 1 14 1 44 24 − − = − +   4 2 2 2 2 2 ( ) .( ) a a b a a b b a b b a − +÷− ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 .a a b a b b b b a a b a a ba b + −= ⋅ =+ −− ,2 1=a b ( ) ( ) 41 2 1 312 − = − − .0)2 55(|13| 2 =−+−+ baba 3 1 0 55 02 a b a b + − = − = 1 2 5 5a b= =， 3 2 3 9 4 2 3 2 3 2 2 2 9 6 2 3 6 9 1 5( ) .( ) ( ) 36 4 8 a ab b a a b a a bb a b a b b b − ÷ − = − ⋅ ⋅ = − = −−