导学案——完全平方公式

1 导学案——完全平方公式 【学习目标】 1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解. 2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】 要点一、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（差）的平 方． 即 ， . 形如 ， 的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或 减）这两数之积的 2 倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母 和 的广泛意义， 、 可以是字母，也可以 是单项式或多项式. 【高清课堂 400108 因式分解之公式法 知识要点】 要点二、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】 类型一、公式法——完全平方公式 【高清课堂 400108 因式分解之公式法 例 4】 1、分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案与解析】 解：（1） ． （2） ． （3） ( )22 22a ab b a b+ + = + ( )22 22a ab b a b− + = − 2 22a ab b+ + 2 22a ab b− + a b a b 2 23 6 3ax axy ay− + − 4 2 2 42a a b b− + 2 2 2 2 216 ( 4 )x y x y− + 4 2 2 48 16a a b b− + 2 2 2 2 23 6 3 3 ( 2 ) 3 ( )ax axy ay a x xy y a x y− + − = − − + = − − 4 2 2 4 2 2 2 2 2 22 ( ) [( )( )] ( ) ( )a a b b a b a b a b a b a b− + = − = + − = + − 2 2 2 2 216 ( 4 )x y x y− +2 ． （4） ． 【总结升华】（1）提公因式法是因式分解的首选法．多项式中各项若有公因式，一定要先提 公因式，常用思路是：①提公因式法；②运用公式法．（2）因式分解要分解到每一个因式不 能再分解为止． 举一反三： 【变式】分解因式： （1） ． （2） ． 【答案】 解：（1）原式 ． （2）原式 ． 2、（2016•大庆）已知 a+b=3，ab=2，求代数式 a3b+2a2b2+ab3． 【思路点拨】先提公因式 ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后带入数据进行计算 即可得解． 【答案与解析】 解：a3b+2a2b2+ab3 = ab（a2+2ab+b2） = ab（a+b）2 将 a+b=3，ab=2 代入得，ab（a+b）2=2×32=18． 故代数式 a3b+2a2b2+ab3 的值是 18． 【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应用，对于式子较复杂的题目不要轻易去括号． 举一反三： 【变式】若 ， 是整数，求证： 是一个完全平方 数. 【答案】 解： 2 2 2 2 2 2 2 2(4 ) ( 4 ) (4 4 )(4 4 )xy x y xy x y xy x y= − + = + + − − 2 2 2 2 2( 2 ) [ ( 4 4 )] ( 2 ) ( 2 )x y x xy y x y x y= + − − + = − + − 4 2 2 4 2 2 2 2 2 28 16 ( 4 ) [( 2 )( 2 )] ( 2 ) ( 2 )a a b b a b a b a b a b a b− + = − = + − = + − 2 24( ) 12( )( ) 9( )x a x a x b x b+ + + + + + 2 2 2 24( ) 4( ) ( )x y x y x y+ − − + − 2 2[2( )] 2 2( ) 3( ) [3( )]x a x a x b x b= + + ⋅ + ⋅ + + + 2 2[2( ) 3( )] (5 2 3 )x a x b x a b= + + + = + + 2 2[2( )] 2 2( ) ( ) ( )x y x y x y x y= + − ⋅ + ⋅ − + − 2 2[2( ) ( )] ( 3 )x y x y x y= + − − = + x y ( )( )( )( ) 42 3 4x y x y x y x y y+ + + + + ( )( )( )( ) 42 3 4x y x y x y x y y+ + + + + ( )( ) ( )( ) 44 2 3x y x y x y x y y= + + + + +       2 2 2 2 4( 5 4 )( 5 6 )x xy y x xy y y= + + + + +3 令 ∴上式 即 类型二、配方法分解因式 3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如： 那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？ 我们先考虑二次项系数为 1 的情况：如 添上什么就可以成为完全平方式？ 因此添加的项应为一次项系数的一半的平方. 那么二次项系数不是 1 的呢？当然是转化为二次项系数为 1 了.分解因式： . 【思路点拨】提出二次项的系数 3，转化为二次项系数为 1 来解决. 【答案与解析】 解：如 2 25 4x xy y u+ + = 2 4 2 2 2 2 2( 2 ) ( ) ( 5 5 )u u y y u y x xy y+ + = + = + + ( )( )( )( ) 4 2 2 22 3 4 ( 5 5 )x y x y x y x y y x xy y+ + + + + = + + ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 8 2 1 1 8 1 9 1 3 1 3 2 4 x x x x x x x x x − − = − + − − = − − = − + − − = + − 2x bx+ 2 2 2 2( ) 2 2 2 2 b b bx bx x x x   + + = + ⋅ ⋅ + = +       23 5 2x x+ − 2 2 5 23 5 2 3 3 3x x x x + − = + −   2 2 2 5 5 5 23 3 6 6 3x x     = + + − −          25 493 6 36x   = + −      2 25 73 6 6x     = + −          5 7 5 73 6 6 6 6x x  = + + + −     ( ) 13 2 3x x = + −  4 【总结升华】配方法，二次项系数为 1 的时候，添加的项应为一次项系数的一半的平方. 二 次项系数不是 1 的时候，转化为二次项系数为 1 来解决. 类型三、完全平方公式的应用 4、（2015 春•娄底期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题： 完全平方公式 x2±2xy+y2=（x±y）2 及（x±y）2 的值恒为非负数的特点在数学学习中 有着广泛的应用，比如探求多项式 2x2+12x﹣4 的最大（小）值时，我们可以这样处理： 解：原式=2（x2+6x﹣2） =2（x2+6x+9﹣9﹣2） =2[（x+3）2﹣11] =2（x+3）2﹣22 因为无论 x 取什么数，都有（x+3）2 的值为非负数 所以（x+3）2 的最小值为 0，此时 x=﹣3 进而 2（x+3）2﹣22 的最小值是 2×0﹣22=﹣22 所以当 x=﹣3 时，原多项式的最小值是﹣22. 解决问题： 请根据上面的解题思路，探求多项式 3x2﹣6x+12 的最小值是多少，并写出对应的 x 的 取值． 【答案与解析】 解：原式=3（x2﹣2x+4） =3（x2﹣2x+1﹣1+4） =3（x﹣1）2+9， ∵无论 x 取什么数，都有（x﹣1）2 的值为非负数， ∴（x﹣1）2 的最小值为 0，此时 x=1， ∴3（x﹣1）2+9 的最小值为：3×0+9=9， 则当 x=1 时，原多项式的最小值是 9． 【总结升华】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，以及配方法的应用，熟练掌握完全 平方公式是解本题的关键． 举一反三： 【变式 1】若△ABC 的三边长分别为 、 、 ,且满足 ， 求证： . 【答案】 解： 所以 a b c 2 2 216 6 10 0a b c ab bc− − + + = 2a c b+ = 2 2 216 6 10a b c ab bc− − + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 6 9 25 10 3 5 a ab b b bc c a b b c = + + − − + = + − − ( ) ( )2 23 5 0a b b c+ − − = ( ) ( )2 23 5a b b c+ = −5 所以 所以 因为△ABC 的三边长分别为 、 、 ， ， 所以 ，矛盾，舍去. 所以 . 【变式 2】（2015 春•萧山区期中）若（2015﹣x）（2013﹣x）=2014，则（2015﹣x）2+ （2013﹣x）2=　 　． 【答案】4032． 解：∵（2015﹣x）（2013﹣x）=2014， ∴[（2015﹣x）﹣（2013﹣x）]2=（2015﹣x）2+（2013﹣x）2﹣2（2015﹣x）（2013﹣x） =4， 则 （ 2015﹣x ） 2+ （ 2013﹣x ） 2=4+2×2014=4032 ． 3 (5 )a b b c+ = ± − 2 8a c b b c a+ = = −或 a b c c a b− < 8b c a b= − < 2a c b+ =6 【巩固练习】 一.选择题 1. 若 是完全平方式，则 的值为（ ） A．－5 B．7 C．－1 D．7 或－1 2．（2016•富顺县校级模拟）下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（　　） ①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④ ；⑤ ． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3. 如果 是一个完全平方公式，那么 是（ ） A. B. C. D. 4. （2015•永州模拟）已知 a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式 a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac 的值为（　　） 　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 5. 若 ，则 的值为（ ） A.12 B.6 C.3 D.0 6. 若 为任意实数时，二次三项式 的值都不小于 0，则常数 满足的条件是（ ） A. B. C. D. 二.填空题 7．（2016•赤峰）分解因式：4x2﹣4xy+y2=　 　． 8. 因式分解: ＝_____________. 9. 因式分解: ＝_____________. 10. 若 ， ＝_____________. 11. 当 取__________时，多项式 有最小值_____________. 12.（2015•宁波模拟）如果实数 x、y 满足 2x2﹣6xy+9y2﹣4x+4=0，那么 =　 　． 三.解答题 13.若 ， ，求 的值. 14.（2015 春•怀集县期末）已知 a+ = ，求下列各式的值： （1）（a+ ）2；（2）（a﹣ ）2；（3）a﹣ ． 15. 若三角形的三边长是 ，且满足 ，试判断三角形 的形状. 小明是这样做的： 解：∵ ，∴ . 2 2( 3) 16x m x+ − + m 2 4a ab m− − m 21 16 b 21 16 b− 21 8 b 21 8 b− 3a b+ = 2 22 4 2 6a ab b+ + − x 2 6x x c− + c 0c ≥ 9c ≥ 0c > 9c > ( )22 2 2 24m n m n+ − 2 22 1x x y+ + − 2 2 4 2 5 0x y x y+ − + + = x y+ x 2 6 10x x+ + 4 4 2 2 5a b a b+ + = 2ab = 2 2a b+ a b c、 、 2 2 22 2 2 0a b c ab bc+ + − − = 2 2 22 2 2 0a b c ab bc+ + − − = 2 2 2 2( 2 ) ( 2 ) 0a ab b c bc b− + + − + =7 即 ∵ ，∴ . ∴该三角形是等边三角形. 仿照小明的解法解答问题： 已知： 为三角形的三条边，且 ，试判断三角 形的形状. 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】D； 【解析】由题意， ＝±4， . 2. 【答案】C； 【解析】② ③ ⑤ 不能用完全平方公式分解. 3. 【答案】B； 【解析】 ，所以 ，选 B. 4. 【答案】D； 【解析】解：由题意可知 a﹣b=﹣1，b﹣c=﹣1，a﹣c=﹣2， 所求式= （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca）， = [（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]， = [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]， = [（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]， =3． 故选 D． 5. 【答案】A； 【解析】原式＝ . 6. 【答案】B； 【解析】 ，由题意得， ，所以 . 二.填空题 7. 【答案】（2x﹣y）2 【解析】4x2﹣4xy+y2=（2x）2﹣2×2x•y+y2=（2x﹣y）2． 8. 【答案】 ； 【解析】 . ( ) ( )2 2 0a b b c− + − = ( ) ( )2 20 , 0a b b c− ≥ − ≥ ,a b b c a b c= = = =即 a b c、 、 2 2 2 0a b c ab bc ac+ + − − − = 3m − 7 1m = −或 2 2 2 2 1 1 14 2 2 2 2a ab m a a b b a b   − − = − ⋅ ⋅ + = −       214 4m b− = ( )2 22 6 2 3 6 12a b+ − = × − = ( ) ( )22 6 3 9x x c x c− + = − + − 9 0c − ≥ 9c ≥ ( ) ( )2 2m n m n+ − ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2 2 24 2 2m n m n m n mn m n mn m n m n+ − = + + + − = + −8 9. 【答案】 【解析】 . 10.【答案】1； 【 解 析 】 ， 所 以 ， . 11.【答案】－3，1； 【解析】 ，当 时有最小值 1. 12.【答案】 ． 【解析】解：可把条件变成（x2﹣6xy+9y2）+（x2﹣4x+4）=0， 即（x﹣3y）2+（x﹣2）2=0， 因为 x，y 均是实数， ∴x﹣3y=0，x﹣2=0， ∴x=2，y= ， ∴ = = ． 故答案为 ． 三.解答题 13.【解析】 解： 将 代入 ∵ ≥0， ∴ ＝3. 14.【解析】 解：（1）把 a+ = 代入得：（a+ ）2=（ ）2=10； （2）∵（a+ ）2=a2+ +2=10， ∴a2+ =8， ( )( )1 1x y x y+ + + − ( ) ( )( )22 2 22 1 1 1 1x x y x y x y x y+ + − = + − = + + + − ( ) ( )2 22 2 4 2 5 2 1 0x y x y x y+ − + + = − + + = 2, 1x y= = − 1x y+ = ( )22 6 10 3 1x x x+ + = + + 3x = − 4 4 2 2 4 4 2 2 2 22a b a b a b a b a b+ + = + + − ( )22 2 2 2a b a b= + − 2ab = ( )22 2 2 2 5a b a b+ − = ( ) ( ) 22 2 2 22 2 2 5 9 a b a b + − = + = 2 2a b+ 2 2a b+9 ∴（a﹣ ）2=a2+ ﹣2•a• =8﹣2=6； （3）a﹣ =± =± ． 15.【解析】 解：∵ ∴ ∴ ∴ ，该三角形是等边三角形. 2 2 22 2 2 2 2 2 0a b c ab bc ac+ + − − − = ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 0a ab b b bc c a ac c− + + − + + − + = ( ) ( ) ( )2 2 2 0a b b c a c− + − + − = 0 0 0 a b b c a c − =  − =  − = a b c= =