导学案——平方差公式

1 导学案——平方差公式 【学习目标】 1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解. 2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】 要点一、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边 是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母 和 的广泛意义， 、 可以是字母，也可以 是单项式或多项式. 【高清课堂 400108 因式分解之公式法 知识要点】 要点二、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】 类型一、公式法——平方差公式 【高清课堂 400108 因式分解之公式法 例 1】 1、分解因式： （1） ； （2） ； （3） ． 【思路点拨】（1）把 看做整体，变形为 后分解．（2） 可写成 ， 可写成 ， 和 分别相当于公式里的 和 ．（3）把 、 看作一个整体进行分解． 【答案与解析】 解：（1） ． （2） ( )( )2 2a b a b a b− = + − a b a b 2( ) 4x y+ − 2 216( ) 25( )a b a b− − + 2 2( 2) (2 1)x x+ − − x y+ 2 2( ) 2x y+ − 216( )a b− 2[4( )]a b− 225( )a b+ 2[5( )]a b+ 4( )a b− 5( )a b+ a b ( 2)x + (2 1)x − 2 2 2( ) 4 ( ) 2 ( 2)( 2)x y x y x y x y+ − = + − = + + + − 2 2 2 216( ) 25( ) [4( )] [5( )]a b a b a b a b− − + = − − +2 ． （3） ． 【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项 式. 举一反三： 【变式】将下列各式分解因式： （1） ； （2） （3） ； （4） ； 【答案】 解：（1）原式 （2）原式＝ ＝ （3）原式 （4）原式 2、分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） 【答案与解析】 解：（1） ． （2） ． （3） ． [4( ) 5( )][4( ) 5( )]a b a b a b a b= − + + − − + (9 )( 9 )a b a b= + − − (9 )( 9 )a b a b= − + + 2 2( 2) (2 1) [( 2) (2 1)][( 2) (2 1)]x x x x x x+ − − = + + − + − − (3 1)(3 )x x= + − ( ) ( )2 225 9a b a b+ − − ( )2 22 3 4x y x− − 3 3x y xy− + 3 24 36x xy− ( ) ( ) ( ) ( )5 3 5 3a b a b a b a b= + + − + − −       ( )( ) ( )( ) 8 2 2 8 4 4 4 a b a b a b a b = + + = + + ( )( )2 3 2 2 3 2x y x x y x− + − − ( )3 4 3y x y− − ( ) ( )( )2 2xy x y xy x y x y= − − = − + − ( ) ( )( )2 24 9 4 3 3x x y x x y x y= − = + − 21 28 x− + 3 3a b ab− 5 16x x− 2( 1) (1 )a b a− + − 2 21 1 12 ( 16) ( 4)( 4)8 8 8x x x x− + = − − = − + − 3 3 2 2( ) ( )( )a b ab ab a b ab a b a b− = − = + − 5 4 2 2 216 ( 16) ( 4)( 4) ( 4)( 2)( 2)x x x x x x x x x x x− = − = + − = + + −3 （4） ． 【总结升华】（1）如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运用平方差公式 分解．（2）因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止． 举一反三： 【变式】（2015•杭州模拟）先化简，再求值：（2a+3b）2﹣（2a﹣3b）2，其中 a= ． 【答案】 解：原式=（2a+3b+2a﹣3b）（2a+3b﹣2a+3b） =4a×6b=24ab， 当 a= ，即 ab= 时， 原式=24ab=4． 类型二、平方差公式的应用 3、（2016 春•新化县期末）在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解 法产生密码，例如 x4﹣y4=（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当 x=9，y=9 时，x﹣y=0，x+y=18， x2+y2=162，则密码 018162．对于多项式 4x3﹣xy2，取 x=10，y=10，用上述方法产生密码是 什么？ 【思路点拨】首先将多项式 4x3﹣xy2 进行因式分解，得到 4x3﹣xy2=x（2x+y）（2x﹣y），然 后把 x=10，y=10 代入，分别计算出 2x+y=及 2x﹣y 的值，从而得出密码． 【答案与解析】 解：原式=x（4x2﹣y2）=x（2x+y）（2x﹣y）， 当 x=10，y=10 时， x=10，2x+y=30，2x﹣y=10， 故密码为 103010 或 101030 或 301010． 【总结升华】本题是中考中的新题型，考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂 密码产生的方法是关键． 4、（2015 春•成武县期末）阅读下面的计算过程： （2+1）（22+1）（24+1） =（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1） =（22﹣1）（22+1）（24+1） =（24﹣1）（24+1） =（28﹣1）． 根据上式的计算方法，请计算： （1） （2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣ ． 【思路点拨】（1）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果； （2）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果． 【答案与解析】 2 2 2( 1) (1 ) ( 1) ( 1) ( 1)(1 ) ( 1)(1 )(1 )a b a a b a a b a b b− + − = − − − = − − = − + −4 解：（1）原式=2（1﹣ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）…（1+ ） =2（1﹣ ）（1+ ）（1+ ）…（1+ ） =2（1﹣ ）（1+ ）…（1+ ） =2（1﹣ ） = ； （2）原式= （3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣ = （32﹣1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣ = （364﹣1）﹣ =﹣ ． 【 总 结 升 华 】 此 题 考 查 了 平 方 差 公 式 ， 熟 练 掌 握 平 方 差 公 式 是 解 本 题 的 关 键 ．5 【巩固练习】 一.选择题 1．（2016•百色）分解因式：16﹣x2=（　　） A．（4﹣x）（4+x） B．（x﹣4）（x+4） C．（8+x）（8﹣x） D．（4﹣x）2 2. （2015 春•东平县校级期末）下列多项式相乘，不能用平方差公式的是（　　） 　 A.（﹣2y﹣x）（x+2y） B.（x﹣2y）（﹣x﹣2y） C.（x﹣2y）（2y+x） D.（2y﹣x）（﹣x﹣2y） 3. 下列因式分解正确的是(　　). A. B. C. D. 4. 下列各式，其中因式分解正确的是（ ） ① ；② ③ ④ A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5. 若 能被 60 或 70 之间的两个整数所整除，这两个数应当是（ ） A．61，63 B．61，65 C．63，65 D．63，67 6. 乘积 应等于（ ） A． B． C． D． 二.填空题 7. ； 　　　　　　. 8. 若 ，将 分解因式为__________. 9. 分解因式： _________. 10. 若 ，则 是_________. 11. （2015 春•深圳期末）若 A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，则 A 的末位数字 是　 　． 12.（2016•烟台）已知|x﹣y+2|+ =0，则 x2﹣y2 的值为　 　． 三.解答题 13. 用简便方法计算下列各式： （1） －1998×2000 （2） ( )( )2 29 2 3 2 3a b a b a b− + = + − ( )( )5 4 2 2 2 281 9 9a ab a a b a b− = + − ( )( )21 12 1 2 1 22 2a a a− = + − ( )( )2 24 3 6 2 2 3x y x y x y x y− − − = − + − 2 29 3 3 4 2 2x y x y x y  − = + −     ( )( )2 9 3 3x x x− = − + ( ) ( ) ( )( )2 21 2 1 2 1m n m n m n+ − − + = + − ( ) ( ) ( )( )2 29 4 2 5 2a b a c a b c a b c+ − + = + − + + 482 1− 2 2 2 2 1 1 1 11 1 1 12 3 9 10      − − ⋅⋅⋅ − −           5 12 1 2 11 20 2 3 1 1 _________m ma a+ −− = ( )2 21 1x x x− − + = ( )2 | 4 | 5 0m n− + − = 2 2mx ny− 2 1 2 1( ) ( ) =m mp q q p+ −− + − ( )( )( )216 4 2 2nx x x x− = + + − n 21999 2 2535 6 6 465× − ×6 （3） 14.（2014 秋•蓟县期末）已知（2a+2b+3）（2a+2b﹣3）=72，求 a+b 的值． 15.设 ， ，……， （ 为大于 0 的自然数） （1）探究 是否为 8 的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论； （2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出 ， ，……， 这一列数中从小到大排列的前 4 个完全平方数，并指出当 满足什么 条件时， 为完全平方数. 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】A； 【解析】16﹣x2=（4﹣x）（4+x）． 2. 【答案】A； 【解析】解：A、两项都是互为相反数，不符合平方差公式． B、C、D 中的两项都是一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公 式． 故选：A． 3. 【答案】C； 【解析】 ； ； . 4. 【答案】C； 【解析】①②③正确. . 5. 【答案】C； 【解析】 6. 【答案】C； 2 2 2 2 2 2 2 2100 99 98 97 96 95 ...... 2 1− + − + − + + − 2 2 1 3 1a = − 2 2 2 5 3a = − ( ) ( )2 22 1 2 1na n n= + − − n na 1a 2a na n na ( )( )2 29 3 3a b b a b a− + = + − ( )( ) ( )( )( )5 4 2 2 2 2 2 281 9 9 9 3 3a ab a a b a b a a b a b a b− = + − = + + − ( )( ) ( ) ( )( )2 24 3 6 2 2 3 2 2 2 3x y x y x y x y x y x y x y− − − = + − − + = + − − ( ) ( ) ( )( )2 29 4 3 3 2 2 3 3 2 2a b a c a b a c a b a c+ − + = + + + + − − ( )( )5 3 2 3 2a b c a b c= + + + − ( )( ) ( )( )( )48 24 24 24 12 122 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1− = + − = + + − ( )( )( )( ) ( )( ) 24 12 6 6 24 12 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 65 63 = + + + − = + + × ×7 【解析】 二.填空题 7. 【答案】 ； 【解析】 . 8. 【答案】 ； 【解析】 . 9. 【答案】 ； 【解析】原式＝ . 10.【答案】4； 【解析】 . 11.【答案】6； 【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 =（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1， =（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1， =（24﹣1）（24+1）（28+1）+1， =（28﹣1）（28+1）+1， =216﹣1+1， =216 因为 216 的末位数字是 6， 所以原式末位数字是 6． 12. 【答案】-4； 【解析】∵|x﹣y+2|+ =0，∴x﹣y+2=0，x+y﹣2=0，∴x﹣y=﹣2，x+y=2， ∴x2﹣y2=（x﹣y）（x+y）=﹣4． 三.解答题 13.【解析】 解：（1） －1998×2000 ＝ 2 2 2 2 1 1 1 11 1 1 12 3 9 10      − − ⋅⋅⋅ − −           1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 ...... 1 1 1 12 2 3 3 9 9 10 10 3 1 4 2 5 3 10 8 11 9......2 2 3 3 4 4 9 9 10 10 1 11 11 2 10 20          = + − + − + − + −                   = × × × × × × × × × × = × = ( )( )1 1 1ma a a− + − ( ) ( )21 1x x− + ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1x x x x x x x x x x− − + = − − − = − − = − + ( )( )2 5 2 5x y x y+ − 4, 25,m n= = ( )( )2 2 2 5 2 5mx ny x y x y− = + − 2 1( ) ( 1)( 1)mp q p q p q−− − + − − ( )22 1 2 1( ) 1 ( ) ( 1)( 1)m mp q p q p q p q p q− − − − − = − − + − −  ( )( )( ) ( )( )2 2 2 44 2 2 4 4 16x x x x x x+ + − = + − = − 21999 ( )( )2 2 21999 1999 1 1999 1 1999 1999 1 1− − + = − + =8 （2） （3） 14.【解析】 解：已知等式变形得：[2（a+b）+3][2（a+b）﹣3]=72， 即 4（a+b）2﹣9=72， 整理得：（a+b）2= ， 开方得：a+b=± ． 15.【解析】 解：（1） 又 为非零的自然数， ∴ 是 8 的倍数． 这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是 8 的倍数. （2）这一列数中从小到大排列的前 4 个完全平方数为 16，64，144，256． 为一个完全平方数的 2 倍时， 为完全平方数. ( )2 2 2 2535 6 6 465 6 535 465× − × = − ( )( )6 535 465 535 465 6 1000 70 420000= + − = × × = 2 2 2 2 2 2 2 2100 99 98 97 96 95 ...... 2 1− + − + − + + − ( )( ) ( )( ) ( )( )100 99 100 99 98 97 98 97 ...... 2 1 2 1 100 99 98 97 ...... 2 1 5050 = + − + + − + + + − = + + + + + + = ( ) ( )2 22 1 2 1 (2 1 2 1)(2 1 2 1) 8na n n n n n n n= + − − = + + − + − + = n na n na