导学案——正比例函数

1 导学案——正比例函数 【学习目标】 1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数 的图象； 2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题． 【要点梳理】 【高清课堂：389342 正比例函数，知识要点】 要点一、正比例函数的定义 1、正比例函数的定义 一般的，形如 （ 为常数，且 ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中 叫做比 例系数. 2、正比例函数的等价形式 （1）、 是 的正比例函数； （2）、 （ 为常数且 ≠0）； （3）、若 与 成正比例； （4）、 （ 为常数且 ≠0）. 要点二、正比例函数的图象与性质 正比例函数 （ 是常数， ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直 线 .当 ＞0 时，直线 经过第一、三象限，从左向右上升，即随着 的增大 也增大；当 ＜0 时，直线 经过第二、四象限，从左向右下降，即随着 的增大 反 而减小. 要点三、待定系数法求正比例函数的解析式 由于正比例函数 （ 为常数， ≠0 ）中只有一个待定系数 ，故只要有一对 ， 的值或一个非原点的点，就可以求得 值. 【典型例题】 类型一、正比例函数的定义 【高清课堂：389342 正比例函数，例 1】 y kx= y kx= k k k y x y kx= k k y x kx y = k k y kx= k k y kx= k y kx= x y k y kx= x y y kx= k k k x y k2 1、若函数 是 关于 的正比例函数，求 、 的值. 【思路点拨】正比例函数的一般式为 ，要特别注意定义满足 ， 的指数 为 1． 【答案与解析】 解：由题意，得 解得 ∴当 时， 是 的正比例函数. 【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1） 不等于零； （2） 的指数是 1. 举一反三： 【变式】（2014 春•凉州区校级月考）x、y 是变量，且函数 y=（k+1）x|k|是正比例函数，求 K 的值． 【答案】解：根据正比例函数的定义可得：k+1≠0，|k|=1，解得；k=1． 【高清课堂：389342 正比例函数，例 2】 2、设有三个变量 、 、 ，其中 是 的正比例函数， 是 的正比例函数 （1）求证： 是 的正比例函数； （2）如果 ＝1， ＝4 时，求出 关于 的函数关系式. 【答案与解析】 解：（1）由题意，设 ， ， 为常数 ∴ 且为常数 ∴ 是 的正比例函数； （2）当 ＝1， ＝4 时，代入 ∴ ∴ 关于 的函数关系式是 . 【总结升华】在本题中，按照题意，比例系数要设为不同的 ，不要都设为 ，产生混 淆. 举一反三： 【变式】已知 ， 是常数， 是 的正比例函数，当 ＝2 时， ＝1；当 ＝3 2 24 3 2m ny x m n− += − + − y x m n ( 0)y kx k= ≠ 0k ≠ x 2 2 1 3 2 0 m n m n − + =  − = 1 1.5 m n =  = 1, 1.5m n= = y x k x x y z y x z y z x z x z x 1 1( 0)y k x k= ≠ 2 2( 0)z k y k= ≠ 1 2,k k 1 2z k k x=∴ 1 20, 0k k≠ ≠ 1 2 0k k ≠ z x 1 2z k k x=∴ 1 2( 0)k k ≠ z x 1 2z k k x= 1 2 1 4k k = z x 1 4z x= 1 2,k k k z m y= + m y x x z x3 时， ＝－1，求 与 的函数关系． 【答案】 解：由题意， ， , ∵ ＝2 时， ＝1；当 ＝3 时， ＝－1， ∴1＝ ＋2 ，－1＝ ＋3 解得 ＝－2， ＝5 ∴ ＝－2 ＋5. 类型二、正比函数的图象和性质 3、（2016•眉山）若函数 y=（m﹣1）x|m|是正比例函数，则该函数的图象经过第　 　 象限． 【思路点拨】根据正比例函数定义可得：|m|=1，且 m﹣1≠0，计算出 m 的值，然后可得解 析式，再根据正比例函数的性质可得答案． 【答案与解析】 解：由题意得：|m|=1，且 m﹣1≠0， 解得：m=﹣1， 函数解析式为 y=﹣2x， ∵k=﹣2＜0， ∴该函数的图象经过第二、四象限． 【总结升华】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握形如 y=kx（k 是常数， k≠0）的函数叫做正比例函数；正比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0），当 k＞0 时，直线 y=kx 依次经过第三、一象限，从左向右上升，y 随 x 的增大而增大；当 k＜0 时，直线 y=kx 依次 经过第二、四象限，从左向右下降，y 随 x 的增大而减小． 举一反三： 【变式】已知正比例函数 的图象上一点（ ， ），且 ＜0，那么 的取 值范围是（　　 ） A. ＜ B． ＞ C． ＜ 或 ＞ D．不确定 【答案】A； 提示：因为 ＜0，所以该点的横、纵坐标异号，即图象经过二、四象限，则 2 －1＜0， ＜ ． 类型三、正比例函数的应用 4、已知正比例函数 的图像上有一点 P( , )和一点 A(6，0)，O 为坐标原点， z z x y kx= z m kx= + x z x z m k m k k m z x ( )2 1y t x= − 1x 1y 1x 1y t t 1 2 t 1 2 t 1 2 t 1 2 1x 1y t t 1 2 4y x= x y4 且△PAO 的面积等于 12，你能求出 P 点坐标吗？ 【思路点拨】画出草图，可知三角形的底边长为|OA|＝6，高为 P 点纵坐标的绝对值，利用 面积等于 12 求解. 【答案与解析】 解：依题意： ∵O（0，0），A（6，0）∴OA＝6 ∴ ； 【总结升华】求点的坐标需要求点到坐标轴的垂线段的长，利用面积即可求出垂线段的长. 1 122 PS OA y= ⋅ ⋅ = 4, 4 4p P Py y y= = = −∴ 或 4 1, (1,4)Py x P= =当 时， 此时 4 1, ( 1, 4)Py x P= − = − − −当 时， 此时 P 1 4 1 4−综上： 点的坐标为（ ， ）或（- ， ）5 【巩固练习】 一.选择题 1．下列说法中，不正确的是（ ）． A．在 中， 是 的正比例函数 B．在 中， 是 的正比例函数 C．在 ＝3 中， 是 的正比例函数 D．正方形的边长与周长为正比例关系 2. （ ， ）， （ ， ）是正比例函数 图象上的两点，则下列判断正确的 是（　　） A． ＞ B． ＜ C．当 ＜ 时， ＞ D．当 ＜ 时， ＜ 3.（2014 秋•松江区校级期中）在水管放水的过程中，放水的时间 x（分）与流出的水量 y （立方米）是两个变量．已知水管每分钟流出的水量是 0.2 立方米，放水的过程共持续 10 分钟，则 y 关于 x 的函数图象是（　　） 　A． B． C． D． 4．（2016•丽水）在直角坐标系中，点 M，N 在同一个正比例函数图象上的是（　　） A．M（2，﹣3），N（﹣4，6） B．M（﹣2，3），N（4，6） C．M（﹣2，﹣3），N（4，﹣6） D．M（2，3），N（﹣4，6） 5. 正比例函数 （ ≠0），下列结论正确的是（　　） A． ＞0 B． 随 的增大而增大 C． ＜0 D． 随 的增大而减小 6. 已知正比例函数 （ ≠0）的图象如图所示，则在下列选项中 值可能是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 2 1y x= + y x 1 2y x= − y x xy y 1 x 1P 1x 1y 2P 2x 2y y x= − 1y 2y 1y 2y 1x 2x 1y 2y 1x 2x 1y 2y 2y k x= − k y y x y y x y kx= k k6 二.填空题 7．（2015 春•山西校级月考）已知 y 与 x+1 成正比例，且 x=1 时，y=2．则 x=﹣1 时，y 的值 是　 　． 8．如图所示，直线 、 、 的解析式分别为 ， ， ，则 、 、 三个数的大小关系是________． 9. 若函数 是正比例函数，则 ＝________，图象过第______象限. 10. 已知函数 （ 为常数）为正比例函数，则 ＝____．此函数图象经过第 ______象限； 随 的增大而__________． 11.（2016 春•晋江市期末）在正比例函数 y=（k﹣2）x 中，y 随 x 的增大而增大，则 k 的 取值范围是　　． 12. 已知点 A（1，－2），若 A，B 两点关于 轴对称，则 B 点的坐标为______,若点（3， ）在函数 的图象上，则 ＝_______. 三.解答题 13. 已知 与 成正比例，当 时， ， （1）求 与 的函数关系式； （2）求当 时的函数值； （3）如果 的取值范围是 ，求 的取值范围。 14.（2014 秋•江东区校级月考）已知两个正比例函数 y1=k1x 与 y2=k2x，当 x=2 时，y1+y2=﹣1； 当 x=3 时，y1﹣y2=12． （1）求这两个正比例函数的解析式； 1l 2l 3l 1y ax= 2y bx= 3y cx= a b c ( ) 23 9y a x a= − + − a k k y x x n 2y x= − n 5y + 3 4x + 1x = 2y = y x 1x = − y 0 5y≤ ≤ x7 （2）当 x=4 时，求 的值． 15.有一长方形 AOBC 纸片放在如图所示的坐标系中，且长方形的两边的比为 OA：AC＝2：1. （1）求直线 OC 的解析式； （2）求出 ＝－5 时，函数 的值； （3）求出 ＝－5 时，自变量 的值； （4）画这个函数的图象； （5）根据图象回答，当 从 2 减小到－3 时， 的值是如何变化的？ 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】A； 【解析】根据定义， 与 的解析式可以写为形如 ( 是常数， ≠0)的形式. 2. 【答案】C； 【解析】根据 ＜0，得 随 的增大而减小． 3. 【答案】D； 【解析】解：∵水管每分钟流出的水量是 0.2 立方米， ∴流出的水量 y 和放水的时间 x 的函数关系为：y=0.2x， ∵放水的过程共持续 10 分钟， ∴自变量的取值范围为（0≤x≤10）， 故选 D． 4. 【答案】A； 【解析】设正比例函数的解析式为 y=kx，根据 4 个选项中得点 M 的坐标求出 k 的值， 再代入 N 点的坐标去验证点 N 是否在正比例函数图象上，由此即可得出结 论． 5. 【答案】D； 【解析】因为 的取值范围是全体实数，所以 的值不确定，因为 ＜0，所以选 D. 6. 【答案】B； x y y x x y y x y kx= k k k y x x y 2k−8 【解析】根据图象，得 2 ＜6，3 ＞5，解得 ＜3， ＞ ，所以 ＜ ＜3．只有 2 符合. 二.填空题 7. 【答案】0； 【解析】解：∵y 与 x+1 成正比例， ∴设 y=k（x+1）， ∵x=1 时，y=2， ∴2=k×2，即 k=1， 所以 y=x+1． 则当 x=﹣1 时，y=﹣1+1=0． 故答案为 0． 8. 【答案】 【解析】可用赋值法，令 ＝1，则 ，观察图象可知 . 9. 【答案】－3，二、四； 【解析】由题意 ，故 ＝－3，图象经过二、四象限. 10.【答案】－2；二、四；减小； 【解析】由题意可知： 且 ，所以： ＝－2. 原函数即 ，经 过第二、四象限， 随 的增大而减小. 11.【答案】k＞2； 【解析】∵正比例函数 y=（k﹣2）x 中，y 随 x 的增大而增大∴k﹣2＞0∴k＞2. 12.【答案】（1，2），－6； 【解析】平面直角坐标系中任意一点 P（ ， ），关于 轴的对称点的坐标是（ ，－ ）．将点（3， ）代入函数即可求得 的值． 三.解答题 13.【解析】 解：（1）由题意 ，把 ， 代入解得 ＝1， 所以 与 的函数关系式为 ； （2）当 ＝－1 时， ＝3×（－1）－1＝－4； （3）由题意 ，解不等式得 . 14.【解析】 k k k k 5 3 5 3 k ;a b c< < x 1 2 3, ,y a y b y c= = = a b c< < 2 3 0 9 0 a a − ≠  − = a k 4y x= − y x x y x x y n n ( )5 3 4y k x+ = + 1x = 2y = k y x 3 1y x= − x y 0 3 1 5x≤ − ≤ 1 23 x≤ ≤9 解：（1）根据题意得 ， 解得 ， 所以两正比例函数的解析式分别为 y1= x，y2=﹣ x； （2）当 x=4 时，y1= x=7，y2=﹣ x=﹣9， 所以 = ﹣ = ． 15.【解析】 解：（1）设 C 点的坐标为( , ), 因为长方形的两边的比为 OA：AC＝2：1. 所以 ； （2）将 ＝－5 代入 ，得 ＝－10； （3）将 ＝－5 代入 ，得 ＝－2.5; （4）函数图象如下所示： （5）当 从 2 减小到－3 时， 的值从 4 减小到－6. x y 2y x= x 2y x= y y 2y x= x x y10