知识讲解 功和功率（提高）

1 物理总复习：功和功率 【考纲要求】 1、理解功、功率、平均功率、瞬时功率等概念含义； 2、知道功的正负的物理意义；掌握恒力做功特点及计算方法； 3、会分析机车在恒定功率或恒定牵引力作用下运动状态的变化情况； 4、会计算变力的功； 5、知道摩擦力做功的多种情况。 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、功 1、功的定义 　　一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，就说这个力对物体做了功。 2、做功的两个必要因素 　　力和物体在力的方向上发生的位移，缺一不可。 3、功的物理意义：功是能量变化的量度 　　能量的转化跟做功密切相关，做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功就有多少能 量发生了转化，功是能量转化的量度。 4、公式 　　（1）当恒力 F 的方向与位移 的方向一致时，力对物体所做的功为 。 　　（2）当恒力 F 的方向与位移 的方向成某一角度 时，力 F 物体所做的功为 ．即力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移的夹角的余 弦这三者的乘积。 5、功是标量，但有正负 　　功的单位由力的单位和位移的单位决定。在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦， 符号是 J。 要点诠释：一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功（取绝对值）。这两种说法 在意义上是相同的。例如竖直向上抛出的球，在向上运动的过程中，重力对球做了－6J 的 功，可以说成球克服重力做了 6J 的功。 由 ，可以看出： 　　①当 =0 时， ，即 ，力对物体做正功； 　　②当 时， ，力对物体做正功。 　　①②两种情况都是外界对物体做功。 　　③当 时，力与位移垂直， ，即力对物体不做功，即外界和物 体间无能量交换； 　　④当 时， ，力对物体做负功,也称物体克服这个力做了功； 　　⑤当 时， ，此时 ，即力的方向与物体运动位移的方 向完全相反，是物体运动的阻力。 　　④⑤两种情况都是物体对外界做功。 l W Fl= l α cosW Fl α= cosW Fl α= α cos 1α = W Fl= 0 90α< <  0 cos 1α< < 90α =  cos 0α = 0W = 90 180α< + sinP mg fv θ< + P v11 【高清课堂：功和功率例 4】 例 7、一质量为 4.0×103kg 的汽车从静止开始以加速度 a = 0.5m/s2 做匀加速直线运动， 其发动机的额定功率 P = 60kW，汽车所受阻力为车重的 0.1 倍，g = 10m/s2，求 (1)启动后 2s 末发动机的输出功率 (2)匀加速直线运动所能维持的时间 (3)汽车所能达到的最大速度 【答案】(1)6000W；（2）20s；（3）15m/s； 【解析】汽车以恒定加速度启动，牵引力恒定，阻力 （1）根据牛顿第二定律 （2）匀加速运动结束时的实际功率等于额定功率 速度 （3）当牵引力等于阻力时速度达到最大 【总结升华】做题时可以画出速度时间图像，第一段匀加速直线运动，第二段做加速度减小 的加速度运动，如图例 6。 【变式】质量 的汽车，在平直路面上行驶时，其发动机的功率和所受阻力不 变，已知汽车速度为 时，其加速度为 ；汽车速度为 时，加速度为 。试求：(1)汽车发动机的功率 P； (2)汽车可能达到的最大速度 【答案】（1）　P＝5×104W （2） 【解析】 发动机的功率和所受阻力不变，说明以恒定功率启动 （1）根据牛顿第二定律 由 得 （1） （2） 0.1 4000f mg N= = F f ma− = 6000F ma f N= + = 1 /v at m s= = 6000P Fv W= = 3 1 60 10 / 10 /6000 Pv m s m sF ×= = = 1 1v at= 1 1 20vt sa = = 3 max 60 10 15 /4000 Pv m sf ×= = = 310 10m kg= × 1 5 /v m s= 2 1 0.75 /a m s= 2 10 /v m s= 2 2 0.25 /a m s= mv 20 /mv m s= F f ma− = P Fv= PF v = 1 1 PF v = 2 2 PF v = 1 1 P f mav − = 2 2 P f mav − =12 代入数据 联立解得 额定功率 阻力 （2）列车的最大速度 【总结升华】速度、加速度、牵引力都是瞬时值，牛顿第二定律仍然使用，这里功率恒定， 只要根据题意列出方程组求解即可。 75005 P f− = 250010 P f− = 45.0 10P W= × 2500f N= 4 3 5 10 / 20 /2.5 10m Pv m s m sf ×= = =×13 【巩固练习】 一、选择题 1、如图所示，重物 P 放在粗糙的水平板 OM 上，当水平板绕 O 端缓慢抬高，在重物 P 没有 滑动之前，下列说法中正确的是（ ） 　　A．P 受到的支持力不做功 　　B．P 受到的支持力做正功 　　C．P 受到的摩擦力不做功 　　D．P 受到的摩擦力做负功 　　 2、如图所示是一个物体的运动轨迹。下面关于该物体的说法中正确的是（ ） 　　A．物体受到的合外力沿＋x 方向，大小恒定 　　B．在任何相等的时间内合外力做的功都相等 　　C．任何两段相邻的相等时间间隔内的速度的增量都相等 　　D．任何两段相邻的相等时间间隔丙的动能的增量都相等 　 　　 3、如图所示为测定运动员体能的一种装置，运动员质量为 ，绳拴在腰间沿水平方向跨过 滑轮（不计滑轮质量及摩擦），下悬一质量为 的重物，人用力蹬传送带而人的重心不动， 使传送带以速率 匀速向右运动。下面是人对传送带做功的四种说法，其中正确的是（ ） 　　A．人对传送带做功 　　B．人对传送带不做功 　　C．人对传送带做功的功率为 　　D．人对传送带做功的功率为 1m 2m v 2m gv 1 2( )m m gv+14 4、用水平力拉一物体在水平地面上从静止开始做匀加速运动，到 秒末撤去拉力 F，物体 做匀减速运动，到 秒末静止。其速度图象如图所示，且 。若拉力 F 做的功为 W， 平均功率为 P；物体在加速和减速过程中克服摩擦阻力做的功分别为 和 ，它们的平均 功率分别为 和 ，则下列选项正确的是（ ） 　 　A． 　 　B． 　 　C． 　 　D． 5、（2016 上海崇明一模）一汽车在平直公路上行驶。从某时刻开始计时，发动机的功率 P 随时间 t 的变化如图所示： 假定汽车所受阻力的大小 f 恒定不变。下列描述该汽车的速度 v 随时间 t 变化的图线中， 可能正确的是（ ） 　6、光滑水平面上静止的物体，受到一个水平拉力作用开始运动，拉力 F 随时间 t 变化如 图所示，用 、 、 、 分别表示物体的动能、速度、位移和拉力 F 的功率，下列四个 图象分别定性描述了这些物理量随时间变化的情况，其中正确的是（ ） 1t 2t α β< 1W 2W 1P 2P 1 2W W W= + 1 2W W= 1 2P P P= + 1 2P P= kE v s P15 　　　 7、一质量为 m 的小球，用长为 L 的轻绳悬挂在 O 点，小球在水平恒力 F 作用下，从静止 开始由平衡位置 P 点移动到 Q 点，此时绳与竖直方向的偏角为 θ 如图所示，则力 F 所做的 功为（ ） A．mgLcosθ B．mgL(1－cosθ) C．FLsinθ D． 8、如图所示，质量为 m 的小球 A 沿高度为 h 倾角为 θ 的光滑斜面以初速 滑下。另一质 量与 A 相同的小球 B 自相同高度由静止落下，结果两球同时落地。下列说法正确的是（ ） A．重力对两球做的功相同 B．落地前的瞬间 A 球的速度大于 B 球的速度 C．落地前的瞬间 A 球重力的瞬时功率大于 B 球重力的瞬时功率 D．两球重力的平均功率相同 9、木块 m 沿着倾角为θ的光滑斜面从静止开始下滑，当下降的高度为 h 时，重力的瞬时 功率为（ ） A． B． C． D． 10、如图所示，小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上。从地面上看，在 小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力（ ） A．垂直于接触面，做功为零 B．垂直于接触面，做功不为零 C．不垂直于接触面，做功为零 D．不垂直接触面，做功不为零 θ cosFL θ 0v h A B ghmg 2 ghmg 2cosθ 2/sin ghmg θ ghmg 2sinθ16 11、（2016 海南自主招生）从地面上方同一点向东与向西分别平抛出两个等质量的小物体， 抛出速度大小分别为 v 和 2v，不计空气阻力，则两个小物体： ①从抛出到落地动量的增量相同 ②从抛出到落地重力做的功相同 ③从抛出到落地重力的平均功率相同 ④落地时重力做功的瞬时功率相同 A. ①② B. ③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题 1、水平拉着物块绕着半径为 R 的圆形操场一圈，物块与地面动摩擦因数为μ，质量为 m，则此过程中，物块克服摩擦力做功为 。 2、质量为 100kg 的木箱放在水平地面上，如图所示，一个人采用翻滚的办法把它移动 10m （边长远小于 10m），这个人至少要做功________J。（g 取 10m/s2） 3、如图所示，某人通过定滑轮拉住一个重力等于 G 的物体使物体缓慢上升，这时人从 A 点走到 B 点，前进的距离为 s，绳子的方向由竖直方向变为与水平方向成θ角。若不计各种 阻力，在这个过程中，人的拉力所做的功等于__________。 4、质量为 m 的汽车在倾角为θ的斜坡上匀速行驶，上坡时的速度为 ，下坡时的速度 为 。设汽车所受摩擦阻力的大小不变，且上下坡时汽车的功率相等。则汽车的功率是 ____________，摩擦阻力的大小是____________。 O F θ A B 1v 2v17 5、所示，两个底面积分别为 2S 和 S 的圆桶，放在同一水平面上，桶内部装水，水面高 分别是 H 和 h。现把连接两桶的闸门打开，最后两水桶中水面高度相等。设水的密度为 ， 问这一过程中重力做的功是多少？ 三、计算题 1、医生用 20 N 的力将 5 mL 的药液在 30 s 的时间内注入病人的体内，若活塞的横截面积 是 1 cm2，试计算人对活塞做功的平均功率是多大？ 2、汽车发动机的功率为 60KW，若其总质量为 5t，在水平路面上行驶时，所受的阻力恒 为 5.0×103N，试求： （1）汽车所能达到的最大速度。 （2）若汽车以 0.5m/s2 的加速度由静止开始匀加速运动,求这一过程能维持多长时间? 3、质量为 5×106kg 的列车以恒定的功率由静止沿平直轨道加速行驶，当速度增大到 =2m/s 时，加速度 =0.9m/s2；当速度增大到 =10m/s 时，加速度 =0.1m/s2。如果列车所 受阻力不变，求： 　　（1）列车所受阻力多大？ 　 　（2）在该功率下列车的最大速度是多少？ 　 4、高速连续曝光照相机可在底片上重叠形成多个图像。现利用这架照相机对 MD-2000 家用汽车的加速性能进行研究，如图为汽车做匀加速直线运动时三次曝光的照片，图中汽车 的实际长度为 4m,照相机每两次曝光的时间间隔为 2.0s。已知该汽车的质量为 1000kg，额定 功率为 90kW，汽车运动过程中所受的阻力始终为 1500N。 ρ H h 1v 1a 2v 2a18 (1)试利用图示，求该汽车的加速度。 (2)若汽车由静止开始以此加速度做匀加速运动，匀加速运动状态最多能保持多长时间。 (3)汽车所能达到的最大速度是多大。 (4)若该汽车从静止开始运动，牵引力不超过 3000N，求汽车运动 2400m 所用的最短时 间(汽车已经达到最大速度)。 　 5、如图所示，一个 圆弧形光滑细圆管轨道 ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为 R， 在 A 点与水平地面 AD 相接，地面与圆心 O 等高，MN 是放在水平地面上长为 3R、厚度 不计的垫子，左端 M 正好位于 A 点．将一个质量为 m、直径略小于圆管直径的小球从 A 处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力． （1）若小球从 C 点射出后恰好能打到垫子的 M 端，则小球经过 C 点时对管的作用力大 小和方向如何？ （2）欲使小球能通过 C 点落到垫子上，小球离 A 点的最大高度是多少？ 【答案与解析】 一、选择题 1、BC 解析：摩擦力时刻与运动方向垂直，不做功，支持力时刻与运动方向相同，做正功。 2、AC 解析：仔细分析图象，在 y 轴上取相等的间隔，例如取 y=3、6、9、…，相应地 x=1、4、 9、…说明该物体的运动规律与平抛物体的运动类似，只是它沿 y 方向做匀速运动，沿 x 方 向做初速为零的匀加速运动，因此受到的合外力是恒力，方向沿 x 正向。由于相等时间内在 3 419 力的方向上（x 方向上）位移不相等，所以合力做的功不相等。 3、AC 解析：人在水平方向受绳子拉力和摩擦力作用而处于平衡状态， 。由牛顿第三 定律得人对传送带的摩擦力为 ，方向向右，所以人对传送带做正功，做功的功率为 ，A、C 正确。 4、AD 解析：物体在拉力作用下运动的过程中所有力做功的和为零， ，A 正确。 与 内的位移不等，所以 ，B 错。因 与 内的平均速度相等， ，D 正确。 与 时间不等，故 ，C 错误。 5、【答案】A 【解析】在 0~t1 时间内，如果匀速，则 v-t 图象是与时间轴平行的直线，如果是加速， 根据 P=Fv，速度增大，牵引力减小；根据 F-f=ma，加速度减小，是加速度减小的加速运动， 当加速度为 0 时，即 F1=f，汽车开始做匀速直线运动，此时速度 。所以 0~t1 时 间内，v-t 图象先是平滑曲线，后是平行于横轴的直线；在 t1~ t2 时间内，功率突然增加，故 牵引力突然增加，是加速运动，根据 P=Fv，速度增大，牵引力减小；根据 F-f=ma，加速度 减小，是加速度减小的加速运动，当加速度为 0 时，即 F2=f，汽车开始做匀速直线运动， 此时速度 。所在 t1~ t2 时间内，v-t 图象也先是平滑曲线，后是平行于横轴的直 线。故 A 正确，BCD 错. 故选 A。 6、BD 解析：由于物体所受的合外力为恒力，物体做匀加速直线运动，其速度 。拉力 F 的功 率 ，其 图象， 图象均为过原点的倾斜直线，因而 B、D 正确；而动 能 ，位移 ，其 图象 图象均不是直线而是抛物线， A、C 错误，故选 BD。 7、C 解析：在水平恒力 F 作用下，小球沿力的方向的位移为 ， 1 1 1 1 P Pv F f = = 2 2 2 2 P Pv F f = = f T mg= = f f′ = 2P f v m gv′= = 1 2 0W W W− − = 10 t 1 2t t 1 2W W≠ 10 t 1 2t t 1 2 2 mfvP P P= = = 10 t 1 2t t 1 2P P P≠ + v at= P Fv Fat= = v t− P t− 2 2 21 1 2 2kE mv ma t= = 21 2s at= kE t− s t− sinL θ20 则力 F 所做的功为 8、ABD 解析：两球下落的高度相同，重力对两球做的功相同，A 对。落地前的瞬间 A 球的速度为 B 球的速度为 ，B 对。两球重力的功相等，时间不相等， 所以两球重力的功率不相同，D 错。落地前瞬间，两球重力相等，比较竖直方向的分速度的 大小， ， ，大小不能确定，C 错。 9、D 解析：木块下降的高度为 h 时，速度的大小为 ，竖直方向的速度的小为 ，所以此时重力的瞬时功率为 10、B 解析：小物块沿斜面下滑，斜面向右运动，斜面对小物块的作用力只有支持力，垂直于斜面 向上，但由于支持力的水平分力在水平方向上的位移不为零，做功不为零。故 D 对。 11、【答案】D 【解析】两个物体从同一点做平抛运动，运动时间相同，重力的冲量相同，根据动量 定理可知，动量的增量相同，①正确；由于下落的高度相同，重力相同，则重力做功相同，② 正确；由公式 ，重力做功 W 相同，时间 t 相同，则从抛出到落地重力的平均功率相 同，③正确；竖直方向两个物体做自由落体运动，高度相同，落地时竖直方向的分速度 vy 相同，落地时重力做功瞬时功率相同，④正确。 故选 D。 二、填空题 1、2πRμmg 解析：摩擦力做的功等于摩擦力乘以路程，路程为 ,摩擦力大小为 ，所以物块克 服摩擦力做功为 2πRμmg。 2、2070J 解析：设箱子边长为 ， 重心升高的高度为 翻滚一次移动的距离为 ， 翻滚的次数 ， 需做功（克服重力做功）： WP t = sinW FL θ= 2 0 2Av v gh= + 2Bv gh= 2Bv gh= 2 0 2 sinAyv v gh θ= + 2v gh= 2 sinyv gh θ= ⋅ sin 2P mg ghθ= 2 Rπ mgµ a 2 2 1 2 2 2 ah a a −∆ = − = a 10n a = 10na = 2 1 2 1 10 100 10 20702 2GW namg J − −= = × × × =21 3、 解析：开始时绳长 ， ，后来绳长为 ， 重物上升的高度为 即位移，人的拉力所做的功等于重力乘以位移 4、 解析： 摩擦阻力的大小不变， 匀速行驶，合力为零 上坡时，牵引力 （1） 下坡时，牵引力 （2） 联立（1）（2）解得汽车的功率为 摩擦阻力的大小为 5、 解析：移动的水的质量 这部分水原来重心的高度为 现在重心的高度为 重心降低了 重力做功为： 三、计算题 1、 解析：位移等于体积除以面积 ( tan )cos smg s θθ − 1l 1 tanl s θ= 2l 2 cos sl θ= 2 1l l− 2 1( ) ( tan )cos sW mg l l mg s θθ= − = − 1 2 2 1 2 sinmgv vP v v θ= − 1 2 2 1 ( )sinmg v vf v v θ+= − P Fv= PF v = 1 1 PF v = 1 sinP mg fv θ= + 2 2 PF v = 2 sinP mg fv θ+ = 1 2 2 1 2 sinmgv vP v v θ= − 1 2 2 1 ( )sinmg v vf v v θ+= − gshH 2)(3 1 −ρ 2 ( )m S H hρ∆ = − 1 ( )2 H h− 1 ( )3 H h− 1 1 1( ) ( ) ( )2 3 6h H h H h H h∆ = − − − = − 21 12 ( ) ( ) ( )6 3W mg h g S H h H h gS H hρ ρ= ∆ ∆ = − × − = − 1 30P W= 5 0.051 Vx cm mS = = =22 做功 所以平均功率 2、（1） （2）16 秒 解析：（1）汽车的最大速度 （2）根据牛顿第二定律 牵引力 达到额定功率时的速度 持续的时间为 3、（1） （2） 解析：（1）根据牛顿第二定律 由 得 （1） （2） 联立解得 额定功率 阻力 （2）列车的最大速度 4、【答案】 (1)1.5m/s2　(2)20 s　(3)60 m/s　(4)70 s 【解析】 (1)由图可得汽车在第 1 个 2s 时间内的位移 x 1=9m，第 2 个 2s 时间内的位移 x2=15m 汽车的加速度 (2)由 F-f=ma 得，汽车牵引力 F=f+ma=(1500+1000×1.5)N=3 000 N 汽车做匀加速运动的末速度 20 0.05 1W Fx J J= = × = 1 30 WP Wt = = 12 /m s 3 3 60 10 12 /5 10m Pv m sf ×= = =× F f ma− = 37.5 10F ma f N= + = × P Fv= 3 3 60 10 8 /7.5 10 Pv m sF ×= = =× v at= ss.a vt 1650 81 === 55 10f N= × 20 /mv m s= F f ma− = P Fv= PF v = 1 1 PF v = 2 2 PF v = 1 1 P f mav − = 2 2 P f mav − = 71.0 10P W= × 55 10f N= × 7 5 1 10 / 20 /5 10m Pv m s m sf ×= = =× 2 2 1.5m/sxa T ∆= = 3 3 90 10 m/s 30m/s3 10 Pv F ×= = =× 额23 匀加速运动保持的时间 (3)汽车所能达到的最大速度 (4)由(1)、(2)知匀加速运动的时间 t1=20s, 运动的距离 所以,后阶段以恒定功率运动的距离 x′2=(2400-300)m=2 100 m 对后阶段以恒定功率运动,有： 解得 t2=50s 所以,所求时间为 t 总=t1+t2=(20+50)s=70 s 【总结提升】解答汽车启动问题时应注意的三个问题 (1)确定是匀加速启动还是恒定功率启动。 (2)区别汽车所能达到的最大速度与匀加速运动的最大速度。 (3)恒定功率下物体的运动一定不是匀加速运动,这种加速过程发动机做的功可用 W=Pt 计算,涉及位移问题应用动能定理分析计算。 5、（1）大小为 ，方向竖直向下（2） 解析：（1）小球离开 C 点做平抛运动，落到 M 点时水平位移为 R，竖直下落高度为 R，根 据运动学公式可得： 运动时间 从 C 点射出的速度为 设小球以 v1 经过 C 点受到管子对它的作用力为 N，由向心力公式可得 ， 由牛顿第三定律知，小球对管子作用力大小为 ，方向竖直向下． （2）小球下降的高度最高时，小球运动的水平位移为 4R，打到 N 点． 设能够落到 N 点的水平速度为 v2，根据平抛运动求得： 1 2 mg 2 2 1 gtR = g Rt 2= 21 gR t Rv == R vmNmg 2 1=− 2 2 1 mg R vmmgN =−= 1 2 mg gRt Rv 84 2 == 1 30 s 20s1.5 vt a = = = 3 m 3 90 10 m/s 60m/s1.5 10 Pv f ×= = =× 额 1 1 30 2 m 300m2 2 vtx ×′ = = = 2 2 2 2 m 1 ( )2P t fx m v v− ′ = −额 5H R=24 设小球下降的最大高度为 H，根据机械能守恒定律可知， 2 22 1)( mvRHmg =− RRg vH 52 2 2 =+=