知识讲解 光的反射、折射、全反射

1 光的反射、折射、全反射 【学习目标】 1．通过实例分析掌握光的反射定律与光的折射定律． 2．理解折射率的定义及其与光速的关系． 3．学会用光的折射、反射定律来处理有关问题． 4．知道光疏介质、光密介质、全反射、临界角的概念． 5．能判定是否发生全反射，并能分析解决有关问题． 6．了解全反射棱镜和光导纤维． 7．明确测定玻璃砖的折射率的原理． 8．知道测定玻璃砖的折射率的操作步骤． 9．会进行实验数据的处理和误差分析． 【要点梳理】 要点一、光的反射和折射 1．光的反射现象和折射现象 如图所示，当光线入射 到两种介质的分界面上时，一部分光被反射回原来的介质，即反射光 线 ，这种现象叫做光的反射．另一部分光进入第二种介质，并改变了原来的传播方向，即光线 ，这种现象叫做光的折射现象，光线 称为折射光线．折射光线与法线的夹角称为折射角 （ ）． 　　　　 2．反射定律 反射光线与入射光线、法线处在同一平面内，反射光线与入射光线分别位于法线的两侧；反射角 等于入射角． 3．折射定律 （1）内容：折射光线跟入射光线和法线在同一平面内，折射光线和入射光线分别位于法线的两 侧．入射角的正弦跟折射角的正弦成正比．即 常数．如图所示． AO OB OC OC 2 θ 1 2 sin sin θ θ =2 也可以用 的数学公式表达， 为比例常数．这就是光的折射定律． （2）对折射定律的理解： ①注意光线偏折的方向：如果光线从折射率（ ）小的介质射向折射率（ ）大的介质，折射光 线向法线偏折，入射角大于折射角，并且随着入射角的增大（减小）折射角也会增大（减小）；如果光 线从折射率大的介质射向折射率小的介质，折射光线偏离法线，入射角小于折射角，并且随着入射角 的增大（减小）折射角也会增大（减小）． ②折射光路是可逆的，如果让光线逆着原来的折射光线射到界面上，光线就会逆着原来的人射光 线发生折射，定律中的公式就变为 ，式中 、 分别为此时的入射角和折射角． 4．折射率——公式中的 （1）定义． 实验表明，光线在不同的介质界面发生折射时．相同入射角的情况下．折射角不同．这意味着定 律中的 值是与介质有关的，表格中的数据，是在光线从真空中射向介质时所测得的 值，可以看到 不同介质的 值不同，表明 值与介质的光学性质有关，人们把这种性质称为介质的折射率．实际运 用中我们把光从真空斜射人某种介质发生折射时，入射角 的正弦跟折射角 的正弦之比。，叫做这 种介质的折射率： ． （2）对折射率的理解． ①折射率与光速的关系：某种介质的折射率，等于光在真空中的传播速度 跟光在这种介质中传 播速度 之比，即 ，单色光在折射率较大的介质中光速较小． ②折射率 是反映介质光学性质的物理量，它的大小由介质本身及人射光的频率决定，与入射角、 折射角的大小无关，“折射率与 成正比，跟 成反比”的说法和“折射率 跟光速”成反比的 说法是错误的． 5．视深问题 （1）视深是人眼看透明物质内部某物点时像点离界面的距离．在中学阶段，一般都是沿着界面的 法线方向去观察，在计算时，由于入射角很小，折射角也很小，故有： ，这是在 视深问题中经常用到的几个关系式． sin sin i nr = n 1n 2n 1 2 sin 1 sin n θ θ = 1 θ 2 θ n n n n n 1 θ 2 θ 1 2 sin sinn θ θ= c v cn v = n sini sin r n 1 1 1 2 2 2 sin tan sin tan θ θ θ θ θ θ≈ ≈3 （2）当沿竖直方向看水中的物体时，“视深”是实际深度的 倍， 为水的折射率． 6．玻璃砖对光的折射 常见的玻璃砖有半圆形玻璃砖和长方形玻璃砖．对于半圆形玻璃砖，若光线从半圆面射入，且其 方向指向圆心，则其光路图如图甲所示．对于两个折射面相互平行的长方形玻璃砖，其折射光路如图 乙所示，光线经过两次折射后，出射光线与入射光线的方向平行，但发生了侧移．物点通过玻璃砖亦 可以成虚像．如图丙所示为其示意图． 7．折射成像的画法 应用折射定律，确定物点发出的任意两条入射光线的折射光线，即可找到折射所成的像．如图所 示． 8．画光路图应注意的问题 （1）光线实际是从哪个物体发出的；（2）是从光密介质向光疏介质传播的还是从光疏介质射向 光密介质；（3）必要的时候还需要借助光的可逆性原理；（4）注意作图时一定要规范，光线与法线、 光线的反向延长线等应用，实线和虚线区分． 9．关于大气层的折射率及光现象——蒙气差 地球大气层的密度不均匀，越接近地球，表面密度越大，折射率也越大． 光由真空进入空气中时，传播方向只有微小的变化，虽然如此，有时仍然不能不考虑空气的折射 1 n n4 效应．图示表示来自一个遥远天体的光穿过地球大气层时被折射的情景．覆盖着地球表面的大气，越 接近地表越稠密，折射率也越大．我们可以把地球表面上的大气看做是由折射率不同的许多水平气层 组成的．星光从一个气层进入下一个气层时，要折向法线方向．结果，我们看到的这颗星星的位置， 比它的实际位置要高一些．这种效应越是接近地平线就越明显．我们看到的靠近地平线的星星的位置， 要比它的实际位置高 ．这种效应叫做蒙气差，是天文观测中必须考虑的． 要点二、全反射 1．光疏介质和光密介质 光在各种介质中的传播速度和介质相对真空的折射率都是不相同的．两种介质相比较光在其中传 播速度大，而折射率小的介质叫光疏介质；光在其中传播速度小，而折射率大的介质叫光密介质． 2．对光疏介质和光密介质的理解 （1）光疏介质和光密介质是相对而言的，并没有绝对的意义．例如：水晶（ ）对玻璃 （ ）是光密介质，而对金刚石来说（ ），就是光疏介质．同一种介质到底是光疏介质 还是光密介质，是不确定的． （2）光若从光密介质进入光疏介质时，折射角大于入射角；反之，光由光疏介质进入光密介质时， 折射角小于入射角． （3）光疏和光密是从介质的光学特性来说的，并不是它的密度大小．例如，酒精的密度比水小， 但酒精和水相比酒精是光密介质． （4）光疏介质和光密介质的比较． 光疏介质和光密介质的比较表 光的速度 折射率 光疏介质 大 小 光密介质 小 大 要点诠释：光疏介质、光密介质是对确定的两种介质而言的．任何两种透明介质都可以通过比较 光在其中速度的大小或折射率的大小来判定谁是光疏介质或光密介质． 3．全反射 （1）全反射现象． 光由光密介质射向光疏介质时，折射角大于入射角．当入射角增人，反射光增强，折射光减弱， 继续增大入射角，当折射角达到 时，折射光全部消失，入射光全部被反射回原介质，当入射角再 增大时．入射光仍被界面全部反射回原介质，这种现象叫全反射． （2）对全反射的理解． ①全反射是光的折射的特殊现象，全反射现象还可以从能量变化角度加以理解．当光线从光密介 质射入光疏介质，在入射角逐渐增大的过程中，反射光的能量逐渐增强，折射光的能量逐渐减弱，当 入射角等于临界角时，折射光的能量已经减弱为零，发生了全反射． ②发生全反射的条件： 光线从光密介质射向光疏介质；入射角大于或等于临界角． ③全反射遵循的规律： 光由光密介质进入光疏介质发生全反射时，仍然遵守反射定律．有关计算仍依据反射定律进行． 4．临界角 （1）临界角的定义：折射角为 时的入射角称为全反射临界角，简称临界角，用 表示． 要点诠释：①光从光密介质射向光疏介质时，只要入射角大于或等于临界角 ，一定会发生全反 射现象． ②一般情况下，光由一种介质到达另一种介质时，光既有反射又有折射，即光的能量有一部分反 ρ° 1.55n = 1.5n = 2.427n = 90° 90° C C5 射回原介质中：而另，一部分则进入其他介质中．发生全反射时，光的能量全部反射回原介质中． （2）临界角 的表示式：由折射定律知，光由某介质射向真空（或空气）时，若刚好发生全反 射，则 ． 所以 ，即 ． 5．应用全反射解决实际问题的基本方法 （1）确定光是由光疏介质进入光密介质还是由光密介质进入光疏介质． （2）若光由光密介质进入光疏介质时，则根据 确定临界角，看是否发生全反射． （3）根据题设条件，画出入射角等于临界角的“临界光路”． （4）运用几何关系、三角函数关系、反射定律等进行判断推理，运算及变换进行动态分析或定量 计算． 6．应用全反射解释自然现象 （1）对“海市蜃楼”的解释： 由于光在空气中的折射和全反射，会在空中出现“海市蜃楼”．在海面平静的日子，站在海滨，有 时可以看到远处的空中出现了高楼耸立、街道棋布、山峦重叠等景象．这种景象的出现是有原因的．当 大气层比较平静时，空气的密度随温度的升高而减小，对光的折射率也随之减小，海面上空的空气温 度比空中低，空气的折射率下层比上层大．我们可以粗略地把空中的大气分成许多水平的空气层，如 图所示，下层的折射率较大．远处的景物发出的光线射向空中时，不断被折射，射向折射率较低的上 一层的入射角越来越大，当光线的入射角大到临界角时，就会发生全反射现象．光线就会从高空的空 气层中通过空气的折射逐渐返回折射率较低的下一层．在地面附近的观察者就可以观察到由空中射来 的光线形成的虚像．这就是海市蜃楼的景象．如图所示． （2）对沙漠上、柏油路上的蜃景的解释： 在沙漠里也会看到蜃景，太阳照到沙地上，接近沙面的热空气层比上层空气的密度小，折射率也 小．从远处物体射向地面的光线，进入折射率小的热空气层时被折射，入射角逐渐增大，也可能发生 全反射．人们逆着反射光线看去，就会看到远处物体的倒景（如图），仿佛是从水面反射出来的一 样．沙漠里的行人常被这种景象所迷惑，以为前方有水源而奔向前去，但总是可望而不可即． 在炎热夏天的柏油马路上，有时也能看到上述现象．贴近热路面附近的空气层同热沙面附近的空 气层一样，比上层空气的折射率小．从远处物体射向路面的光线，也可能发生全反射，从远处看去， 路面显得格外明亮光滑，就像用水淋过一样． C sin90 1 sin sinn C C °= = 1sinC n = 1arcsinC n = 1sinC n =6 （3）水或玻璃中的气泡为何特别明亮？ 由图可知，也是光线在气泡的表面发生全反射的结果． 7．光纤通信 全反射现象在通信中有、重要的作用，光导纤维之所以能传光、传像，就是利用了光的全反射现 象，光导纤维是一种透明的玻璃纤维丝，直径只有 ． 如图所示，它是由内芯和外套两层组成，内芯的折射率大于外套的折射率，光由一端进入，在两 层的界面上经多次全反射，从另一端射出．光导纤维可以远距离传播光，光信号又可以转换成电信号， 进而变为声音、图像．如果把许多（上万根）此导纤维合成一束，并使两端的纤维按严格相同的次序 排列，就可以以传输图像． 要点三、测定玻璃砖的折射率 1．实验目的 （1）明确光通过玻璃时的入射角、折射角． （2）掌握测定玻璃折射率的方法． 2．实验原理 1 m 100 mµ µ～7 如图所示 为两面平行的玻璃砖．入射角为 和折射角为 ，据 计算出玻璃的折 射率． 3．实验器材 白纸，图钉，大头针，直尺，铅笔，量角器，平木板，长方形玻璃砖． 4．实验步骤及调整安装 （1）把白纸用图钉钉在木板上． （2）如图所示，在白纸上画一条直线 作为界面，画一条线段 作为入射光线，并通过 点画出界面 的法线 ． （3）把长方形的玻璃砖放在白纸上，使它的一个长边跟 对齐，并画出玻璃砖的另一个长边 ． （4）在 线段上竖直的插上两枚大头针 ． （5）在玻璃砖的 一侧竖直地插上大头针 ，调整眼睛视线，使 能同时挡住 和 的 像，使 能挡住 本身和 和 的像． （6）记下 的位置，移去玻璃砖和大头针，过 引直线 与 交于 ，连接 ， 就是玻璃砖内的折射光线的路径，入射角 ，折射角 ． （7）用量角器量出入射角 和折射角 的度数． abcd 1 θ 2 θ 1 2 sin sinn θ θ= aa＇ AO O aa＇ NN ＇ aa＇ bb＇ AO 1 2P P、 bb＇ 3 4P P、 3P 1P 2P 4P P３ 1P 2P 3 4P P、 3 4P P、 O B′ bb＇ O＇ OO＇ OO＇ 1 AONθ = ∠ 2 O ONθ = ∠ ′ ＇ θ１ θ２8 （8）从三角函数表中查出入射角和折射角的正弦值，记入自己设计的表格里． （9）用上面的方法分别求出入射角为 和 时的折射角．查出入射角和折射 角的正弦值，把这些数据也记在表格里． （10）算出不同入射角时 的值．比较一下，看它们是否接近一个常数，求出几次实验中测 的 的平均值，就是玻璃的折射率． 5．注意事项 （1）用手拿玻璃砖时，手只能接触玻璃砖的毛面或棱，不能触摸光洁的光学面，严禁把玻璃砖当 尺子画玻璃砖的另一边 ． （2）实验过程中，玻璃砖在纸上的位置不可移动． （3）大头针应竖直地插在白纸上，且玻璃砖每一侧两枚大头针 与 、 与 间的距离应大一 些，以减少确定光路方向时造成的误差． （4）实验时入射角不宜过小，否则会使测量误差大，也不宜过大，否则在 一侧看不到 的像． （5）由于要多次改变入射角重复实验，所以人射线与出射线要一一对应编号，以免混乱． （6）玻璃砖应选用宽度较大的，宜在 以上．若宽度太小，则测量误差较大． 6．数据处理及误差分析 此实验是通过测量入射角和折射角，然后查数学用表，找出入射角和折射角的正弦值，再代入 中求玻璃的折射率．除运用此方法之外，还有以下处理数据的方法． （1）处理方法一：在找到入射光线和折射光线以后，以入射点 为圆心，以任意长为半径画圆， 分别与 交于 点，与 （或 的延长线）交于 点，过 两点分别向 作垂线， 交 于 ，用直尺量出 和 的长．如图所示． 由于 ， ， 15 30 45 60° ° ° °、 、 、 75° 1 2 sin sin θ θ 1 2 sin sin θ θ bb＇ 1P 2P P３ 4P bb＇ 1 2P P、 5 cm 1 2 sin sinn θ θ= O AD C OO＇ OO＇ D C D、 N N ＇ N N ＇ C D、′ ′ CC＇ DD＇ 1 'sin CC CO θ = 2 'sin DD DO θ =9 而 ，所以折射率： ． 重复以上实验，求得各次折射率计算值，然后求其平均值即为玻璃砖折射率的测量值． （2）处理方式二：根据折射定律可得 ． 因此有 ． 要点诠释：在多次改变入射角、测量相对应的入射角和折射角上，以 值为横坐标、以 值为纵坐标，建立直角坐标系，如图所示． 描数据点，过数据点连线得一条过原点的直线． 求解图线斜率，设斜率为 ，则 ，故玻璃砖折射率 ． 7．方法推广 插针法的作用是找出玻璃砖内的光路，其关键是确定入射点和出射点，而入射点和出射点是利用 插针后确定的直线与界面相交而得到的，故实验的关键是插准大头针，画准玻璃砖边界线，而与所选 玻璃砖两边平行与否无关．如用半圆形、圆形或三角形玻璃砖，均可测出其折射率，光路如图所示． 【典型例题】 类型一、光的反射和折射 例 1．如图所示，光线以入射角 从空气射向折射率 的玻璃表面． （1）当入射角 时，反射光线与折射光线间的夹角 为多少？ （2）当入射角 为多少时，反射光线和折射光线垂直？ CO DO= 1 1 2 sin ' sin ' CCn DD θ θ= = 1 2 sin sinn θ θ= 2 1 1sin sinn θ θ= 1sinθ 2sinθ k 1k n = 1n k = 1 θ 2n = 1 45θ = ° θ 1 θ10 【思路点拨】根据题意画出正确的光路图，利用几何关系确定光路中的边、角关系，要注意入射 角、折射角的确定，利用反射、折射定律求解。 【答案】见解析 【解析】（1）设折射角为 ，由 ， ， 所以 ， 又 ， 则反射光线与折射光线的夹角 ． （2）当反射光线和折射光线垂直时， ， ． 则入射角 ． 【总结升华】分析解决光的折射问题的一般方法：（1）根据题意画出正确的光路图；（2）利用 几何关系确定光路中的边、角关系，要注意入射角、折射角的确定；（3）利用反射、折射定律求解； （4）注意在折射现象中，光路是可逆的． 举一反三: 【高清课堂：光的折射、全反射 例 2】 【变式】为了观察门外情况,有人在门上开一小圆孔,将一块圆柱形玻璃嵌入其中,圆柱体轴线与 2 θ 1 2 sin sinn θ θ= 1 2 sin sin 45 1sin 22n θθ °= = = 2 30θ = ° 1 ' 45θ = ° 1 2180 105θ θ θ= ° = °－ ′－ 1 2 90θ θ+ = °＇ 1 1 1 1 2 1 1 sin sin sin tansin cos ' cosn θ θ θ θθ θ θ= = = = 1 arctan 2θ =11 门面垂直。从圆柱底面中心看出去,可以看到的门外入射光线与轴线间的最大夹角称做视场角。已知该 玻璃的折射率为 ,圆柱长为 ,底面半径为 ,则视场角是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示: ， 据 ， 所以 ， 　　故 ， 即 B 项正确。 　　　　　　　　　　　　　　　　　 例 2.（2016 天津模拟）如图甲所示，在平静的水面下有一个点光源 s，它发出的是两种不同颜 色的 a 光和 b 光，在水面上形成了一个被照亮的圆形区域，该区域的中间为由 ab 两种单色光所构成的 复色光的圆形区域，周边为环状区域，且为 a 光的颜色（见图乙）．则以下说法中正确的是（　　） n l r 2 2 arcsin nl r l+ 2 2 arcsin nr r l+ 2 2 arcsin r n r l+ 2 2 arcsin l n r l+ 2 2 sin r r l α = + sin sin n θ α = 2 2 sin nr r l θ = + 2 2 =arcsin nr r l θ +12 A．a 光的频率比 b 光大 B．水对 a 光的折射率比 b 光大 C．a 光在水中的传播速度比 b 光大 D．在同一装置的杨氏双缝干涉实验中，a 光的干涉条纹比 b 光窄 【答案】C． 【解析】A、a 光照射的面积较大，知 a 光的临界角较大，根据 ，知 a 光的折射率较小， 折射率小，频率也小，所以 a 光的频率小于 b 光，故 A 错误，B 错误； C、根据 ，知 a 光在水中传播的速度较大，故 C 正确； D、a 光在水中传播的速度较大则 a 光的波长较长，条件间距公式 ，a 光波长则条纹间距较 宽．故 D 错误． 故选：C． 【总结升华】解决本题的关键从临界角入手，比较出折射率的大小，从而得出频率、介质中的速 度大小关系． 例 3．如图所示，一不透明的圆柱形容器内装满折射率为 的透明液体，容器底部正中央 点 处有一点光源 ，平面镜 与底面成 角放置．若容器高为 ，底面半径为 ， ，在容器中央正上方 处水平放置一足够长的刻度尺．求光源 发出的光线经平面 镜反射后，照射到刻度尺上的长度．（不考虑容器侧壁和液面的反射） 【思路点拨】根据题意画出正确的光路图，这是解决反射和折射综合题时的关键，利用几何关系 确定光路中的边、角关系，利用反射、折射定律求解。 【答案】见解析 【解析】如图： 1sin n θ = cv n = Lx d λ∆ = 2 O S MN 45° 20 cm 10(1 3)cm+ 10 cmOM = 10 cm S13 点光源 在液体中通过平面镜 成的像为 ，入射光线 的反射光线垂直于底边，经液面 折射不改变方向，垂直射向刻度尺上的 点；连 则为沿容器边缘的出射光线，经液面折射交刻 度尺于 点；由折射定律可得 ， 在图示的三角形 中， ， 而 ， ， ， ， 故得 ． 在三角形 中， ， 得 ， 因此照射到刻度尺上的长度 ． 【总结升华】解光的反射和折射综合题时，画好光路图是解决问题的前提． 例 4． 半径为 的玻璃半圆柱体，截面如图所示，圆心为 ，两束平行单色光沿截面射向圆柱面， S MN S ＇ OM 1A ' 'S O 2A sin 1 sin i r n = ' 'O S B 'sin ' ' BSi O S = ' 10 3cmBS = ' 20 cm 10 cm 30 cmO B = + = ' 3tan ' 3 BSi O B = = 30i = ° 45r = ° 2 3'O A A 2 3 3 tan ' A Ar O A = 2 3 3' 10 cmA A O A= = 1 2 10cm 10 3 cm 10(1 3)cmA A = + = + R O14 方向与底面垂直， ，若玻璃对此单色光的折射率 ，则两条光线经柱面和底面折 射后的交点与 点的距离为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示： 光线 过圆心传播方向不变．光线 经过柱面时，折射角为 ，由折射定律得： ， ， 得 ， 由几何知识可得 ， 光线 BE 从 E 点射入空气，折射角： ， 由几何知识得： ．故选项 B 是正确的． 【总结升华】应用折射定律要着重分析每一个界面处的入射角和折射角．往往需要结合数学中有 关角度的几何知识找边角关系． 60AOB∠ = ° 3n = O 4 R 3 R 2 R R A B 1 θ 1 sin 60 sinn θ °= 1 1 1sin sin 60 2n θ = ° = 1 30θ = ° 3 3 ROE = 2 60θ = ° 3 ROD =15 例 5．假设地球表面不存在大气层，那么人们观察到的日出时刻与实际存在大气层的情况相比 （ ）． A．将提前 B．将延后 C．某些区域将提前，在另一些区域将延后 D．不变 【思路点拨】地球表面存在大气，而大气并不是均匀介质，高空空气稀薄，折射率小，而接近地 面大气密度大，折射率较大，可认为大气折射率由高空到地面是逐渐增大的． 【答案】B 【解析】由于地球表面存在大气，而大气并不是均匀介质，高空空气稀薄，折射率小，而接近地 面大气密度大，折射率较大，可认为大气折射率由高空到地面是逐渐增大的．阳光经过大气层时就要 发生折射．使光线逐渐偏折沿曲线传播．如果假设没有大气层，光将沿直线传播．如图所示： 在地球上 点的人将在太阳到达 点时看到日出；而地球表面有大气层时，由于空气的折射率 大于 ，太阳光将沿如图所示。 曲线进入在 处的人眼中，使在 处的人看到了日出，但 处的 人认为光是沿直线传播的，则认为太阳位于地平线上的 点，而此时太阳的实际位置还在地平线以 下，相当于日出时刻提前了，所以无大气层时日出的时间将延后，故选 B． 类型二、全反射 例 6 ． 一 束 光 波 以 的 入 射 角 ， 从 面 射 入 如 图 所 示 的 透 明 三 棱 镜 中 ， 棱 镜 折 射 率 ．试求进入 面的折射角，并在图中画出该光束在棱镜中的光路． 【答案】见解析 【解析】光在 面上 点射入，由折射定律， ． 所以 ， B A＇ 1 AB B B B A＇ 45° AB 2n = AB AB O sin 2 1sin 22 2 ir n = = = 30r = °16 光线射到 面上的 点． 由几何知识得 ，且在 面上的入射角为 ． 在 AE 面上由折射定律： ， 所以 ． 故光线在 面发生全反射，并垂直 面射出，其光路图如图所示． 【总结升华】光路要根据折射定律边计算边画． 举一反三: 【高清课堂：光的折射、全反射 例 3】 【变式 1】如图示是两个同种玻璃制成的棱镜,顶角 略大于 ,两束单色光 和 分别垂直射 于三棱镜后,出射光线与第二界面的夹角 , 则 ( ) A. 光束的频率比 光束的小 B.在棱镜中 光束的波长比 光束的短 C.在棱镜中 光束的传播速度比 光束的大 D.把两束光由水中射向空气, 产生全反射, 光的临界角比 的临界角大 【答案】AD 【解析】 ∵ ∴ AE D OD BE∥ AE 45i = ° 1 1 2sin 22 C n = = = 45C = ° AE BE 1 α 2 α A B 1 2 β β= A B A B B A A B cos / sinn β α= 1 2 α α＞ 1 2n n＜17 ∴频率 ∴ 【高清课堂：光的折射、全反射 例 5】 【变式 2】如图示，有一玻璃直角三棱镜 ，其临界角小于 ，一束平行于 边的白光射 到 面，在光束射在三棱镜时，（设光线在三棱镜内射到 边上）（ ） A.从玻璃直角三棱镜 面，射出的是白色光束 B.从玻璃直角三棱镜 面，射出的是白色光束 C.从玻璃直角三棱镜 面，射出的是彩色的不平行光束 D.从玻璃直角三棱镜 面，射出的是平行于入射线的彩色光束 【答案】D 【解析】 画出光路图如图示，光在 面全发射。由于色散，经 面成平行光射出. 【高清课堂：光的折射、全反射 例 6】 【变式 3】如图， 和 都是厚度均匀的平玻璃板，它们之间的夹角为 ，一细光束以入射角 从 点射入， ，已知此光束由红光和蓝光组成，则当光束透过 板后（ ） A．传播方向相对于入射光方向向左偏转 角 B．传播方向相对于入射光方向向右偏转 角 1 2 ν ν＜ 1sinC n = 1 2C C＞ ABC 45° BC AB BC BC AC AC AC BC AC a b ϕ θ P θ ϕ＞ b ϕ ϕ18 C．红光在蓝光的左边 D．红光在蓝光的右边 【答案】D 例 7． 酷热的夏天，在平坦的柏油公路上你会看到在一定距离之外，地面显得格外明亮，仿佛是 一片水面，似乎还能看到远处车、人的倒影．但当你靠近“水面”时，它也随着你的靠近而后退．对 此现象正确的解释是（ ）． A．出现的是“海市蜃楼”，是由于光的折射造成的 B．“水面”不存在，是由于酷热难耐，人产生的幻觉 C．太阳辐射到地面，使地表温度升高，折射率大，发生全反射 D．太阳辐射到地面，使地表温度升高，折射率小，发生全反射 【思路点拨】酷热的夏天地面温度高，地表附近空气的密度小，空气的折射率下小上大。 【答案】A、D 【解析】酷热的夏天地面温度高，地表附近空气的密度小，空气的折射率下小上大，远处车、人 反射的太阳光由光密介质射入光疏介质发生全反射． 例 8．半径为 的半圆柱形玻璃，横截面如图所示， 为圆心，已知玻璃的折射率为 ，当光 由玻璃射向空气时，发生全反射的临界角为 ．一束与 平面成 角的平行光束射到玻璃的半 圆柱面上，经玻璃折射后，有部分光能从 平面上射出，求能从 平面上射出的光束的宽度为多 少？ 【答案】见解析 【解析】如图所示： 进入玻璃中的光线①垂直于半球面，沿半径方向直达球心位置 ，且入射角等于临界角，恰好在 点发生全反射．光线①左侧的光线（如光线②）经球面折射后，射在 上的入射角一定大于临界 角，在 上发生全反射，不能射出．光线①右侧的光线经半球面折射后，射到 面上的入射角均 小于临界角，能从 面上射出．最右边射向半球面的光线③与球面相切，入射角 ，由折射定 律知 R O 2 45° MN 45° MN MN O O MN MN MN MN 90i = °19 ， 则 ．故光线③将垂直于 射出．所以在 面上射出的光束宽度应是 ． 【总结升华】从本题中看到解决全反射问题的关键：①准确熟练地作好光路图；②抓住特殊光线 的分析，求光线照射的范围时，关键是如何找出边界光线．如果发生全反射，刚能发生全反射时的临 界光线就是一条边界光线，而另一条光线要由分析得出． 例 9．由于激光是亮度高、平行度好、单色性好的相干光，所以光导纤维中用激光作为信息高速 传输的载体．要使射到粗细均匀的圆形光导纤维一个端面上的激光束都能从另一个端面射出，而不会 从侧壁“泄漏”出来，光导纤维所用材料的折射率至少应为多大？ 【思路点拨】根据题意画出正确的光路图，这是解决反射和折射综合题时的关键，注意“要保证 不会有光线从侧壁射出来” 是“不管入射角多大都能在侧壁发生全反射”的意思。再利用几何关系确 定光路中的边、角关系，利用反射、折射定律求解。 【答案】见解析 【解析】要保证不会有光线从侧壁射出来，其含义是不管入射角多大都能在侧壁发生全反射．令 入射角等于 ，再由折射定律和全反射临界角公式、几何关系就可以求出材料的折射率． 设激光束在光导纤维端面的入射角为 ，折射角为 ，折射光线射向侧面时的入射角为 ，如图 所示： 由折射定律： ， 由几何关系： ， ． 由全反射临界角的公式： ， 得 ， sin 2sin 2 ri n = = 45r = ° MN MN 2sin 2OE R r R= = 90° i α β sin sin in α= 90α β+ = ° sin cosα β= 1sin n β = 2 1cos 1 n β = −20 要保证从端面射入的任何光线都能发生全反射，应有 ， ，故 ． 解得 ，光导纤维的折射率应满足， ． 【总结升华】本题在解答中一般存在的问题有：一是不会对光线变化过程进行分析，当入射角 从零逐渐增大的过程中，折射角 也增大，折射光线入射到侧壁的入射角 是减小的．如果当 增大 到 ，仍有 大于等于临界角，题目要求就能满足，其临界条件是 ， ．找不出 这个条件，就无法入手解答．二是仅从全反射的条件出发，由 ，直接得出 ，不知 道 此时是未知量． 【高清课堂：光的折射、全反射 例 7】 【变式】如图所示， 两点之间的距离为 米，在 两点连接一直光导纤维，使一光脉冲信 号从光导纤维中间射入，（射入后在光导纤维与空气的界面上恰好发生全反射现象）由 点传输出 点，所用时间为 秒，求光导纤维所用材料的折射率。 【答案】 【解析】光信号由 点进入光导纤维后，沿 方向射到 点，此时入射角 恰好等于临界角， 光在此介质中的传播速度为 ，而沿水平方向的分速度为 ，沿水平方向传播的距离为 。 设介质的折射率为 ，则有 ① ② ③ 由①②③式解得 , 90i = ° sin 1i = 2 2 sin sin 1 sin cos 1 11 i i nn n n α β= = = = −− 2n = 2n ≥ i α β i 90° β 90i = ° 1arcsin n β = 1sin n β = 1 sinn β= β AB s AB A B t ct s A AO O α v sinv α s n 1sin sinC n α = = cn v = sin st v α= 2 1 s snt c c n n = = ⋅21 所以 ． 类型三、测定折射率 例 10．在利用插针法测定玻璃砖折射率的实验中： （1）甲同学在纸上正确画出玻璃砖的两个界面 和 后，不小心碰了玻璃砖使它向 方向 平移了少许，如图（ ）所示．则他测出的折射率将________（填“偏大”“偏小”或“不变”）． （2）乙同学在画界面时，不小心将两界面 、 间距画得比玻璃砖宽度大些，如图（ ）所 示，则他测得折射率________（填“偏大”“偏小”或“不变”）． 【答案】（1）不变（2）偏小 【解析】（1）如图（ ）所示，甲同学利用插针法确定入射光线、折射光线后，测得的入射角、 折射角没有受到影响，因此测得的折射率将不变． （2）如图（ ）所示，乙同学利用插针法确定入射光线、折射光线后，测得的入射角不受影响， 但测得的折射角比真实的折射角偏大，因此测得的折射率偏小． 【总结升华】插针法测玻璃砖实验关键是要体会操作过程中如何确定入射光路和出射光路，特别 是玻璃砖两边界与两光路交点即入射点和出射点确定，两点连线是玻璃砖内光路，就可知道折射角． 【变式】某组同学用插针法测平行玻璃砖的折射率，记录下入射、折射、出射光线后，以入射点 为圆心画单位圆，用直尺测得有关线段的长度．如图所示，则下面四个表达式中，正确地表达折射率 的关系式是（ ）． ctn s = aa＇ bb＇ aa＇ a aa＇ bb＇ b c d O22 A． B． C． D． 【解析】折射率的计算式是 ， 只要能求出 和 ，就能计算出 ． 如图所示，设圆的半径为 ， 为入射角， 为折射角，则 ， ， ． 【答案】B 【总结升华】在光路图中，要注意各线段表示的量，不要弄错几何关系，再由折射率的定义和直 角三角形中边长表示的入射角和折射角的正弦值求出折射率的表达式． ABn CD = ABn EF = BOn OC = BOn CF = 1 2 sin sinn θ θ= 1sinθ 2sinθ n R AOB∠ EOF∠ 1sin sin ABAOB R θ = ∠ = 2sin sin EFEOF R θ = ∠ = 1 2 sin sin ABn EF θ θ= =23 【巩固练习】 一、选择题 1．一条光线从空气射入折射率为在的介质中，入射角为 45°，在界面上入射光的一部分被反射， 另一部分被折射，则反射光线和折射光线的夹角是（ ）． A．75° B．90° C．105° D．120° 2．两束细平行光 a 和 b 相距为 d，从空气中互相平行地斜射到长方体玻璃砖的上表面，如图所示， 若玻璃对 a 的折射率大于对 b 的折射率，当它们从玻璃砖的下表面射出后，有（ ）． A．两束光仍平行，间距等于 d B．两束光仍平行，间距大于 d C．两束光仍平行，间距小于 d D．两束光不再平行 3．一条光线以 40°的入射角从真空中射到平板透明材料上，光的一部分被反射，一部分被折射， 折射光线与反射光线的夹角可能是（ ）． A．小于 40° B．在 50°～100°之间 C．在 100°～140°之间 D．大于 140° 4.（2016 梅州二模）如图，一个三棱镜的截面为等腰直角△ABC，∠A 为直角．此截面所在平面 内的光线沿平行于 BC 边的方向射到 AB 边，进入棱镜后直接射到 AC 边上，并刚好能发生全反射．该 棱镜材料的折射率为（　　） A． B． C． D． 5．一玻璃柱体的横截面为半圆形．细的单色光束从空气射向柱体的 D 点（半圆的圆心），产生反 射光束 1 和折射光束 2．已知玻璃折射率为 ，入射角为 45°（相应的折射角为 24°）．现保持入射 光不变，将半圆柱绕通过 D 点垂直于纸面的轴线顺时针转过 15°，如图中虚线所示，则（ ）． 6 2 2 3 2 3 324 A．光束 1 转过 15° B．光束 1 转过 30° C．光束 2 转过的角度小于 15° D．光束 2 转过的角度大于 15° 6．如图甲所示，将筷子竖直插入玻璃杯内，从俯视图中的 P 点沿水平方向看到的应该是图图中的 哪个图形？（ ） 7．如图所示，一束白光从顶角为 的棱镜的一个侧面 AB 以较大的入射角 i 入射，经三棱镜后， 在屏 P 上可得到彩色光带，当入射角逐渐减小到零的过程中．若屏上的彩色光带先后全部消失，则 （ ）． A．红光最先消失，紫光最后消失 B．紫光最先消失，红光最后消失 C．紫光最先消失，黄光最后消失 D．红光最先消失，黄光最后消失 8．在完全透明的水下某处放一点光源，在水面上可以见到一个圆形透光平面，如果圆形透光平面 的半径匀速增大，则光源（ ）． A．加速上升 B．加速下沉 C．匀速上升 D．匀速下沉 9．如图为一直角棱镜的横截面，∠bac=90°，∠abc=60°，一平行细光束从 O 点沿垂直于 bc 面 的方向射入棱镜．已知棱镜材料的折射率 ，若不考虑原入射光在 bc 面上的反射光，则有光线 （ ）． A．从 ab 面射出 B．从 ac 面射出 C．从 bc 面射出，且与 bc 面斜交 D．从 bc 面射出，且与 bc 面垂直 θ 2n =25 10．两种单色光由水中射向空气时发生全反射的临界角分别为 1、 2，已知 1＞ 2．用 n1、n2 分别表示水对两单色光的折射率，v1、v2 分别表示两单色光在水中的传播速度，则（ ）． A．n1＜n2，v1＜v2 B．n1＜n2，v1＞v2 C．n1＞n2，v1＜v2 D．n1＞n2，v1＞v2 11．如图所示，用插针法测定玻璃折射率的实验中以下说法正确的是（ ）． A．P1、P2 及 P3、P4 之间的距离适当大些，可以提高准确度 B．P1、P2 及 P3、P4 之间的距离取得小些，可以提高准确度 C．入射角 i 适当大些，可以提高准确度 D．P1、P2 之间的距离，入射角的大小均与实验的准确度无关 二、填空题 12．如图所示，激光液面控制仪的原理是：固定的一束激光 AO 以入射角 i 照射到液面上，反射 光 OB 射到水平的光屏上，屏上用光电管将光讯号转变成电讯号，电讯号输入控制系统用以控制液面 高度，如果发现点 B 在屏上向右移动了Δs 的距离到 B＇，由此可知液面________（填“升高”或“降 低”）了________． 13．在用插针法测定玻璃砖折射率的实验中，甲、乙、丙三位同学在纸上画出的界面 aa＇、bb＇ 与玻璃砖位置的关系分别如图①、②和③所示，其中甲、丙两同学用的是矩形玻璃砖，乙同学用的是 梯形玻璃砖．他们的其他操作均正确，且均以 aa＇、bb＇为界面画光路图．则： （1）甲同学测得的折射率与真实值相比________（填“偏大”“偏小”或“不变”）． （2）乙同学测得的折射率与真实值相比________（填“偏大”“偏小”或“不变”）． （3）丙同学测得的折射率与真实值相比________． 14．在用插针法测定玻璃的折射率的实验中，某同学操作步骤如下： ①将记录光路的白纸铺放在平板上； ②手拿玻璃砖的毛面或棱，将其轻放在白纸上： θ θ θ θ26 ③用铅笔环绕玻璃砖画出边界 aa＇和 bb＇； ④在 aa＇上选择点 O，作为不同入射角的入射光线的共同入射点，画出入射角 i 分别为 0°、30 °、45°的入射光线； ⑤用“插针法”分别得到各条入射光线的折射光线，观察时着重看大头针针帽是否在一条直线上， 取下玻璃砖、大头针，连接各针孔，发现所画折射光线中有两条相交，量出各个折射角 r； ⑥按公式分别计算 ，取三个值的算术平均值． 以上步骤中有错误或不妥之处的是：________； 应改正为：________． 15．如图所示，某同学用插针法测定一半圆形玻璃砖的折射率．在平铺的白纸上垂直纸面插大头 针 P1、P2 确定入射光线，并让入射光线过圆心 O，在玻璃砖（网中实线部分）另一侧垂直纸面插大头 针 P3，使 P3 挡住 P1、P2 的像，连接 OP3．图中 MN 为分界面，虚线半圆与玻璃砖对称，B、C 分别是 入射光线、折射光线与圆的交点，AB、CD 均垂直于法线并分别交法线于 A、D 点． （1）设 AB 的长度为 1，AO 的长度为 2，CD 的长度为 3，DO 的长度为 4，为较方便地表示出 玻璃砖的折射率，需用刻度尺测量________，则玻璃砖的折射率可表示为________． （2）该同学在插大头针只前不小心将玻璃砖以 D 为圆心顺时针转过一小角度，由此测得玻璃砖 的折射率将________（填“偏大”“偏小”或“不变”）． 16．测定玻璃砖折射率的实验如图 13-1-44 所示，把玻璃砖放在白纸上之前应在纸上先画好图上 的三条直线，它们分别是________、________、_______，最后按正确的要求插上大头针 P3、P4，由 P3、P4 的位置决定了光线________的方位，从而确定了折射光线________的方向． 三、解答题 17．由某种透明物质制成的等腰直角三角形棱镜 AOB，两腰都为 16 cm，且两腰与 Ox 和 Oy 轴都 重合，如图所示，从 BO 边的 C 点注视 A 棱，发现 A 棱的位置在 D 点，在 C、D 两点插上大头针，测 出 C 点的坐标为（0，12），D 点的坐标为（9，0），由此可以算出该透明物质的折射率为多大？ 18．某市体育广场中心，设计建造了一组旋转摇摆式喷泉，在喷泉周围，水下 40 cm 深处，环绕 sin sin i r l l l l27 了一圈彩灯，夜幕降临时，从喷泉射出的水柱在彩灯的映衬下，显得很美丽壮观．若池水的折射率为 ，那么彩灯的视深（池边的人看到的彩灯的深度）是多少？ 19．一物点放在表面平行的玻璃板后 L=15 cm 处，观察者透过玻璃板观察，且视线垂直于玻璃表 面，设玻璃板厚度 d=4.5 cm，玻璃的折射率 n=1.5，问物点的像到玻璃板前表面间的距离为多少？ 20. （2016 阆中市模拟）如图，三棱镜的横截面为直角三角形 ABC，∠A=30°，∠B=60°．一束 平行于 AC 边的光线自 AB 边的 P 点射入三棱镜，在 AC 边发生反射后从 BC 边的 M 点射出，若光线在 P 点的入射角和在 M 点的折射角相等， （1）求三棱镜的折射率； （2）在三棱镜的 AC 边是否有光线透出，写出分析过程．（不考虑多次反射） 21．有一折射率为 n 的长方体玻璃砖 ABCD，其周围是空气，如图所示，当入射光线从它的 AB 面以入射角 射入时， （1）要使光线在 BC 面发生全反射，证明：入射角应满足的条件是 （BC 面足够 长）． （2）如果对于任意入射角的光线都能发生全反射，则玻璃砖的折射率应取何值？ 22．在厚度为 d、折射率为 n 的大玻璃板的下表面，有一个半径为 r 的圆形发光面．为了从玻璃板 的上方看不见圆形发光面，可在玻璃板的上表面贴一块圆形纸片，所贴纸片的最小半径为多大？ 23．用折射率为 n 的透明介质做成内、外半径分别为 a 和 b 的空心球，如图所示，当一束平行光 射向球壳，经球壳外、内表面两次折射后，能进入空心球壳的入射平行光束的横截面积是多少？ 4 3 α 2sin 1nα ≤ −28 24．横截面为矩形的 的棒被弯成如图所示的形状，一束平行光垂直地射入水平表面 A 上，要使 通过表面 A 射入的光全部从表面 B 射出，比值 最小是多少？（玻璃的折射率 n=1.5） 25．某同学在测定一厚度均匀的圆形玻璃的折射率时，先在白纸上作一与圆形玻璃同半径的圆， 圆心为 O，将圆形玻璃平放在白纸上，使其边界与所画的圆重合．在玻璃一侧竖直插两枚大头针 P1 和 P2，在另一侧再先后插两枚大头针 P3 和 P4，使从另一侧隔着玻璃观察时，大头针 P4、P3 和 P2、P1 的 像恰在一直线上．移去圆形玻璃和大头针后，在图中画出： （1）沿 P1、P2 连线方向的入射光线通过圆形玻璃后的传播方向； （2）光线在玻璃内的传播方向； （3）过光线的入射点作法线，标出入射角 i 和折射角 r； （4）写出计算玻璃折射率的公式． 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】C 【解析】如右图所示，根据折射定律 ，则 ， ， 反射光线与折射光线的夹角 ，C 项正确． 2．【答案】C 【解析】光路如图所示．由光路图可知 d＇＜d，故 C 项正确。 3．【答案】C R d 1 2 sin sin n θ θ = 1 2 sin sin 45 1sin 22n θθ °= = = 2 30θ = ° 105β = °29 【解析】由光路图可知，光由真空射入介质中折射，折射角 0°＜ ＜40°，故 C 项正确． 4.【答案】A． 【解析】三棱镜的截面为等腰直角 ABC，光线沿平行于 BC 边的方向射到 AB 边， 则第一次折射时的入射角等于 45°， 射到 AC 边上，并刚好能发生全反射．则有 ． 由折射定律可得： 所以由上两式可得： 故选：A 5．【答案】B、C 【解析】转动前，光束 1（反射光）与入射光线间的夹角为 A=45°×2=90°，光束 2（折射光） 与入射光线间的夹角为 B=45°+(180°－24°)=201°．转动后，反射光与入射光的夹角 A＇=60°× 2=120°，据折射定律， ，得 r=30°，则折射光与入射光间的夹角为 B＇=60°+(180°－ 30°)=201°．因此ΔA=A＇－A=30°，ΔB=B＇－B=9°． 6．【答案】D 【解析】筷子在水中部分反射的光到达 P 点后折射，如图所示．筷子的上半部分偏左，下半部分 更偏左，且更粗． 7．【答案】B 【解析】依题意作出白光通过三棱镜的光路图，如图所示．可以看出由于紫光的偏折角最大，由 全反射临界角公式 知紫光的临界角最小，所以紫光一定首先在 AC 面上发生全反射从而从光 屏上消失，最后红光消失，故 B 项正确． θ 1sinC n = sin 45 sin 45 sin(90 ) cosn C C ° °= =°− 6 2n = sin 60 3sin r ° = 1sinC n =30 8．【答案】D 【解析】如图所示，在水面上看到透光平面半径为 R． 设光从水射入空气发生全反射的临界角为 C． ，由几何知识得 ． 由以上两式得 ． 透光平面半径 R 与 h 成正比，R 均匀增大，h 也均匀增大，故 D 项正确． 9．【答案】B、D 【解析】依题作出光在棱镜中的光路图，如图所示， 显然，光在 ab 面上的入射角为 i=60°，大于光在该棱镜中的全反射临界角 ， 则光在 ab 面上发生全反射，接着以 i＇=30°的入射角射到 ac 界面上，因 i＇＜45°，光在 ac 面上不 发生全反射而发生反射和折射，其反射角 i＇=30°，反射光线正好与 bc 面垂直，故 B、D 两项正 确． 10．【答案】B 【解析】由全反射临界角 知，当 时，必有 n1＜n2；又由 v=c／n 知，必有 v1＞ v2，故 B 项正确． 11．【答案】A、C 二、填空题 12．【答案】降低 【解析】作出两次的反射光路图如图所示， 1sinC n = 2 2 sin RC R h = + 2 2 2 2 1R R h n =+ 1arcsin 45 2 C = = ° 1arcsinC n = 1 2 θ θ> cot2 sh i ∆= ⋅31 由几何图形可得：液面下降．又由几何关系可得： ，液面下降高度 ． 13．【答案】偏小 不变 可能偏大，可能偏小，可能不变 【解析】甲同学测量的光路图如图（1）所示，真实值 ，测量值 ，因 r＇＞r， 故 n＞n＇，所以甲同学测得的折射率与真实值相比偏小；乙同学测量的光路图如图（2）所示，测量 值 ，与真实值相等． 丙同学的测量可能出现三种可能，光路图如图（3）所示，当出射点为 c 时，测量值与真实值相同， 当出射点在 c 左侧时，测量值小于真实值，当出射点在 c 点右侧时，测量值大于真实值，故丙同学测 得的折射率与真实值相比可能偏大，可能偏小，可能不变． 14．【答案】见解析 【解析】③、④、⑤ ③中应使直尺与玻璃砖的界面对齐，移开玻璃砖后再画边界线；④中入射 角要取 0°以外的三组数据；⑤中大头针要竖直插牢，观察时看针脚是否在同一条直线上 15．【答案】（1） 1 和 3 1／ 3 （2）偏大 16．【答案】aa＇ NN＇ AO O＇B OO＇ 三、解答题 17．【答案】见解析 【解析】假设从 A 点发出一条光线射在 C 点，经折射后射入人眼．当逆着折射光线看去好似光线 从 D 点射出．光路如右图所示． ． ． 'OM BB s= = ∆ cot2 sh i ∆= ⋅ sin sin in r = sin' sin ' in r = sin sin in r = l l l l 1 2 2 12 12sin 2012 16 θ = = + 2 2 2 12 12sin 159 12 θ = = +32 折射率 ． 18．【答案】见解析 【解析】如图所示，设点光源在 S 处，光源发出的光线 SO 垂直水面射出，光线 SO1 与 SO 间的 夹角很小．因一般人的瞳孔的线度为 2 mm～3 mm， 1、 2 为一组对应的折射角和入射角，可知 1、 2 均很小．由数学知识知： ， ． 由折射定律得： ，得 ． 所以 ． 故彩灯的视深为 30 cm． 19．【答案】见解析 【解析】物点 S 发出的光射到玻璃板的表面发生折射，进入玻璃板到达另一表面时，再次折射进 入玻璃板的前方，如图所示， 物点的虚像 S＇与玻璃板前表面之间的距离为 L＇，则 L＇=L+d－s，由几何关系知 ， 当视线垂直于玻璃板表面观察时， 1、 2 很小，tan 1=sin 1，tan 2=sin 2． 所以 ，L＇=L+d－s=18 cm． 2 1 sin 4 sin 3n θ θ= = θ θ θ θ 1 1 1sin tan OO h θ θ≈ = 1 2 2sin tan OO H θ θ≈ = 1 1 2 1 sin / sin / OO h Hn OO H h θ θ= = = Hh n = 0.4 m 0.3m4 3 Hh n = = = 2 1 2 1 1 tan( tan tan ) cot 1 tans d d d θθ θ θ θ  = − × = −    θ θ θ θ θ θ 2 1 sin 11 1sins d d n θ θ    = − = −     33 20.【答案】（1）三棱镜的折射率为 ．（2）三棱镜的 AC 边无光线透出． 【解析】（1）光线在 AB 面上的入射角为 60°．因为光线在 P 点的入射角和在 M 点的折射角相 等．知光线在 AB 面上的折射角等于光线在 BC 面上的入射角．根据几何关系知，光线在 AB 面上的折 射角为 30°． 根据 ，解得 ． （2）光线在 AC 面上的入射角为 60°． 因为 sin60°＞sinC，光线在 AC 面上发生全反射，无光线透出． 21．【答案】见解析 【解析】（1）要使光线在 BC 面发生全反射（如图所示）， 首先应满足 ， ① 式中 为光线射到 BC 面的入射角，由折射定律，有 ， ② 将①②两式联立得 ． （2）如果对于任意入射角的光线都能发生全反射，即对于 0°≤ ≤90°都能发生全反射，则只 有当 才能满足上述条件，故 ． 22．【答案】见解析 【解析】根据题述，光路如右图所示， 3 sin 60 sin30n °= ° 3n = 1 3sin 3C n = = 1sin n β ≥ β sin sin(90 ) n α β =°− 2sin 1nα ≤ − α 2 1 1n − ≥ 2n ≥34 图中 S 点为圆形发光面边缘上一点，由该点发出的光线能射出玻璃板的范围由临界光线 SA 确定， 当入射角大于临界角 C 时，光线就不能射出玻璃板了． 图中 ，而 ， 则 ，所以 ， 应贴图纸片的最小半径 ． 23．【答案】见解析 【解析】设入射光线 AB 经球壳外表折射后 BE 光线恰在内表面全反射，临界角为 C． 从图中知 AB 下面光线一定能进入壳心．从图中可知 ．在三角形 OBE 中用正弦定 理． ． 可得 ． 所求的平行光束的横截面积 ． 24．【答案】见解析 【解析】在如图所示的光路中， 从玻璃棒的 A 端面入射的光线，可分为左、中、右，其中最右边的一条光线，最难发生全反射， 设其入射角为∠1，只有当 时，才发生全反射． sintan cos Cr d C d C ∆ = = 1sinC n = 2 1cos nC n −= 2/ 1r d n∆ = − 2/ 1R r r r d n= + ∆ = + − 1sinr b θ= 2sin sin(180 ) sin a b b C Cθ = =°− 2 2 1 sin sin sin sin C a ab a nθ θ θ= = = 2 2 2 1( sin )S r b aπ π θ π= = = 11 arcsin n ∠ ≥35 根据几何关系知 ． 依题意有 ． 将 n=1.5 代入上式，解得 ． 故 的最小是 2． 25．【答案】见解析 【解析】（1）P1P2 光线为入射光线，P3P4 为通过圆形玻璃后的折射光线． （2）O1O2 光线为入射光线 P1P2 在玻璃中的折射光线． （3）如右图所示． （4） ． sin 1 R R d ∠ = + 1R R d n ≥+ 2R d ≥ R d sin sin in r =