1
数列
【学习目标】
1. 掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题；
2. 掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系；
3. 了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项；
4. 理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关
系.
【要点梳理】
知识点一、数列的概念
一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项. 数
列的一般形式可以写成：
简记为 ，其中数列的第 1 项 ，也称首项；数列的第 n 项 ，也叫数列的通项.
要点诠释：
（1） 与 的含义完全不同： 表示一个数列， 表示数列的第 项.
（2） 数列的项与项数是两个不同的概念：数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数
是指这个数在数列中的位置序号.
（3） 数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，
那么它们就是不同的数列；
（4）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
知识点二、数列的通项公式与前 n 项和
1. 数列的通项公式
如果数列 的第 项 与 之间的函数关系可以用一个公式表示成 ，那么
这个公式就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
如数列： 的通项公式为 ；
的通项公式为 ；
的通项公式为 ；
要点诠释：
（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；
（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的.
如 数 列 ： 1 ， 0 ， 1 ， 0 ， 1 ， 0 ， 通 项 公 式 可 以 是 ， 也 可 以 是
.
（3）数列通项公式的作用：
① 求数列中任意一项；
② 检验某数是否是该数列中的一项.
（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的
1 2 3 na a a a⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅， ， ， ， ，
{ }na 1a na
{ }na na { }na na n
{ }na n na n ( )na f n=
0,1,2,3, 1na n= −
1 1 1 1− − ， ，， ， ( ) -11 n
na = −
1 1 11, , , ,2 3 4
1
na n
=
11 ( 1)
2
n
na
++ −=
1| cos |2n
na π+=
n2
一般表示．
2. 数列 的前 项和
数 列 的 前 项 和 ： 指 数 列 的 前 项 逐 个 相 加 之 和 ， 通 常 用 表 示 ， 即
3. 与 的关系
知识点三、数列的分类
1. 根据数列项数的多少分
有穷数列：项数有限的数列.例如数列 1，2，3 和 2，4，8 都是有穷数列；
无穷数列：项数无限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6，…是无穷数列.
2. 根据数列项的函数特性分
递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项，即 的数列；
递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项，即 的数列；
常数数列：各项都相等，即 的数列；
摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.
3. 根据数列项的大小分
有界数列：如果数列的任一项的绝对值都小于某个正数；
无界数列：不存在某个正数，使得数列任一项的绝对值都小于这个正数.
知识点四、数列的表示方法
1. 通项公式法（解析式法）：
数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系. 给了数列的通项公式，代入项数就
可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项.
2. 列表法
相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第二
项，…，用 表示第 项，…，依次写出得数列 ．
项数 1 2 … …
项 … …
na{ } n
{ }na n { }na n nS
1 2 ... .n nS a a a= + + +
na nS
( )
( )
1
*
1
, 1
, 2 .n
n n
S n
a
S S n n−
== − ≥ ∈ N
；
且
+1 > n na a
+1 < n na a
+1 = n na a
1a 2a
na n { }na
n
1a 2a na3
3. 图象法：
数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．
具体方法：以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐
标系中做出点. 所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在
轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小
到大变化而变化的趋势．
4. 递推公式法
递推公式：如果已知数列 的第 1 项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或
前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
递推公式也是给出数列的一种方法. 如：
数列：-3，1，5，9，13，，可用递推公式： 表示；
数列：3，5，8，13，21，34，55，89，，可用递推公式：
表示.
知识点五：数列与函数
数 列 可 以 看 成 以 正 整 数 集 （ 或 它 的 有 限 子 集 ） 为 定 义 域 的 函 数
，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.
反过来，对于函数 ，如果 （ ）有意义，那么我们可以得到
一个数列 ， ， ，， ， .
要点诠释：
1. 数列是离散函数的重要模型之一
数列是一个特殊的函数，它的定义域是正整数或正整数集的子集. 数列是离散函数的一
种（离散函数是相对于定义在实数集或者实数集的某个区间上的函数而言的），它在数学中
有重要的地位.
2. 数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式
数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 数列的通
项公式反映了一个数列项与项数的函数关系. 给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列
的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项.
3. 数列的图象是落在 轴右侧的一群孤立的点
数列 的图象是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标的一系列孤立的点
，这些点都落在函数 的图象上. 因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴
的右侧，而点的有限或无限取决于数列是有穷数列还是无穷数列，我们从图象中可以直观地
n na ( , )nn a
y
{ }na na 1na −
1 13, 4( 2)n na a a n−= − = + ≥
1 2 1 23, 5, ( 3)n n na a a a a n− −= = = + ≥
∗N {1,2,3, , }n
( )na f n=
( )y f x= ( )f i 1,2,3, , ,i n=
(1)f (2)f (3)f ( )f n
y
( )na f n= n na
( , )nn a ( )y f x= y4
看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
4.跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式.
【典型例题】
类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
例 1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是:
(1) 0， ， ， ，…；
(2) 1， ， ， ，…；
(3) 9， 99，999， 9999，…；
(4) 6， 1， 6，1，….
【思路点拨】观察法求数列的通项公式，需注意一下两点：
纵向分析：观察各项与对应的项数 之间的关系；
横向比较：观察各项之间的变化规律，能否用统一的式子表示.
【解析】
（1）将数列改写为 ， ， ， ，…，
故 .
（2）此数列奇数项为正，偶数项为负，可用 来表示；
其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列，
故 .
（3）将数列改写为 ， ， ， ，…，
故 .
（4）将数列每一项减去 6 与 1 的平均值 得新数列 ， - ， ， - ，…，
故 或
【总结升华】写通项时注意以下常用思路：
①若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，如(1)；特别注意
有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数；
②注意(－1)n 在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现，如(2)；(-1)n 作指数，
让数列中隔项出现倒数；
③（4）可视为周期数列，故想到找一个周期为 2 的函数为背景.
④归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的
变形，使规律明朗化.
⑤熟练掌握一些基本数列的通项公式，例如：
数列-1，1，-1，1，…的通项公式为 ；
3
2
8
3
15
4
3
4
− 5
9
7
16
−
n
21 1
1
− 22 1
2
− 23 1
3
− 24 1
4
−
2 1
n
na n
−=
1( 1)n+−
1
2
2 1( 1)n
n
na n
+ −= − ⋅
110 1− 210 1− 310 1− 410 1−
10 1n
na = −
7
2
5
2
5
2
5
2
5
2
17 5( 1)2 2
n
na += + − ⋅ 7 5 cos( 1) .2 2na n π= + +
( 1)n
na = −5
数列 1，2，3，4，…的通项公式为 ；
数列 1，3，5，7，…的通项公式为 ；
数列 2，4，6，8，…的通项公式为 ；
数列 1，4，9，16，…的通项公式为 ；
数列 1， ， ， ，…的通项公式为 .
举一反三：
【高清课堂：数列的概念与简单表示法 379271 数列知识的讲解及配套练习】
【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 1， 1， 1， 1，…；
(2) -1， 1， -1， 1， …；
(3) 1， -1， 1， -1， …；
(4) ， …；
(5) 2，0，2，0，….
【答案】
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
类型二：通项公式的应用
例 2（2015 春 沙河市校级期末）数列{an}的通项公式是 an=n2﹣7n+6．
（1）这个数列的第 4 项是多少？
（2）150 是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
（3）该数列从第几项开始各项都是正数？
【思路点拨】数列{an}的通项公式是 an=n2﹣7n+6 求解．
【解析】（1）∵an=n2﹣7n+6，
∴ =﹣6．
∴这个数列的第 4 项是﹣6．
（2）解方程 n2﹣7n+6=150，
得 n=16，或 n=﹣9，
∵n∈N*，
na n=
2 1na n= −
2na n=
2
na n=
1
2
1
3
1
4
1
na n
=
1 1 11 - -2 3 4
， ， ，
1na =
2( 1)n
na += −
1( 1)n
na += −
1 1( 1)n
na n
+= −
11 ( 1)n
na += + −6
∴150 是这个数列的项，它是第 16 项．
（3）由 an=n2﹣7n+6≥0，
得 n≤1，或 n≥6．
∴数列从第 7 项开始各项都是正数．
举一反三：
【变式 1】（2014 秋 红桥区期中）根据如图所示的程序框图，变量 a 每次赋值后的结果依
次记作：a1、a2、a3…an…．如 a1=1，a2=3…．
（Ⅰ）写 a3、a4、a5；
（Ⅱ）猜想出数列{an}的一个通项公式；
（Ⅲ）写出运行该程序结束输出的 a 值．（写出过程）
【解析】（Ⅰ）a1=1，a2=3，a3=7，a4=15，a5=31
（Ⅱ）猜想：an=2n﹣1
（Ⅲ）当 n=11 时，a＞2014，输出 a=2047
【变式 2】根据下列数列 的通项公式，写出它的第五项.
（1） ； （2） ，
【答案】（1） ；（2）5.
例 3．已知数列 的通项公式 ， 试问下列各数是否为数列 的项，若
是，是第几项？
(1) 94；(2) 71.
【思路点拨】本题考查同学们对项与项数的理解，在通项公式 中，已知项数 ，
求正自然数 ，带入解方程即可.
【解析】
（1）设 ， 解得 .
故 94 是数列 的第 32 项.
{ }na
2 1n
na n
= − sin 2n
na n
π=
5
9
{ }na 3 2na n= − { }na
3 2na n= − na
n
94 3 2n= − 32n =
{ }na7
（2）设 ，解得 .
故 71 不是数列 的项.
【总结升华】方程思想是解决数列中未知量的主要方法， 中知三求二，就是采
用了方程的思想.
举一反三：
【变式】已知数列 的通项公式 ，
（1）若 ，试问 是第几项？
（2）56 和 28 是否为数列 的项？
【答案】（1）98 项；（2）56 是，28 不是.
类型三：递推公式的应用
【高清课堂：数列的概念与简单表示法 379271 例 2】
例 4. 设数列 满足： ， ，写出这个数列的前五项.
【思路点拨】题中已给出 的第 1 项 和递推公式： ，故可以依次写
出下列前五项.
【 解 析 】 据 题 意 可 知 ： ， ， ， ，
故数列的前 5 项为:1，2， ， ， .
【总结升华】递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列
的所有项.
举一反三：
【变式 1】已知数列 满足： ， ， ，写出前 6 项.
【答案】 ， ， ， ， ， .
【变式 2】已知数列 满足： ， ，写出前 5 项，并猜想 ．
【答案】
法一： ， ， ，观察可得
71 3 2n= − 124 3n N ∗= ∉
{ }na
1, , , ,n nn a d S a
{ }na ( 1)( 2)na n n= + +
9900na = na
{ }na
{ }na 1 1a =
1
11n
n
a a −
= + ( 2)n ≥
{ }na 11 =a
1
11
−
+=
n
n aa
1 1a = 2
1
11 2a a
= + = 3
2
1 31 2a a
= + = 4
3
1 51 3a a
= + =
5
8
5a =
2
3
3
5
5
8
{ }na 1 1a = 2 3a = 2 1 2n n na a a+ += + ( 1)n ≥
1 1a = 2 3a = 3 5a = 4 11a = 5 21a = 6 43a =
{ }na 21 =a nn aa 21 =+ na
21 =a 2
2 222 =×=a 32
3 222 =×=a n
na 2=8
法二：由 ，∴ 即
∴
∴
类型四：前 项和公式 与通项 的关系
例 5．已知数列 的前 项和公式 ，求通项 .
（1） ， (2) .
【思路点拨】先由 时， ，求出 ；再由当 时， ，求出 ，
并验证 是否符合所求出的 .
【解析】
(1) 当 时， ，
当 时， ，
∴
(2)当 时， ，
当 时， ，
∴ ( )为所求.
【总结升华】已知 求出 依据的是 的定义： ，分段求解，然后
检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式.
举一反三：
【变式 1】已知数列 的前 项和 ，求通项 .
【答案】当 时，
，
当 时， ，
nn aa 21 =+ 12 −= nn aa 2
1
=
−n
n
a
a
1
1
2
3
2
2
1
1
2 −
−
−
−
−
−
=×××× n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
nn
n aa 22 1
1 =⋅= −
n nS na
{ }na n nS na
22 1nS n n= − + 2log ( 1)nS n= +
2n ≥ 1n n na S S −= − na 1n = 1 1a S= 1a
1a na
2n ≥ 2 2
1 (2 1) [2( 1) ( 1) 1] 4 3n n na S S n n n n n−= − = − + − − − − + = −
1n = 2
1 1 2 1 1 1 2 4 1 3a S= = × − + = ≠ × −
*
2 , ( 1)
4 3,( 2 )n
na
n n n N
== − ≥ ∈ 且
2n ≥ 1 2 2 2
1log ( 1) log logn n n
na S S n n n−
+= − = + − =
1n = 1 1 2 2
1 1log (1 1) 1 log 1a S
+= = + = =
2
1logn
na n
+= n N ∗∈
nS na nS 1 2 ...n nS a a a= + + +
{ }na n 2 3n
nS = − na
2n ≥
1 1 1 1
1 (2 3) (2 3) 2 2 2 (2 1) 2n n n n n n
n n na S S − − − −
−= − = − − − = − = − =
1n = 1 1 1
1 1 2 3 1 2 1a S −= = − = − ≠ =9
∴
【变式 2】已知数列 的前 项积 ，求通项
【答案】当 时， ，
当 时， ，
∴ .
类型五：数列与函数
例 6．已知数列 中 ，判断数列 的单调性，并给以证明.
【思路点拨】选择数列中任意相邻两项比较大小（可采用作差法）即可.
【解析】∵ ，
∴ （ ）
∴数列 是递增数列.
【总结升华】数列也是函数，可以用证明函数的单调性的方法来证明.
举一反三：
【变式 1】数列 中： ， （ ）
（1）写出它的前五项，并归纳出通项公式；
（2）判断它的单调性.
【答案】
（1） ， ， ， ， ，∴ ；
（2）方法一：∵ ，
∴ 数列 是递减数列.
方法二：∵函数 在 上单调递减，
∴数列 是递减数列.
1 *
1, ( 1)
2 ,( 2 )n n
na
n n N−
− == ≥ ∈ 且
{ }na n 2nS n= + na
2n ≥
1
2
1
n
n
n
S na S n−
+= = +
1n = 1 1
1 21 2 3 1 1a S
+= = + = ≠ +
*
3, ( 1)
2 ,( 2 )1
n
n
a n n n Nn
== + ≥ ∈ + 且
{ }na 3 2
3n
na n
−= + { }na
3( 3) 11 1133 3n
na n n
+ −= = −+ +
1
11 11 11(3 ) (3 ) 04 3 ( 3)( 4)n na a n n n n+ − = − − − = >+ + + +
*n∈N
{ }na
{ }na 1 1a = 1
2
2
n
n
n
aa a+ = +
*n N∈
1 1a = 2
2
3a = 3
1 2
2 4a = = 4
2
5a = 5
1 2
3 6a = = 2
1na n
= +
1
2 2 2 02 1 ( 2)( 1)n na a n n n n+ − = − = − 1 0n na a+ − < { }na
0a < 1 0n na a+ − > { }na
n
na n ( )2= +24nS n n n ∗− ∈N
na
n nS
( )
( )
1
*
1
, 1
, 2 .n
n n
S n
a
S S n n−
== − ≥ ∈ N
；
且
nS n
+1
0
0.
n
n
a
a
≥
≤
；
n
1 1= =10a S ，
( ) ( ) ( )
-1
22
=
= +24 1 +24 1
=25 2
n n na S S
n n n n
n
−
− − − − −
−
1 =23a
( )*=25-2 .na n n∈Ν，
( ) 2=- +24f x x x
=25-2na n ( )g =25-2x x
( )g x
+1
0
0.
n
n
a
a
≥
≤
；11
解得
由 得，n=12.
当 n=12 时 Sn 取得最大值，此时，
【总结升华】求解数列的最值问题时，可转化为相应的函数，再通过函数的最值求得结果.
这个过程用到了转化与化归思想、数形结合思想，综合性较强.
举一反三：
【变式 1】已知数列{ }的前 项和 ，当 =______时， 取得最大值.
【答案】5 或 6
【变式 2】当数列 的前 项和取得最小值时，项数 的值为________.
【答案】6
【巩固练习】
一、选择题
1．（2016 衡阳校级一模）数列 1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（ ）
A．an=2n﹣1 B．an=（﹣1）n（1﹣2n） C．an=（﹣1）n（2n﹣1） D．an=（﹣1）n
（2n+1）
2. 已知数列 ……， 则 0.96 是该数列的（ ）
A.第 20 项 B.第 22 项 C.第 24 项 D.第 26 项
3. 已知数列的通项公式 则 等于( )
A．70 B．28 C．20 D．8
4. 已知数列 中， ，那么( )
A．0 是数列中的项 B．20 是数列中的项 C．3 是数列中的项 D．930 不
是数列中的项
5 设数列 ， ， ， ，…则 是这个数列的( )
A．第 6 项 B．第 7 项 C．第 8 项 D．第 9
项
二、填空题
6.（2016 宝山区一模）数列 ，则 是该数
列的第 项．
7. 已知数列 前 项和 ， 则 =_________.
23 25.2 2n≤ ≤
*n∈Ν
( )
12 =23+21+19+17+15+13+11+9+7+5+3+1
=6 23+1
=144.
S
×
na n ( )2= +11nS n n n ∗− ∈N n nS
{ }3 - 20n n n
1 2 3 4, , , ,2 3 4 5 … 1
n
n +
3 1 ( )
2 2 ( )n
n n
a
n n
+
=
−
为奇数
为偶数 2 3·a a
{ }na 2
na n n＝ ＋
2 5 2 2 11 2 5
{ }na n 25nS n n= − 6 7 8 9 10a a a a a+ + + +12
8. 已知数列 中， ， 那么数列 的前 5 项依次为_________.
9. 数列 的通项公式 ，则 273 是这个数列的第_______项.
10．写出下列各数列的通项公式，使其前 4 项分别是：
(1) ， - ， ，- ，…；
(2) ， ， ， ，…；
(3) 5，55，555， 5555， …；
(4) 3，5，3，5，….
三、解答题
11．已知数列 的通项公式为 ， 若数列 为递增数列，试求最小的整
数 .
12.（2015 春 新疆校级期中）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn= n2+ n+3，求这个数列
的通项公式．
13．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.
(1) ＝0， ＝ ( )；
(2) ＝3， ＝3 －2 ( ).
14．已知数列 的通项公式为 .
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n 为何值时， 有最小值？并求出最小值．
15.已知数列 的通项公式为 且为递减数列，求 的取值范围.
【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】∵数列{an}各项值为 1，﹣3，5，﹣7，9，…
∴各项绝对值构成一个以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，
∴|an|=2n﹣1
又∵数列的奇数项为正，偶数项为负，
{ }na 1 1a = 1
42 2n
n
a a+ = − + { }na
{ }na 2 1na n n= + +
1
2
4
5
9
10
16
17
2
3
4
15
6
35
8
63
{ }na 2
na n nλ= + { }na
λ
1a 1na + (2 1)na n＋ － *n∈N
1a 1na + na *n∈N
{ }na 2 5 4na n n＝ － ＋
na
{ }na 2 2( 2 )( 2 )na m m n n= − − m13
∴an=（﹣1）n+1（2n﹣1）=（﹣1）n（1﹣2n）故选 B．
2．【答案】C
【 解 析 】 易 知 数 列 的 通 项 公 式 ， 把 0.96 化 为 通 项 的 形 式
，故 n=24
3．【答案】 C
【解析】 a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，a2·a3＝20.故选 C.
4．【答案】 B
【解析】 令 n2＋n＝0，得 n＝0 或 n＝－1，∵n∉N*，故 A 错．
令 n2＋n＝20，即 n2＋n－20＝0，∴n＝4 或 n＝－5(舍)，
∴a4＝20.故 B 正确．
令 n2＋n＝3，即 n2＋n－3＝0.
∴Δ＝1－4×(－3)＝13，故无有理根，C 错．
令 n2＋n＝930，即(n＋31)(n－30)＝0，
∴n＝30 或 n＝－31(舍)，∴a30＝930，故 D 错．
5．【答案】 B
【解析】 该数列通项公式为 .
令 ，得 n＝7.
6.【答案】128
【解析】观察数列 ，
该数列中：分子、分母之和为 2 的有 1 项，为 3 的有 2 项，为 4 的有 3 项，为 5 的有 4
项，…，
∴分子、分母之和为 16 的有 15 项．
而分子、分母之和为 17 的有 16 项，排列顺序为：
， ， ， ，…， ， ；其中 是分子、分母之和为 17 的第 8 项；．
故共有 项．
7．【答案】 370;
【解析】a6+a7+a8+a9+a10=S10- S5，可求 a6+a7+a8+a9+a10=370
8．【答案】 1， ， ， ， ;
【解析】∵ ， . ∴ ，同理可求其它项.
9．【答案】16.
【解析】令 ；求得
10 ．【答 案 】 (1) ； (2) ； (3) ; (4)
1n
na n
= +
96 240.96 100 25 1
n
n
= = = +
3 1na n= −
3 1 2 5n − =
2
3
1
2
2
5
1
3
1 1a = 1
42 2n
n
a a+ = − + 2
1
4 22 2 3a a
= − =+
2 1 273n n+ + = 16n =
2
1
2( 1) 1
n
n
na n
+= − ⋅ +
2
(2 1)(2 1)n
na n n
= − +
5(10 1)
9
n
na
−=14
an=4+(-1)n.
11．【解析】依题意有:an+1-an>0， 即[(n+1)2+λ(n+1)]-(n2+λn)>0.
解得 λ>-(2n+1)， .
∵-(2n+1)( )的最大值为-3，
∴ 满足条件的最小整数λ=-2.
12.【解析】（1）当 n=1 时，a1=S1= ，
（2）当 n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1= n2+ n+3﹣[ （n﹣1）2+ （n﹣1）+3]= n+ ．
经检验，a1= ，不满足上式．
所以这个数列的通项公式 an= ．
13．【解析】(1) ＝0， ＝1， ＝4， ＝9， ＝16， ∴ ；
(2) ， ， ，
，
∴ .
14.【解析】 (1)由 n2－5n＋4
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