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辗转相除法与更相减损术教案(人教必修三)

时间:2016-12-13 16:07:21作者:佚名教案来源:网络
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(1):理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理,并能根据这些原理进行算法分析。(2)基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
(3)在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法,比较它们在算法上的区别,并从程序的学习中体会数学的严谨,领会数学算法计算机处理的结合方式,初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
教学内容
阅读教材P34-P37请思考以下问题:
(1)辗转相除法的运算原理
(2)更相减损术的运算原理
1.在初中,我们已经学过求最大公约数的知识,你能求出18与30的公约数吗? 2.我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数,如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数,我们又应该怎样求它们的最大公约数?比如求8251与6105的最大公约数?这就是我们这一堂课所要探讨的内容。
知识探究(一):辗转相除法例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。解:8251=6105×1+2146显然8251的最大公约数也必是2146的约数,同样6105与2146的公约数也必是8251的约数,所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。6105=2146×2+1813                         2146=1813×1+3331813=333×5+148                           333=148×2+37148=37×4+0则37为8251与6105的最大公约数。以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法,它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:第一步:用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0;第二步:若r0=0,则n为m,n的最大公约数;若r0≠0,则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1;第三步:若r1=0,则r1为m,n的最大公约数;若r1≠0,则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2;
……
依次计算直至rn=0,此时所得到的rn-1即为所求的最大公约数。
(1)辗转相除法的程序框图及程序
程序框图:(略)
程序:(当循环结构)                             直到型结构见书37面。
INPUT “m=”;m
INPUT “n=”;n
IF  m<n THEN  x=m
m=n
    n=x
END IF
r=m MOD n
WHILE  r<>0
r=m MOD n
  m=n
n=r
WEND
PRINT  m
END
练习:利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数(答案:53)
知识探究(二):更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。
更相减损术求最大公约数的步骤如下:可半者半之,不可半者,副置分母•子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。
翻译出来为:
第一步:任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用2约简;若不是,执行第二步。
第二步:以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
解:由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并辗转相减,即:98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以,98与63的最大公约数是7。

练习:用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。(答案:12)

 

比较辗转相除法与更相减损术的区别
(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到

用辗转相除法求下列各组数的最大公约数,并在自己编写的BASIC程序中验证。
(1)225;135  (2)98;196  (3)72;168  (4)153;119

辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的编写。
对于两个正整数如何选择合适的方法求他们的最大公约数
方法 适用范围及特点
短除法 适合两个较小的正整数或两个质因数较少的正整数,简便易操作。
穷举法 适合计算机操作,但一一验证过于繁琐。
辗转相除法 适用于两个较大的正整数,以除法为主,辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小差别较大时计算次数较明显。

更相减损术 适用于两个较大的正整数,更相减损术以减法为主,计算次数上相对于辗转相处法较多。


 


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