3．1.2 不等式的性质
整体设计
教学分析
本节将在初中学习的不等式的三条基本性质的基础上，系统归纳整理不等式的其他性质，这是进一步学习不等式的基础．要求学生掌握不等式的基本性质与推论，并能用这些基本性质证明简单不等式，进而更深层地从理性角度建立不等观念．对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学的观点与等式的基本性质作类比、归纳逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量之间的比较过程．
基本性质2、3、4在初中是由实例验证，在高中里要进行逻辑证明．教学中教师一定要认识到对学生进行逻辑训练的必要性，注意启发学生要求证明的欲望．
在中学数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与中学数学几乎所有章节都有联系，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点．为此，在进行本节教学时，教材中基本性质的推论可由学生自己证明，课后的练习A、B要求学生全做．
三维目标
1．通过对初中三条基本性质的回忆，以及上节学习的知识，证明不等式的基本性质和推论．
2．在了解不等式的基本性质的基础上，利用它们来证明一些简单的不等式．
3．通过本节的学习，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度．体会数学的结构美和系统美，激发学生学习数学更大的热情．
重点难点
教学重点：理解并证明不等式的基本性质与推论，并能用基本性质证明一些简单的不等式．
教学难点：不等式基本性质的灵活应用．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
8
思路1.(复习导入)让学生回忆并叙述初中所学的不等式的三条基本性质，即不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．让学生根据上一节的学习将上面的文字语言用不等式表示出来，并进一步探究，由此而展开新课．
思路2.(类比导入)等式具有许多性质，其中有：在等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，所得的仍是等式．我们自然会联想到，不等式是否也会有此同样的性质呢？学生会进一步探究验证这个联想，由此而展开新课．
推进新课
活动：教师引导学生一起回忆等式的性质：等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，所得到的仍是等式．利用这些性质，我们可以对等式进行化简、变形或证明．那么不等式会不会也有类似的性质呢？也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，结果会不会不变呢？为此教师引导学生回忆上节课学过的实数的基本性质(或用多媒体展示)，即a－b＞0a＞b；a－b＜0a＜b；a－b＝0a＝b.
根据实数的基本性质，要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的差．这是我们研究不等关系的一个出发点．
从实数的基本性质，我们可以证明下列常用的不等式性质：
性质1，如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b，即a＞bb＜a.这种性质称为不等式的对称性．
性质2，如果a＞b，b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞ca＞c.这种性质称为不等式的传递性．
性质3，如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，
即不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向．
由此得到推论1，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．这个推论称为不等式的移项法则．
推论2，如果a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d.
8
这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式，同向不等式可以相加，这个推论可以推广为更一般的结论．
性质4，如果a＞b，c＞0，则ac＞bc；如果a＞b，c＜0，则ac＜bc.
推论1，如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.
推论2，如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N＋，n＞1)．
推论3，如果a＞b＞0，那么＞(n∈N＋，n＞1)．
以上这些不等式的性质是解决不等式问题的基本依据．其中性质1是不等式的对称性；性质2是不等式的传递性；性质3表明不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向，由此可得不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边；性质4表明，不等式两边允许用非零数(或式)去乘，相乘后的不等式的方向取决于乘式的符号，这点与等式的性质不同；性质4的推论1说明两边都是正数的同向不等式可以相乘；性质4的推论2说明两边都是正数的不等式可以乘方；性质4的推论3说明两边都是正数的不等式可以开方．
对以上性质的逻辑证明，教师可与学生一起完成.5个推论可由学生自己完成，教师给予适当点拨．这是训练学生逻辑推理能力的极佳机会，不可错过．
讨论结果：
(1)(2)略．
(3)4条性质，5个推论．
例1(教材本节例题)
活动：本节教材上共安排了这一个例题，含3个小题，都是不等式性质的简单应用，教师不可忽视本例的训练，过高估计了学生逻辑推理的书写能力．实践证明，学生往往推理不严密．教学时应指导学生根据不等式的性质的条件和结论，强调推理要有理有据，严谨细致，条理清晰．
点评：应用不等式性质对已知不等式进行变形，从而得出要证的不等式，是证明不等式的常用方法之一.
变式训练
已知a＞b＞0，c＜0，求证： ＞.
证明：∵a＞b＞0，∴ab＞0，＞0.
8
于是a·＞b·，即＞.
由c＜0，得＞.
例2已知－≤α＜β≤，求，的取值范围．
活动：教师引导学生回忆本题的背景，这类问题是学习三角函数内容时经常遇到的，由于当时所学知识所限，往往容易出错．这里我们在已知的基础上，运用不等式的基本性质得出所要得到的结果．
解：∵－≤α＜β≤，
∴－≤＜，－＜≤.
上面两式相加，得－＜＜.
∵－＜≤，
∴－≤－＜.
∴－≤＜.
又知α＜β，∴＜0.
故－≤＜0.
点评：在三角函数化简求值中，角的范围的确定往往成为正确解题的关键.
变式训练
已知函数f(x)＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )
A．一定大于0 B．一定小于0
C．等于0 D．正负都有可能
答案：B
解析：由题意知f(x)是奇函数，且在R上为单调增函数，
所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x3)＝－f(x3)，f(－x1)＝－f(x1)，
8
且x1＜－x2，x2＜－x3，x3＜－x1.
所以f(x1)＜－f(x2)，f(x2)＜－f(x3)，f(x3)＜－f(x1)．
由不等式的性质3推论2知
f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜－f(x1)－f(x2)－f(x3)．
因此，f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0.
3已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
活动：教师引导学生观察结论，由于e＜0，因此即证＜，引导学生作差，利用本节所学的不等式基本性质．
证明：c＜d＜0a－c＞b－d＞0 ＞.
点评：本例是灵活运用不等式的性质．证明时一定要推理有据，思路条理清晰.
变式训练
若＜＜0，则下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b中，正确的不等式有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案：B
解析：由＜＜0得b＜a＜0，ab＞0，则①正确，②错误，③错误.
1．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )
A.＜ B．a2＞b2
C.＞ D．a|c|＞b|c|
8
2．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是( )
A.＞ B．a＋＞b＋
C．a＋＞b＋ D.＞
3．有以下四个条件：
①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.
其中能使＜成立的有__________个条件．
答案：
1．C 解法一：∵a＞b，c2＋1＞0，∴＞.
解法二：令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A、B、C、D中，可知A、B、D均错．
2．C 解法一：由a＞b＞0 0＜＜ a＋＞b＋.
解法二：令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝，b＝，排除B.
3．3 解析：①∵b＞0，∴＞0.∵a＜0，∴＜0.∴＜.
②∵b＜a＜0，∴＞.
③∵a＞0＞b，∴＞0，＜0.∴＞.
④∵a＞b＞0，∴＜.
1．教师与学生共同完成本节的小结．从实数的基本性质与三条基本性质的回顾，到所有性质的推得，推论的证明，以及例题的探究、变式训练等．真正温故知新，将本节课所学内容纳入已有的知识体系．
2．教师进一步强调代数逻辑推理的方法要领，指出利用不等式的性质时容易忽略的地方，以及证明不等式时需要注意的问题．
习题3—1A组4、5；习题3—1B组4.
设计感想
8
1．本节设计更加关注学生的发展．通过具体问题的解决，让学生去感受、体验，并从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯．
2．本节设计注重学生的探究活动．学生在学习过程中，通过对问题的探究思考、体验认识、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯和积极主动的学习品质，从而提高学习质量．
3．本节设计注重了学生个性品质的发展．通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探索精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美、数学推理的严谨美，从而激发学生强烈的探究兴趣．
备课资料
备用习题
1．如果a、b、c、d是任意实数，则( )
A．a＞b，c＝d ac＞bd B.＞ a＞b
C．a3＞b3，ab＞0 ＜ D．a2＞b2，ab＞0 ＜
2．已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )
A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－b＞－a＞b
C．a＞－b＞b＞－a D．a＞b＞－a＞－b
3．已知－1＜a＜b＜0，则下面不等式中正确的是( )
A.＜＜b2＜a2 B.＜＜a2＜b2
C.＜＜a2＜b2 D.＜＜b2＜a2
4．设a、b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是( )
A．b－a＞0 B．a3＋b3＜0
C．a2－b2＜0 D．b＋a＞0
5．若α、β满足－＜α＜β＜， 则α－β的取值范围是( )
A．－π＜α－β＜π B．－π＜α－β＜0
C．－＜α－β＜ D．－＜α－β＜0
6．已知60＜x＜84,28＜y＜33，则x－y的取值范围为__________，的取值范围为__________．
7．已知a＜b，c＞d，求证：c－a＞d－b.
8．已知x＞y＞z＞0，求证：＞.
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参考答案：
1．C A项中，当c、d为负数时，ac＜bd，A错；B项中，当c为负数时，a＜b，B错；C项中，a3＞b3，得出a＞b，又由ab＞0可得＜，C项正确；D项中，若a、b均为负数时，由a2＞b2得出a＜b，由ab＞0得出＞，D错．
2．C 由a＋b＞0，b＜0可知a＞0，b＜0，故a，－b为正，－a，b为负，又由a＋b＞0知a＞－b，b＞－a，所以a＞－b＞b＞－a.
3．D 由－1＜a＜b＜0知ab＞0，所以＜＜0，a2＞b2＞0，故＜＜b2＜a2.
4．D 利用赋值法：不妨令a＝1，b＝0，则排除A，B，C.
5．B 由α＜β知α－β＜0，又由α＞－，β＜，故α－β＞(－)－＝－π，
即－π＜α－β＜0.
6．(27,56) (，3) ∵28＜y＜33，∴－33＜－y＜－28.
又60＜x＜84，∴27＜x－y＜56，∈(，)．
∴∈(，)，
即＜＜3.
7．证明：∵a＜b，∴－a＞－b.
又∵c＞d，∴c＋(－a)＞d＋(－b)，即c－a＞d－b.
8．证明：∵x＞y，∴x－y＞0.∴＞0.
又y＞z＞0，∴＞.①
∵y＞z，∴－y＜－z.∴x－y＜x－z.
∴0＜x－y＜x－z.∴＞.
又z＞0，∴＞.②
由①②得＞.
8
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