本章复习
整体设计
教学分析
本节课是对第二章的基本知识和方法的总结和归纳，从整体上来把握本章，使学生的基
本知识系统化和网络化，基本方法条理化．本章内容，用集合定义函数，将函数拓展为映射，
层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体．
三维目标
通过总结和归纳函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、
探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．
重点难点
教学重点：①函数的基本知识．
②含有字母问题的研究．
③抽象函数的理解．
教学难点：①分类讨论的标准划分．
②抽象函数的理解．
课时安排
1 课时
教学过程
导入新课
函数的概念和性质以及二次函数是高考的必考内容之一，为了系统掌握本章知识，教师
直接点出课题．
推进新课
新知探究
提出问题
①本章内容分为几部分？
②画出本章的知识结构图.
讨论结果：①第 1～3 节是函数的概念和性质；第 4,5 节是基本初等函数的性质，可以分
为两部分．(答案不唯一)
②本章的知识结构图，如图 1 所示．(答案不唯一)
图 1
应用示例
思路 1
例 1 求函数 y＝
3x
x2
＋4
的最大值和最小值．
分析：把变量 y 看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于 x 的方程，利
用判别式的符号得关于 y 的不等式，解不等式得 y的取值范围，从而得函数的最值．
解：(判别式法)由 y＝
3x
x2＋4
得 yx2－3x＋4y＝0，
∵x∈R，∴关于 x的方程 yx2
－3x＋4y＝0必有实数根．
当 y＝0 时，则 x＝0，故 y＝0 是一个函数值；
当 y≠0 时，则关于 x 的方程 yx2
－3x＋4y＝0是一元二次方程，
则有Δ＝(－3)
2
－4×4y2
≥0，
∴0＜y2
≤
9
16
.∴－
3
4
≤y＜0 或 0＜y≤
3
4
，
综上所得，－
3
4
≤y≤
3
4
.
∴函数 y＝
3x
x2
＋4
的最小值是－
3
4
，最大值是
3
4
.
点评：形如函数 y＝
ax2＋bx＋c
dx2＋ex＋f
(d≠0)，当函数的定义域是 R(此时 e2
－4df＜0)时，常用
判别式法求最值，其步骤是：①把 y 看成常数，将函数解析式整理为关于 x 的方程的形式 mx2
＋nx＋k＝0；②分类讨论 m＝0 是否符合题意；③当 m≠0 时，关于 x 的方程 mx2
＋nx＋k＝0
中有 x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得 n2－4mk≥0 即关于 y 的不等式，解不等式组
n2
－4mk≥0，
m≠0.
此不等式组的解集与②中 y 的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值
和最小值．
例 2 函数 f(x)＝x2
－2ax＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数 g(x)＝
f x
x
在区
间(1，＋∞)上一定( )．
A．有最小值 B．有最大值
C．是减函数 D．是增函数
解析：函数 f(x)＝x2
－2ax＋a 的对称轴是直线 x＝a，由于函数 f(x)在开区间(－∞，1)
上有最小值，所以直线 x＝a 位于区间(－∞，1)内，即 a＜1.g(x)＝
f x
x
＝x＋
a
x
－2，下面
用定义法判断函数 g(x)在区间(1，＋∞)上的单调性．
设 1＜x1＜x2，则
g(x1)－g(x2)
＝
x1＋
a
x1
－2
－
x2＋
a
x2
－2
＝(x1－x2)＋
a
x1
－
a
x2
＝(x1－x2)
1－
a
x1x2 ＝(x1－x2)
x1x2－a
x1x2
，
∵1＜x1＜x2，
∴x1－x2＜0，x1x2＞1＞0.
又∵a＜1，∴x1x2＞a.∴x1x2－a＞0.
∴g(x1)－g(x2)＜0.∴g(x1)＜g(x2)．
∴函数 g(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，函数 g(x)在区间(1，＋∞)上没有最值．故选
D.
答案：D
点评：定义法判断函数 f(x)的单调性步骤是：①在所给区间上任取两个变量 x1、x2；②
比较 f(x1)与 f(x2)的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手
段是通分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积(商)等；③由②中
差的符号确定函数的单调性．注意：函数 f(x)在开区间 D 上是单调函数，则 f(x)在开区间 D
上没有最大值，也没有最小值．
例 3 求函数 f(x)＝ x2
－1的单调区间．
分析：函数 f(x)是复合函数，利用口诀“同增异减”来求单调区间．
解：函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
设 y＝ u，u＝x2
－1，
当 x≥0 时，u＝x2－1 是增函数，y＝ u也是增函数，
又∵函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
∴函数 f(x)＝ x2
－1在[1，＋∞)上是增函数．
当 x≤0 时，u＝x2－1 是减函数，y＝ u也是增函数，
又∵函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
∴函数 f(x)＝ x2
－1在(－∞，－1]上是减函数．
即函数 f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－1]．
点评：复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调
性有密切联系，其单调性的规律为：“同增异减”，即复合函数 y＝f[g(x)]，如果 y＝f(u)，
u＝g(x)有相同的单调性时，函数 y＝f[g(x)]为增函数，如果具有相异(即相反)的单调性，
则函数 y＝f 这[g(x)]为减函数．讨论复合函数单调性的步骤是：①求复合函数的定义域；②
把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并分别判断其单调性；③依据复合函数的单调
性规律口诀：“同增异减”，判断出复合函数的单调性或写出其单调区间．
注意：本题如果忽视函数的定义域，会错误地得到单调递增区间是[0，＋∞)，单调递减
区间是(－∞，0]．其避免方法是讨论函数的性质要遵守定义域优先的原则．
思路 2
例 1 某商场以 100 元/件的价格购进一批衬衣，以高于进价的价格出售，销售有淡季与
旺季之分，通过市场调查发现：
①销售量r(x)(件)与衬衣标价x(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：r(x)＝kx＋b1；
在销售淡季近似地符合函数关系：r(x)＝kx＋b2，其中 k＜0，b1＞0，b2＞0 且 k、b1、b2为常
数；
②在销售旺季，商场以 140 元/件的价格销售能获得最大销售利润；
③若称①中 r(x)＝0 时的标价 x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是
销售淡季的“临界价格”的 1.5 倍．
请根据上述信息，完成下面问题：
(1)填写表格中空格的内容：
(2)在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣标价应定为多少元才合适？
分析：(1)销售总利润 y＝销售量 r(x)×每件利润，每件利润＝标价－进价；(2)转化为
求二次函数 y＝f(x)的最大值，由条件②③求出 b2与 k的关系，应用二次函数的知识求解．
解：(1)在销售旺季，y＝(kx＋b1)(x－100)＝kx2
－(100k－b1)x－100b1；
在销售淡季，y＝(kx＋b2)(x－100)＝kx2
－(100k－b2)x－100b2，
故表格为：如下表所示．
(2)∵k＜0，b1＞0，b2＞0，
∴－
b1
2k
＞0，－
b2
2k
＞0.
∴50－
b1
2k
＞0,50－
b2
2k
＞0.
则在销售旺季，y＝kx2－(100k－b1)x－100b1，∴当 x＝
100k－b1
2k
＝50－
b1
2k
时，利润 y 取
最大值；
在销售淡季，y＝kx2
－(100k－b2)x－100b2，∴当 x＝
100k－b2
2k
＝50－
b2
2k
时，利润 y 取最
大值．
由②知，在销售旺季，商场以 140 元/件价格出售时，能获得最大利润．
因此在销售旺季，当标价 x＝50－
b1
2k
＝140 时，利润 y 取最大值．∴b1＝180k.
∴此时销售量为 r(x)＝kx－180k.令 kx－180k＝0，得 x＝180，
即在销售旺季，衬衣的“临界价格”为 180 元/件．
∴由③知，在销售淡季，衬衣的“临界价格”为 180×
2
3
＝120 元/件．
可见在销售淡季，当标价 x＝120 元/件时，销售量为 r(x)＝kx＋b2＝0.
∴120k＋b2＝0.
∴
b2
k
＝－120.
∴在销售淡季，当标价 x＝50－
b2
2k
＝50＋60＝110 元/件时，利润 y 取得最大值．
即在销售淡季，商场要获得最大利润，应将衬衣的标价定为 110 元/件合适．
点评：在应用问题中，需解决利润最大、成本最少、费用最少等问题时，常常通过建立
数学模型，转化为求函数最值的问题．其步骤是：①阅读理解，审清题意．读题要做到逐字
逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，
求什么，从中提炼出相应的数学问题；②引进数学符号，建立数学模型．如果条件中没有设
未知数，那么要设自变量为 x，函数为 y，必要时引入其他相关辅助变量，并用 x、y和辅助
变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识及其他相关知识建立关
系式，在此基础上将实际问题转化为求函数最值问题，即所谓建立数学模型；③利用数学的
方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果；④将所得结果再转译成具体
问题的答案．
例 2 求函数 y＝|x＋2|－|x－2|的最小值．
分析：思路 1：画出函数的图像，利用函数最小值的几何意义，写出函数的最小值；思
路 2：利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的几何问题：数轴上到±2 两点的距离和的最小
值．
解：方法 1(图像法)：y＝|x＋2|－|x－2|＝
－4，
2x，
4，
x≤－2，
－2
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