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1.1 不等关系
教学目的和要求：
理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系
教学重点和难点：
重点：
对不等式概念的理解
难点：
怎样建立量与量之间的不等关系。
从问题中来，到问题中去。
1. 如图1-1，用用根长度均为l㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆。
（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝2，那么绳长l应满足怎样的关系式？
（2）如果要使圆的面积大于100㎝2，那么绳长l应满足怎样的关系式？
（3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢？
（4）改变l的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？
分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为，圆的面积可以表示为。
（1） 要使正方形的面积不大于25㎝2，就是
，即。
（2） 要使圆的面积大于100㎝2，就是
＞100，
即 ＞100
（3） 当l=8时，正方形的面积为，圆的面积为，
4＜5.1，此时圆的面积大。
当l=12时，正方形的面积为，圆的面积为，
9＜11.5，此时还是圆的面积大。
（4） 不论怎样改变l的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想，用长度增色为l㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即
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＞
1. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m？（只列关系式）
（2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.2m/s，人离开的速度为4m/s，导火线的长度x（m）应满足怎样的关系式？
答案：（1）设这棵树生长x年其树围才能超过2.4m，则5+3x＞240。
（2）人离开10m以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能保证人的安全：＜
分析巩固练习：
用不等式表示：
（1） a的相反数是正数；
（2） m与2的差小于；
（3） x的与4的和不是正数；
（4） y的一半与x的2倍的和不小于3。
解答：（1）a的相反数是-a，正数是比零大的数，所以“a的相反数是正数”就是-a＞0；
（2）“m与2的差”就是m-2，“ 差小于”即是m-2＜；
（3）“x的”就是x，“x的与4的和不是正数”就是x+4≤0；
（4）“y的一半”不是y,“x的2倍”就是2x，“不小于3”即指大于或等于3，故“y的一半与x的2倍的和不小于”就是y+2x≥3。
2. 下列各数：，-4，，0，5.2，3其中使不等式＞1，成立是 （ ）
A．-4，，5.2 B．，5.2，3 C．，0，3 D．，5.2
答案：D
3. 有理数a，b在数轴上的位置如图1-2所示，所的值 （ ）
A．＞0 B．＜0 C．＝0 D．≥0
答案：B
小结提问，快速回答：新-课 -标-第- 一-网
1. 表示不等式关系的符号有哪些?
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1. 用适当的符号表示下列关系:
（1）x的5倍与3的差比x的4倍大；
（2）a的的相反数是非负数；
（3）x的3倍不小于y的8倍。
2. 下列不等式中，总能成立的是 （ ）
A．＞0 B． C．2a＞a D．＞a
作业要求：作业本
1.2不等式的基本性质
一、教学目标
1．经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。
2．掌握不等式的基本性质。
二、教学重难点
不等式的基本性质的掌握与应用。
三、教学过程设计
1.比较归纳，产生新知
我们知道，在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，等式不变。
请问：如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，那么结果会怎样？请兴几例试一试，并与同伴交流。
类比等式的基本性质得出猜想：不等式的结果不变。试举几例验证猜想。如3＜7，3+1=4，7+1=8，4＜8，所以3+1＜7+1；3-5=-2，7-5=2，-2＜2，所以 3-5＜7-5；3+a＜7+a；3＜7,3-a＜7-a等。都能说明猜想的正确性。
2.探索交流，概括性质
完成下列填空。
2＜3，2×5 3×5；
2＜3，2×（-1） 3×（-1）；
2＜3，2×（-5） 3×（-5）；
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你发现了什么？请再举几例试试，与同伴交流。新|课 |标| 第 |一| 网
通过计算结果不难发现：前两个空填“＜”，后三个空填“＞”。
得出不等式的基本性质：
不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
（通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象）
3.练习巩固，促进迁移
1． （1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由。
① 6+2 -3+2； ② 6×（-2） -3×（-2）；
③ 6÷2 -3÷2； ④ 6÷（-2） -3÷（-2）
（2）如果a＞b，则
2．利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”：
（1）若a＞b，则2a+1 2b+1;
（2）若＜10，则y -8；
（3）若a＜b，且c＞0，则ac+c bc+c；
（4）若a＞0，b＜0， c＜0，（a-b）c 0。
4.巩固应用，拓展研究.
1. 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。
（1）a＞b两边都加上-4； （2）-3a＜b两边都除以-3；
（3）a≥3b两边都乘以2； （4）a≤2b两边都加上c；
2. 根据不等式的性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式（a为常数）：
5.课内深化，提升能力
比较下列各题两式的大小：
6.回顾联系，形成结构
想一想：本节课学了哪些知识？有哪些性质？在运用性质时应注意什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
7.课外作业与拓展
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课外作业：课本第9页“习题1.2”
1.3不等式的解集
一、教学目标
1．理解不等式解与解集的意义。
2．了解不等式解集的数轴表示。
二、教学重难点
重点是区分不等式解与解集的概念，难点是在数轴上表示不等式的解集。
三、教学过程设计
1.创设情景，导出问题
（课本问题）燃放某中礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前10m以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，人离开的速度为4m/s，那么导火线的长度应为多少厘米？
（在建立不等式之前，先让学生分析清楚问题中量与量之间的关系：为了使人有足够的时间到达安全区域，导火线燃烧的时间应大于人到达安全区域的时间。）
设导火线的长度应为x cm ，根据题意，得
即 x>5
2.探索交流，得出概念
1．想一想：（1）你能找出几个使不等式x>5成立的x的值吗？
（2）x＝5,6,8能使不等式x>5成立吗？
(字母可以表示任何数，但对于满足x>5中的字母x，它能够取任意数吗？如果不能，它能取哪些数呢？启发学生动手验证、动脑思考，并从中初步体会不等式解的意义及不等式解与方程解的不同之处。)
能使不等式成立得未知数得值，叫做不等式的解。例如，6是不等式x>5一个解，7,8,9,……也是不等式x>5的解。
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如不等式x-5≤-1的解集为x≤4；不等式x2>0的解集是所有非零实数。
求不等式解集的过程叫做解不等式。
2．议一议：请你用自己的方式将不等式x>5的解集和x-5≤-1的解集分别表示在数轴上，并与同伴交流。
（引导学生回忆实数与数轴上点的对应关系，认识数轴上的点是有序的，实数是可以比较大小的，让学生用具体实数对应的点加以说明）
3.练习巩固，促进迁移
1.判断下列说法是否正确：
（1）x=2是不等式x+3＜4的解；
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（2）x=2是不等式3x＜7的解集；
（3）不等式3x＜7的解是x=2；
（4）x=3是不等式3x≥9的解。
答案：（1）不正确； （2）不正确； （3）不正确； （4）正确。
2.在数轴上表示出下列不等式的解集：
（1）x＞-1； （2）x≥-1；（3）x＜-1； （4）x≤-1
答案：
（1）数轴上实心与空心的区别在于：空心点表示解集不包括这一点，实心点表示解集包括这一点。
（2）数轴上表示不等式的解集遵循“大于向右走，小于向左走”这一原则。
4.回顾联系，形成结构
想一想：本节课学了哪些知识？在运用时应注意什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
5.课外作业与拓展
课外作业：课本第12页“习题1.3”
1.4一元一次不等式(1)
教学目的和要求:会用一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。
教学重点和难点：
重点：一元一次不等式的解法
难点：解决一元一次不等式时等号方向的改变。
教学过程：
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1. 观察下列不等式：
（1）； （2） （3）x＜4 （4）＞240
这些不等式有哪些共同特点？
这些等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，象这样的不等式，叫做一元一次不等式。
2. 先阅读每（1）题的解法，然后仿做第（2）题，最后谈谈自己读题、做题的体会。
（1）解不等式，并把它的解集表示在数轴上。
解 去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
两边都除以5，得
这个不等式的解集在数轴上表示如下（图1-13）
（2）解不等式，并把它的解集表示的数轴上。
答案：
其解集在数轴上表示如下图1-40
3. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。
解答：去括号，得，
移项，得。
合并同类项，得 24
系数化为1，得。得。
在数轴上表示不等式解集如图
4. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。
解答：去分母，得
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答案：
这个不等式的解集数轴上表示如图
1. y取何正整数时，代数式2(y-1)的值不大于10-4（y-3）的值。
解答：根据题意列出不等式：
答案：解这个不等式，得，解集中的正整数解是：1，2，3，4。
2. 解关于x的不等式： k(x+3)＞x+4;
解答：去括号，得kx+3k＞x+4;
答案：若k-1=0，即k=1时，0＞1不成立，∴不等式无解。
若k-1＞0，即k＞1时，。
若k-1＜0，即k＜1时，。
3. m取何值时，关于x的方程的解大于1。
解答：解这个方程：
w W w .x K b 1.c o M
∴
根据题意，得
解得 m＞2
4. 是否存在整数m，使关于x的不等式与是同解不等式？如果存在，求出整数m和不等式的解集；如果不存在，请说明理由。
答案：x＞-8
因此，存在符合题意的m，当m=-11时，两个不等式同解，解集为x＞-8。
小结：本节课我们学了什么？
作业布置
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一元一次不等式（2）
目的、要求：加强巩固一元一次不等式的解法
及用数轴表示不等式的解集
了解不等式在生活中的应用
重点、难点：有分母的一元一次不等式的解法
一元一次不等式的特殊解的求法以及一元一次不等式的应用
例。解下列不等式。并把它们的解集
s在数轴上表示出来X k B 1 . c o m
解：在不等式的两边同时解乘以8得；即
化简得；
例一教师师范板演。其他学生模仿联系
解下列不等式．并把它们的解集在数轴上表示出来
例3、一次环保知识竞赛，共有25道题，规定答对一题得4分，答错一或不答扣一分。
小明得了85分，他答对了多少题？
小立在这次竞赛中被评为优秀（85分或85分以上），小立可能答对了多少题？她至少答对了多少题？
解：设小明答对了x道题，那么答错或不答（25-x）道题。
根据题意、得 4x-（25-x）=85
解这个方程、得 x=22
所以小明答对了22道题。
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设小立可能答对了x道题，那么答错或不答（25-x）道题。
根据提意，得 4x-（25-x）>=85
解这个不等式，得 x>=22
因为x答对题的个数，所以取不等式的正整数解，又只有25道题，因此小立可能答对了22，23，24，25道题。她至少答对了22道题。
说明：第一小题是列一元一次方程解应用题，第二小题是列一元一次不等式解应用题，目的是让学生认识两者的区别与联系。
二、出示投影片2：例四、小颖准备用21元钱买笔和笔记本。已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2个笔记本，请你帮她算一算她还可能买几支笔。
解：设小颖还可能买n支笔。
根据题意，得 3n+2.2≦21
解这个不等式，得 n≦16.6∕3
因为n表示笔的支数，所以应取不等式的正整数解。因此小颖还可能买1支，2支，3支，4支或5支笔。
三、让学生交流对列不等式解应用题的认识，归纳列不等式解应用题的基本步骤。
四、做17页随堂练习第二题
五、课下作业，习题1.5,1题，2题
六、课后小结；列不等式解应用题的一般步骤：1、分析题意，清楚已知量与未知量之间的关系，找到题中适当的不等关系。2、正确的设未知数，根据不等关系列出不等式。
3、解不等式。4、在不等式的解集中选取符合题意的解。5、做出正确的结论。
随堂练习
作业布置
1.5一元一次不等式与一次函数
一、教学目标
1.通过作函数图象、观察函数图象，进一步理解函数的概念，并从中初步体会一元一次不等式与一次函数的内在联系。
2.通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式的解集的联系。
3.感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系。
二、教学重难点
教学重点初步建立“数”（一元一次不等式）与“形”（一次函数）之间的关系，根据一次函数图象求一元一次不等式的解集。教学难点是理解一元一次不等式与一次函数的关系。
三、教学过程设计
1.创设情景，导出问题
小明听了爸爸的字如其人的一番教诲，想到自己龙飞凤舞的“草书”作品连自己都认不出来的笑话，下决心练字，在第一周的前3天每天练字6页。设每周计划练字x页。你能写出x 与y 之间的关系式吗？这是一个什么函数？
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若周计划为y=38页，则x 取怎样的值，小明才能超额完成计划？
（由实际问题出发引导学生回顾一次函数相关概念以及一次函数与方程的关系。回顾所学知识作好新知识的衔接。）
回顾：①一次函数的定义。②一次函数的图象。③直线y=kx+b与方程的联系。
2.探索交流，发现规律
我们来看下面这个问题。
作出函数y=2x-5的图象，观察图象回答下列问题：
（1）、x取何值时，y=0？[提示： 的值就是2x-5的值]那么2x-5=0呢？
（2）、x取何值时，y>0？2x-5>0呢？
（3）、x取何值时，y3呢？
（展示问题，适当时间后请学生解答并说明理由，让学生尝试独立完成问题，并与全班同学交流解题方法，教师借助课件作结论性评判。以上问题可以直接解不等式（或方程）求解，但这里意图是让学生通过直接图象得到。引导学生体会既可以运用函数图象解不等式，也可以运用解不等式帮助研究函数问题，二者互相渗透，互相作用。）
想一想：如果y=-2x-5,那么当x取何值时，y>0?
(将此结果与上面的例子进行比较，你发现了什么？在用一次函数图象解时应注意哪些问题？)
(学生独立完成并与全班同学交流想法。学生可以用不同方法解答，教师意图是尽量用图象求解。)
小结：一元一次不等式除了可以利用不等式的基本性质解之外，还可以用一次函数图象来解。只是第一、应先将一元一次不等式化成y>0(或0，有怎样的情况？（kx+b中ky2，你是怎样做的？与同伴交流。
（在学生思考后，用课件展示图象以便学生识图求解。学生采用不同方法完成，完成练习，巩固新知识，并与同学交流。）
(2)某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数图象关系如图所示。
① 求x≥30时，y与x之间的函数关系式；
② 如果某人4月份上网20小时，他应付多少元？
③ 如果某人5月份上网的费用为75元，则他在该月上网多少时间？
（此题摘自励耘精品系列丛书《课时导航》北师大版八年级（下）P9第8题）
(让学生认真观察图象，分析图象，初步学会用分段函数的思想去考虑问题，初步建立“数”（一元一次不等式）与“形”（一次函数）之间的关系。使学生初步体会函数、方程、不等式都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，通过具体例子渗透三者之间的内在联系，帮助学生从整体上认识不等式，感受函数、方程、不等式的作用。)
5.回顾联系，形成结构
通过本节课的学习，你有哪些收获？
(学生小结,教师对学生小结内容作肯定或补充。通过学生自我总结使之进一步理解函数的概念，并从中初步体会一元一次不等式与一次函数的内在联系。通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式的解集的联系。使学生从整体上认识不等式，感受函数、方程、不等式的作用。)
6.课外作业与拓展
课外作业：课本第19页“读一读”、第20页“习题1.6”
课外拓展：参见励耘精品系列丛书《课时导航》北师大版八年级（下）P7－P10
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1.6 一元一次不等式组
第一课时
一、教学目标：
1. 知识目标:
①理解一元一次不等式组解集的概念，掌握一元一次不等式组的解法．
②会利用数轴较简单的一元一次不等式组
③通过练习，理解并掌握一元一次不等式组解集的几种情况．
2. 能力目标：
①通过利用数轴来寻求不等式组的解，培养学生的观察能力、分析能力，
②让学生从练习中发现不等式组解集的四种情况，以培养学生归纳总结能力．
3. 情感目标：
将不等式组的解法和归纳留给学生在交流、讨论中完成，培养学生养成良好的学习习惯和转变一种观念——将老师与学习伙伴看成是自己有利的学习资源。
二、教学重难点：
教学重点：在紧密联系不等式的同时，理解不等式组解集的意义。教学难点：借助数形结合的方法找出不等式的解集。
三、教学过程设计：
1.回顾旧知，探索发展
回顾：解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。
（1）2x+3＞5 （2）6x—5≤1
（让学生上台演示，注意指导其解题的规范性）
探索：用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水在1200吨到1500吨之间，那么大约需要多长时间才能将污水抽完？
分析：设需要x分钟才能将污水抽完，那么总的抽水量应为30x吨。由题意，积存的污水在1200吨到1500吨之间，因此，应有
1200≤30x≤1500
（通过一个具体的问题引入一元一次式组的概念。学生在研究这一具体问题时，自然感知到要解决的问题同时满足两个约束条件，而这两个约束条件都是不等式。这样引入不等式组比较自然）
上式实际上包括了两个不等式
30x≥1200 和 30x≤1500
它说明要这个实际问题中，未知量x应同时满足这两个条件。
我们把这两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组：
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（你能尝试找出符合上面一元一次不等式组的未知数的值吗？与同伴交流。学生可以通过列表、画数轴图的方法，寻求不等式组的解。要让学生在充分交流的基础上体会寻找不等式的公共解的方法。）
分别求这两个不等式的解集，得
同时满足①②的未知数x应是个不等式的解集的公共部分。
在数轴上表示出来
∴x应取 40≤x≤50
这就是所列不等式组的解集。即答案为：大约需要40到50分钟才能将污水抽完。
概括：
几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。
解一元一次不等式组，其步骤通常为：
(1)先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集；
(2)在数轴上把它们的解集表示出来；
(3)找出解集的公共部分，即不等式组的解集。
2.练习巩固，促进迁移
(1)例题：解不等式组
解：解不等式①，得 x＞2
解不等式②，得 x＞4
在数轴上表示出①②的解集
∴原不等式组的解集为x＞4
（要让学生认识到准确、熟练得解不等式是解不等式组的基础，而运用数轴表示（找公共部分）是关键。让学生再次体会数形结合思想的魅力。）
（2） 练习：
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（3）问题探讨：w W w .x K b 1.c o M
从练习的情况来看，请同学们认真观察它与下面几种图示的关系：
①当不等号的方向一致时(称同向不等式)，即：
对这类不等式组可按“同大取大；同小取小”的法则，即取公共部分为它的解(如图)．
②当不等号的方向相反时(称异向不等式)，即：
则若未知数的取值比大数小，比小数大时，不等式组的解集在两数之间，取公共部分(如图)；
③若未知数的取值比大数还大，比小数还小，不等式组的解集是空集，即没有公共部分(如图3)．
(先让学生通过练习，从感性上了解不等式组解集的基本情况；其次引导学生通过“练习解答的形式与所给图示”的对比，引发出不等式组解集的四种基本情况；从而加深学生对不等式组解集的理解，更重要的是学生区分出这四种不同的情况后，在结合图形能更快更准地找出不等式组的解集。)
3.巩固应用，拓展研究
（1）找出下列不关x的公共部分。
(2)解不等式组
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(3)求不等式组的整数解
(巩固应用的设计突出一个层次性，满足不同基础水平的同学的需要。其中第1题主要训练学生的定向思维，巩固不等式组解集的四种情况；第2题则是以训练学生解不等式组的方法。第3题则以发散思维为主，其目的是让优生吃得饱。在挑战难题的过程中，培养学生学习的意志力。)
4.回顾联系，形成结构
通过本节课的学习，你有哪些收获？
(学生小结,教师对学生小结内容作肯定或补充。启发学生动脑思考、归纳、总结所学知识，从而培养学生简明的语言概括能力和准确的语言表达能力。通过学生自我总结使之进一步理解一元一次不等式组的概念，并从中初步体会一元一次不等式与一元一次不等式组的内在联系。促进学生对数学知识的记忆,并把所学知识结构化系统化。)
5.课外作业与拓展
课外作业：课本第26页“习题1.8”
第二课时
一、教学目标：
1、一元一次不等式组的解集的表示，尤其是在数轴上的表示让学生们必需掌握。
2、让学生理解一元一次不等式组及其解的意义。利用不等式来解决实际问题，让学生进一步感受数形结合的作用。
3、让学生经历具体具体问题抽象出不等式组的过程。
二、教学重难点：
教学重点：掌握一元一次不等式组的解法；会用数轴表示一元一次不等式组解集的几种情况．教学难点：不等式组解集几种情况的灵活应用。
三、教学过程设计：
1.基础运用，
例1. 解不等式组 ，并将解集标在数轴上.
(
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解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的各个不等式的解集的公共部分，在解的过程中各个不等式彼此之间无关系，是独立的，在每一个不等式的解集都求出之后，才从“组”的角度去求“组”的解集，在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决问题。)
步骤：
解：解不等式(1)得x>
解不等式(2)得x≤4
∴
（利用数轴确定不等式组的解集）
∴ 原不等式组的解集为-1,
解不等式(2)得x≤1,
解不等式(3)得x
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