2.2 不等式的基本性质
等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？
文字语言
符号语言
性质
1
等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等
.
如果
a
=
b
那么
a
+
c
=
b
+
c
a
-
c
=
b
-
c
性质
2
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为
0
的数，结果仍相等
.
如果
a
=
b
那么
ac
=
bc
如果
a
=
b
(
c
≠0
)
那么
创设情景 明确目标
某地庆典活动需燃放某种礼花弹．为确保人身安全，要求燃放者在点燃导火索后于燃放前转移到
10
米以外的地方．已知导火索的燃烧速度为
0.02 m/s,
人离开的速度是
4 m/s
，导火索的长
x(m)
应满足怎样的关系式？你会解这个不等式吗？
1
．探索并理解不等式的性质．
2
．体会探索过程中所应用的归纳和类比的方法．
学习目标
为了研究不等式的性质，我们可以先从一些数字的运算开始．用“＜”或“＞”完成下列两组填空，你能发现其中的规律吗
?
①
5
＞
3
5+2
3+2
，
5+
(-
2
)
3+
(-
2
)
，
5+0
3+0
；
②
-
1
＜
3
-
1+2
3+2
，
-
1+
(-
3
)
3+
(-
3
)
，
-
1+0
3+0
．
＞
＞
＞
＜
＜
＜
合作探究 达成目标
探究点一 不等式的性质
观察不等号的变化，发现并归纳其中的规律，
获得以下猜想．
猜想
1
当不等式两边加（或减）同一个数
（或式子）时，不等号的方向不变．
追问 猜想
1
是否正确？如何验证？
性质
1
：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
类似等式性质的符号语言表示，你能把不等式的性质
1
用符号语言表示吗
?
用
“
＜
”
或
“
＞
”
填空，并总结其中的规律：
①
6
＞
2
，
6×5
___
2×5
，
6×
(-
5
)
___ 2 ×
(-
5
)
；
②
-
2
＜
3
，
(-
2
)
×6___ 3×6
，
(-
2
)
×
(-
6
)
___ 3 ×
(-
6
)
．
＜
＞
＞
＜
猜想
2
不等式两边乘（或除以）同一个正数，
不等号的方向不变；
猜想
3
不等式两边乘（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变．
性质
2
：不等式两边乘（或除以）同一个正数，
不等号的方向不变．
性质
3
：不等式两边乘（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变．
探究点二 利用不等式的性质解不等式
例
1
利用不等式的性质解下列不等式：
（
1
） ； （
2
） ；
（
3
） ； （
4
）
.
（
1
） ；
分析：解未知数为
x
的不等式，就是要使不等式逐步化为
或 的形式．
解
：
根据不等式的性质
1
，
不等式两边都加
7
，不等号的方向不变，
得
（
2
） ；
解
：
根据不等式的性质
1
，
不等式两边都减 ，不等号的方向不变，
得
（
3
） ；
解
：
根据不等式的性质
2
，
不等式两边都乘以 ，不等号的方向不变，
得
（
4
） ；
解
：
根据不等式的性质
3
，
不等式两边都乘以 ，不等号的方向改变，
得
请将例
1
中四个小题的解集用数轴表示出来：
（
1
） ； （
2
） ；
0
33
1
0
请将例
1
中四个小题的解集用数轴表示出来：
（
3
） ； （
4
）
.
0
75
0
将不等式逐步转化为 或
(
为常数
)
的形式的依据是
不等式的性质
.
不等式的
两边同乘或除同一个数时，要分清乘或除的是
正数
还是
负数
，若是正数不等号的方向
不变
，若是负数不等号方向
要改变
．
把不等式逐步转化为 或
(
为常数
)
的形式的依据是什么？应注意什么问题？
探究点二 利用不等式的性质解不等式
例
2
某长方体形状的容器长
5
cm
，宽
3
cm
，高
10
cm
，容器内原有水的高度为
3
cm
，现准备向它继续注水。用
V
（单位：
cm
3
）表示新注入水的体积，写出
V
的取值范围。
探究点三 不等式性质的实际运用
分析：
“不超过” 是什么意思？体积应满足怎样的关系式？
新注入水的体积 能是负数吗？
105
0
在表示
0
和
105
的点上画实心圆点，表示取值范围包括这两个数．
V
≤105
0≤
V
≤105
在数轴上表示例
2
的解集与表示例
1
的解集有什么不同？
探究点三 不等式性质的实际运用
在
数轴上表示不等式例
1
的解集不具有实际意义，因此不用考虑它的是否符合
生活实际
；而例
2
中未知数是具有实际意义，因此必须考虑它符合生活实际，且例
2
的解集用到的是“≤”、“≥”，它表示
小于或等于
、
大于或等于
，表示
包含
这个数，因此用
实心
点表示
.
总结梳理 内化目标
达标检测 反思目标
1
．上交作业：教材习题
;
课后作业
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