第16课 平行四边形.ppt

知识清单 第 16 课 平行四边形 课前小测 经典回顾 中考冲刺 平行四边形是四边形中应用广泛的一种图形，它是研究特殊四边形的基础，是研究线段和直线平等的根据之一。广东省近 5 年试题规律：常以选择、填空题考查四边形的性质与判定，属于基础题；但与折叠、旋转、圆、函数等问题结合在一起考查，却有难度，特别地，平行四边形是必考内容。 知识点一 平行四边形的性质 知识清单 序号 平行四边形的性质 1 平行四边形的对边平行且相等 . 2 平行四边形的对角相等 . 3 平行四边形的对角线互相平分 . 4 平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点 . 知识点二 平行四边形的判定方法 序号 平行四边形的判定方法 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ( 定义法 ). 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 . 3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 . 4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 . 5 对角线平分的四边形是平行四边形 . 1．（2015•福建）如图，在 □ ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（　　） A．AB∥CD B．AB=CD C．AC=BD D．OA=OC 课前小测 C 2．（2014•昆明）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=OD C．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC 3．（2015•常州）如图， □ ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（　　） A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB C C 4．（2015•玉林）如图，在 □ ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2， □ ABCD的周长是14，则DM等于 （　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2015•绵阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（　　） A．6 B．12 C．20 D．24 C D 经典回顾 例 1 （2016•梅州）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O． （1）求证：BO=DO； （2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长． 考 点一 平行四边形的性质 （ 1 ）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ DC∥AB ， ∴∠ OBE=∠ODF ．又∠ BOE=∠DOF ， BE=DF ， ∴△ OBE≌△ODF （ AAS ）．∴ BO=DO ． （ 2 ）解：∵ EF⊥AB ， AB∥DC ， ∴∠ GEA=∠GFD=90° ． ∵∠ A=45° ，∴∠ G=∠A=45° ． ∴ AE=GE ∵BD⊥AD ， ∴∠ ADB=∠GDO=90° ．∴∠ GOD=∠G=45° ． ∴ DG=DO ，∴ OF=FG=1 ， 由（ 1 ）可知， OE=OF=1 ， ∴ GE=OE+OF+FG=3 ，∴ AE=3 ． 【变式1】（2014•广东）如图， □ ABCD中，下列说法一定正确的是（　　） A．AC=BD B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB=BC C 【变式2】（2016•温州）如图，E是 □ ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△FCE． （2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长． （ 1 ）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC ， AB∥CD ， ∴∠ DAE=∠F ，∠ D=∠ECF ， ∵ E 是 CD 的中点， ∴ DE=CE ， ∴△ ADE≌△FCE （ AAS ）； （ 2 ）解：∵ ADE≌△FCE ， ∴ AE=EF=3 ， ∵ AB∥CD ， ∴∠ AED=∠BAF=90° ， 在□ ABCD 中， AD=BC=5 ， ∴ DE= = =4 ， ∴ CD=2DE=8 ． 例 2 （2016•徐州）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，△ACD是等边三角形，E是AC的中点，连接BE并延长，交DC于点F，求证： （1）△ABE≌△CFE； （2）四边形ABFD是平行四边形． 考点二 平行四边形的判定 证明：（ 1 ）∵△ ACD 是等边三角形， ∴∠ DCA=60° ， ∵∠ BAC=60° ，∴∠ DCA=∠BAC ， 又 AE=CE ，∠ BEA=∠FEC ，∴△ ABE≌△CFE ； （ 2 ）∵ E 是 AC 的中点， ∴ BE=EA ， ∵∠ BAE=60° ，∴△ ABE 是等边三角形， ∴△ CEF 是等边三角形，∴∠ CFE=60° ， ∵△ ACD 是等边三角形，∴∠ CDA=∠DCA=60° ， ∴∠ CFE=∠CDA ， ∴ BF∥AD ， ∴四边形 ABFD 是平行四边形． 【变式3】（2012•广东）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO=DO． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵ AB∥CD ， ∴∠ ABO=∠CDO ， 又 BO=DO ，∠ AOB=∠COD ， ∴△ ABO≌△CDO （ ASA ）， ∴ AB=CD ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 【变式4】（2010•广东）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF． （1）试说明AC=EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形． 证明：（ 1 ）∵ Rt△ABC 中，∠ BAC=30° ， ∴ AB=2BC ， 又∵△ ABE 是等边三角形， EF⊥AB ， ∴ AB=2AF∴AF=BC ， 又 AE=BA ， ∴△ AFE≌△BCA （ HL ），∴ AC=EF ； （ 2 ）∵△ ACD 是等边三角形， ∴∠ DAC=60° ， AC=AD ，∴∠ DAB=∠DAC+∠BAC=90° 又∵ EF⊥AB ， ∴ EF∥AD ， ∵ AC=EF ， AC=AD ， ∴ EF=AD ， ∴四边形 ADFE 是平行四边形． 一、选择题 中考冲刺 1 ．（ 2016• 泸州）如图， □ ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，且 AC+BD=16 ， CD=6 ，则△ ABO 的周长是（　　） A ． 10 B ． 14 C ． 20 D ． 22 B 2．（2016•丽水）如图， □ ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（　　） A．13 B．17 C．20 D．26 3．（2016•丹东）如图，在 □ ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 B B 4．（2016•株洲）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是 （　 ） A．OE= DC B．OA=O C C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE 5．（2016•泰安）如图，在 □ ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 D C 6 ．（ 2016• 湘西州）下列说法错误的是（　　） A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 D 二、填空题 7．（2016•河南）如图，在 □ ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为 　　　　　　 ． 8．（2016•江西）如图所示，在 □ ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 　　　　　　 ． 110° 50° 9．（2016•宁夏）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于 　　　　　　 ． 10．（2016•邵阳）如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件 　　　　　　 （写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形． 2 AD∥BC 11．（2016•衢州）已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x= 　　　　　　 ． 12．（2016•常德）如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D 1 ，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D 1 AD= 　　　　　　 ． 4或﹣2 55° 三、解答题 13．（2016•益阳）如图，在 □ ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE． 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB=CD ， AB∥CD ， ∴∠ ABE=∠CDF ． 又∵ AE⊥BD ， CF⊥BD ， ∴∠ AEB=∠CFD=90° ， AE∥CF ， ∴∠ AEB=∠CFD ， 又 AB=CD ， ∴△ ABE≌△CDF （ AAS ）． ∴ AE=CF ， ∵ AE∥CF ， ∴四边形 AECF 是平行四边形， ∴ AF=CE ． 14．（2016•西宁）如图，在 □ ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F． （1）求证：AB=CF； （2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF． 证明：（ 1 ）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥DF ， ∴∠ ABE=∠FCE ， ∵ E 为 BC 中点， ∴ BE=CE ， 又∠ AEB=∠CEF ， ∴△ ABE≌△FCE （ ASA ）， ∴ AB=FC ； （ 2 ）∵ AD=2AB ， AB=FC=CD ， ∴ AD=DF ， ∵△ ABE≌△FCE ， ∴ AE=EF ， ∴ DE⊥AF ． 15．（2016•鄂州）如图， □ ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N． （1）求证：四边形CMAN是平行四边形． （2）已知DE=4，FN=3，求BN的长． （ 1 ）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ CD∥AB ， ∵ AM⊥BD ， CN⊥BD ，∴ AM∥CN ，∴ CM∥AN ， AM∥CN ， ∴四边形 AMCN 是平行四边形． （ 2 ）∵四边形 AMCN 是平行四边形，∴ CM=AN ， ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ CD=AB ， CD∥AB ， ∴ DM=BN ，∠ MDE=∠NBF ， 又∠ DEM=∠NFB ， ∴△ MDE≌△NBF ，∴ ME=NF=3 ， 在 RT△DME 中，∵∠ DEM=90° ， DE=4 ， ME=3 ， ∴ DM= = =5 ， ∴ BN=DM=5 ． 16．（2016•菏泽）如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度． 解：（ 1 ）∵ D 、 G 分别是 AB 、 AC 的中点， ∴ DG∥BC ， DG= BC ， ∵ E 、 F 分别是 OB 、 OC 的中点， ∴ EF∥BC ， EF= BC ， ∴ DG=EF ， DG∥EF ， ∴四边形 DEFG 是平行四边形； （ 2 ）∵∠ OBC 和∠ OCB 互余， ∴∠ OBC+∠OCB=90° ， ∴∠ BOC=90° ， ∵ M 为 EF 的中点， OM=3 ， ∴ EF=2OM=6 ． 由（ 1 ）有四边形 DEFG 是平行四边形， ∴ DG=EF=6 ． 谢谢！！