抛物线及其标准方程
人教
A
版高中数学选修２－１
思考
M
H
F
E
如图，点
F
是定点， 是不经过点
F
的定直线。
H
是 上任意一点，经过点
H
作 ，线段
FH
的垂直平分线
m
交
MH
于点
M
。拖动点
H
，观察点
M
的轨迹。你能发现点
M
满足的几何条件吗？
定
·
·
F
M
H
定点
F
叫做抛物线的
焦点
。
平面内与一个定点
F
和一条定直线
（ 不经过点
F
）
的距离相等的点的轨迹叫做
抛物线
。
定直线
叫做抛物线的
准线
。
义
思 考：
F
M
l
H
如何建立适当的直角
坐标系？
根据抛物线的几何特征，取经过点
F
且垂直于直线
l
的直线为
x
轴
,
垂足为
K,
并使原点与线段
KF
的中点重合
.
建立直角坐标系
xoy
。
设
︱KF︱= p
（
p
＞
0
）
,
化简得
y
2
= 2px
（
p
＞
0
）
y
2
= 2px
（
p
＞
0
）
则焦点
F
的坐标为
准线 的方程为
抛物线就是点的集合
P={M||MF|= }
设点
M
（
x
，
y
）是抛物线上任意一点，点
M
到 的距离为 。
所以
F
M
l
H
d
·
·
y
o
x
K
它表示抛物线的焦点在
X
轴的正半轴上
标准方程
其中
P
的几何意义是
:
叫做抛物线的标准方程
方程
y
2
= 2px
（
p
＞
0
）
准线 ：
焦点
F
x
y
o
F
M
l
H
d
K
焦点到准线的距离。
探究：
在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程。那么，抛物线的标准方程有哪些不同的形式？
标准方程的四种形式
图 形
准线方程
焦点坐标
标准方程
y
x
o
﹒
y
x
o
﹒
y
x
o
﹒
y
x
o
﹒
(
1)
一次项的变量如为
x (
或
y)
，则抛物线的焦点就在
x
轴
(
或
y
轴
)
上
.
（
2
）
一次项的系数的正负决定了开口方向
.
小试身手：
根据下列条件写出抛物线的标准方程：
y
x
o
﹒
﹒
y
x
o
y
x
o
﹒
y
x
o
﹒
y
2
=4x
y2 = -4x
x2 =4y
x2 = -4y
例
1
、
（
1
）已知抛物线的标准方程是
y
2
= 6x
，
求它的焦点坐标和准线方程；
y
x
o
﹒
解：由方程知：
p=3
注
:
已知抛物线的标准方程，可求
p,
并能判断焦点位置，进而求焦点坐标或准线方程
.
∴焦点坐标是
∴准线方程是
例
1
、
(2)
已知抛物线的方程是
y =
-
6x
2
,
求它的焦点坐标和准线方程；
解：原方程可化为：
y
x
o
﹒
注
:
若已知的抛物线方程不是标准方程
,
要先转化为标准方程
.
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
练一练：
（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
4
）
方程
准线方程
焦点坐标
a>0
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