7.5三角形内角和定理（2）.ppt

三角形外角定义 : 三角形的一边与另一边 的延长线所组成的角 , 叫做三角形的 外角 . 特征 : ( 1 ). 顶点在三角形的一个顶点上 . ( 2 ). 一条边是三角形的一边 . ( 3 ). 另一条边是三角形某条边的延长线 . 实际上三角形的一个外角 , 就是三角形一个内角的 邻补角 自主预习 如图 . ∠1 是△ ABC 的一个外角 , ∠1 与图中的其它角有什么关系 ? ∠ 1+∠4=180 0 ∠1>∠2 ，∠ 1>∠3 ∠1=∠2+∠3. 证明 :∵∠2+∠3+∠4=180 0 ( 三角形内角和定理 ), ∠1+∠4=180 0 ( 平角的意义 ), ∴∠1= ∠2+∠3.( 等量代换 ). ∴ ∠1>∠2,∠1>∠3( 和大于部分 ). A B C D 1 2 3 4 能证明你的结论吗 ? 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 . 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 . 三角形内角和定理的推论 : 推论 1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 . 推论 2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 . A B C D 1 2 3 4 在这里 , 我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理 . 像这样 , 由一个公理或定理直接推出的定理 , 叫做这个公理或定理的 推论 . 推论可以当作定理使用 . 推论 三角形内角和定理的推论 : 推论 1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 . 推论 2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 . △ ABC 中 : ∠1=∠2+∠3; ∠1>∠2,∠1>∠3. A B C D 1 2 3 4 这个结论以后可以直接运用 . 推论 例 2 已知 : 如图，在△ ABC 中 , AD 平分外角∠ EAC,∠B=∠C. 求证： AD∥BC. 证明： ∵∠ EAC=∠B+∠C ( 三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和 ) ∠B=∠C ( 已知 ) ∴∠C= ∠EAC ( 等式性质 ) ∴∠ DAC=∠C ( 等量代换 ) ∴ a∥b ( 内错角相等 , 两直线平行 ). A C D B E ∵ AD 平分∠ EAC ( 已知 ) ∴∠DAC= ∠EAC ( 角平分线的定义 ) 例题是运用了定理“ 内错角相等 , 两直线平行 ”得到了证实 . 还有其它方法吗？ 想一想： 对于例 2 ，你还有其它证明方法吗？ A C D B E 例 2 已知 : 如图 6-13, 在△ ABC 中 ,AD 平分外角∠ EAC,∠B= ∠C. 则 AD∥BC. 请说明理由 . ∠ DAC=∠C ( 已证 ), ∵ ∠ BAC+∠B+∠C =180 0 ( 三角形内角和定理 ). ∴ ∠ BAC+∠B+∠DAC =180 0 ( 等量代换 ). ∴ AD∥BC ( 同旁内角互补 , 两直线平行 ). 这里是运用了“ 同旁内角互补 , 两直线平行 ”得到了证实 . 解 : 由解法 1 可得 : 讲授新课 例 3 已知如图， P 是 △ABC 内一点，连接 PB,PC. 求证： ∠BPC ＞ ∠A A B C P D 证明：延长 BP ，交 AC 于 D ∵ ∠ BPC 是 △ PDC 的一个外角 ( 外角定义） ∴ ∠BPC ＞ ∠PDC （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∵ ∠ PDC 是 △ ABD 的一个外角（ 外角定义） ∴ ∠PDC ＞ ∠A （ 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠BPC ＞ ∠A （不等式的性质） 讲授新课 这节课你学习了哪些知识？ 1 、外角的概念 2 、外角的推论 3 、利用外角解决相关问题 课堂小结 1 、已知 : 如图所示 , 在△ ABC 中 , 外角∠ DCA=100°,∠A=45°. 求 :∠B 和∠ ACB 的大小 . A B C D 解 :∵ ∠DCA 是△ ABC 的一个外角 ( 已知 ), ∠ DCA=100°( 已知 ), ∴ ∠ B=100°-45°=55°.( 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ). 又∵ ∠ DCA+∠BCA=180°( 平角意义 ). ∴ ∠ ACB=80°( 等式的性质 ). ∠ A=45°( 已知 ), 随堂练习 2 、已知：如图所示 . 求证： ( 1 ) ∠BDC>∠A ； (2)∠BDC=∠A+∠B+∠C. B C A D E 证明： ( 1)∵∠ BDC 是△ DCE 的一个外角 ( 外角定义 ) ∴∠BDC>∠CED ( 三角形的一个外角大于 和它不相邻的任何一个外角 ) ∵∠DEC 是△ ABE 的一个外角 ( 外角定义 ) ∴∠DEC>∠A ( 三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角 ) ∴∠BDC>∠A ( 不等式的性质 ) 随堂练习 3 、已知 : 如图 , 在△ ABC 中 , ∠1 是它的一个外角 , E 为边 AC 上一点 , 延长 BC 到 D, 连接 DE. 则 ∠ 1>∠2, 请说明理由 . 解 :∵ ∠1 是△ ABC 的一个外角 ( 已知 ), ∴ ∠ 1>∠3( 三角形的一个外角大于和与 它不相邻的任何一个内角 ). ∵∠ 3 是△ CDE 的一个外角 ( 外角定义 ). ∴∠ 3>∠2( 三角形的一个外角大于和与 它不相邻的任何一个内角 ). ∴ ∠ 1>∠2( 不等式的性质 ). C A B F 1 3 4 5 E D 2 随堂练习 作业： 习题 7.7 2 、 3 题 人生的价值，并不是用时间，而是用深度去衡量的。 —— 列夫 · 托尔斯泰 结束语