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第一 章 三角形 的证明 1. 等腰三角形 (1)—— 等腰三角形的性质 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点一 　 三角形全等的证明 (1) 定理 : 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 ( 简称 “AAS”) . (2) 根据全等三角形的定义可以得到 : 全等三角形的对应边相等、对应角相等 . 拓展归纳 三角形全等的判定定理 “AAS” 是由定理 “ASA” 推导出来的 , 不要误认为是 “ 两角和一边对应相等 ”, 必须是两角和其中一角的对边对应相等 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 例 1 　 如图所示 , 分别过点 C , B 作 △ ABC 的 BC 边上的中线 AD 及其延长线的垂线 , 垂足分别为 E , F. 求证 : BF=CE. 分析 : 通过 △ BFD ≌ △ CED 可以得到 BF=CE. △ BFD ≌ △ CED 需要条件 ∠ DEC= ∠ DFB , ∠ EDC= ∠ FDB , BD=CD. 证明 : ∵ FB ⊥ AF , CE ⊥ AF , ∴ ∠ BFD= ∠ CED= 90 ° . 在 △ BFD 和 △ CED 中 , ∵ ∠ BDF= ∠ CDE ( 对顶角相等 ), ∠ BFD= ∠ CED , BD=CD , ∴ △ BDF ≌ △ CDE (AAS) . ∴ BF=CE ( 全等三角形的对应边相等 ) . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点二 　 等腰三角形的性质定理 定理 : 等腰三角形的两底角相等 . 这个定理简称为等边对等角 . 拓展归纳 等腰三角形的性质定理 “ 等边对等角 ” 只有相等的两条边在同一个三角形中才能运用 ; 若相等的两条边不在同一个三角形中则不能用 . “ 等边对等角 ” 是证明两个角相等的一个重要定理 . 例 2 　 如图所示 , 在 △ ABC 中 , AB=AC , 点 D 在 BC 上 , 且 BD=AD , DC=AC , 求 ∠ B 的度数 . 分析 : 首先根据给出的线段相等 , 发现图中的等腰三角形 △ ABC , △ ACD , △ ABD , 由 “ 等边对等角 ” 得出相等的角 , 进而利用 “ 三角形内角和等于 180 ° ” 列方程求解 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 解 : 设 ∠ B 的度数为 x. ∵ AB=AC , ∴ ∠ C= ∠ B=x. ∵ AD=BD , ∴ ∠ B= ∠ DAB=x. ∴ ∠ ADC= ∠ B+ ∠ DAB= 2 x. ∵ AC=CD , ∴ ∠ ADC= ∠ CAD= 2 x. 在 △ ACD 中 , ∠ CAD+ ∠ ADC+ ∠ C= 180 ° , ∴ 2 x+ 2 x+x= 180 ° , 解得 x= 36 ° . ∴ ∠ B 的度数是 36 ° . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点三 　 等腰三角形性质定理的推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 . 这条性质通常称为等腰三角形的 “ 三线合一 ” . 拓展归纳 (1) 根据等腰三角形的 “ 三线合一 ” 可知 , 等腰三角形是轴对称图形 , 底边上的中线 ( 或顶角的平分线或底边上的高 ) 所在的直线是它的对称轴 . (2) 运用 “ 三线合一 ” 的前提条件是等腰三角形 . 已知其中的 “ 一线 ” 就可以推出另外 “ 二线 ” 所具有的性质 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 例 3 　 如图所示 , 在 △ ABC 中 , AB=AC , 点 D , E 都在 BC 上 , 且 AD=AE. 求证 : BD=CE . 分析 : 证明 : 如 图 , 作 AF ⊥ BC 于点 F , 则 AF ⊥ DE. ∵ AB=AC , AF ⊥ BC , ∴ BF=CF ( 三线合一 ) . ∵ AD=AE , AF ⊥ DE , ∴ DF=EF ( 三线合一 ) . ∴ BF-DF=CF-EF , 即 BD=CE. 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点四 　 等边三角形的性质定理 定理 : 等边三角形的三个内角都相等 , 并且每个角都等于 60 ° . 拓展归纳 等边三角形是特殊的等腰三角形 , 它具有等腰三角形的性质 . 由等腰三角形的性质 “ 等边对等角 ” 可以推出 “ 等边三角形的三个内角都相等 ”; 结合三角形的内角和等于 180 ° , 进一步得到 “ 并且每个角都等于 60 ° ” . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 例 4 　 如图 , 点 P , Q 是 △ ABC 的边 BC 上的两点 , 且 BP=PQ=QC=AP=AQ , 求 ∠ BAC 的度数 . 分析 : 由 AP=AQ=PQ 知 △ APQ 是等边三角形 , 得到 ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 = 60 ° . 由 BP=AP 知 △ ABP 是等腰三角形 ; 再结合三角形外角的性质即可求出 ∠ BAC 的度数 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 解 : ∵ PQ=AP=AQ , ∴ ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 = 60 ° ( 等边三角形的每个角都等于 60 ° ) . ∵ BP=AP , ∴ ∠ B= ∠ BAP ( 等边对等角 ) . ∵ ∠ 1 = ∠ B+ ∠ BAP= 2 ∠ BAP= 60 ° , ∴ ∠ BAP= 30 ° . 同理 ∠ CAQ= 30 ° . ∴ ∠ BAC= ∠ BAP+ ∠ 3 + ∠ CAQ = 30 ° + 60 ° + 30 ° = 120 ° . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 拓展点一 拓展点二 拓展点一 　 等腰三角形特殊性质的证明 例 1 　 求证 : 等腰三角形两腰上的高的交点到底边两端的距离相等 . 分析 : 先根据题意画出图形 , 结合图形写出已知和求证 , 然后根据已知和图形进行证明 . 可根据等腰三角形的性质得出相关的等角或相等的线段 : ∠ ABC= ∠ ACB , ∠ CEB= ∠ BDC , BC=CB , 所以通过证 △ CBE ≌ △ BCD , △ EBO ≌ △ DCO , 得到 OB=OC. 即等腰三角形两腰上的高的交点到底边两端的距离相等 . 已知 : 如图 , 在 △ ABC 中 , AB=AC , CE ⊥ AB 于点 E , BD ⊥ AC 于点 D , CE , BD 交于点 O , 求证 : OB=OC. 拓展点一 拓展点二 证明 : ∵ AB=AC , ∴ ∠ ABC= ∠ ACB. ∵ CE ⊥ AB , BD ⊥ AC , ∴ ∠ CEB= ∠ BDC= 90 ° . 又 BC=CB , ∴ △ CBE ≌ △ BCD. ∴ BD=CE , ∠ ECB= ∠ DBC , BE=CD. ∴ ∠ EBO= ∠ DCO. ∴ △ EBO ≌ △ DCO. ∴ OB=OC , 即等腰三角形两腰上的高的交点到底边两端的距离相等 . 拓展点一 拓展点二 拓展点一 拓展点二 拓展点二 　 等边三角形与三角形全等的综合题 例 2 　 如图 , 已知 △ ABC 和 △ ADE 都是等边三角形 , 连接 CD , BE. 求证 : CD=BE. 分析 : 利用等边三角形的三边相等和各角都是 60 ° , 证 △ ADC ≌ △ AEB , 即可得到结论 . 证明 : ∵ △ ABC 和 △ ADE 都是等边三角形 , ∴ AB=AC , AE=AD , ∠ DAE= ∠ CAB. ∵ ∠ DAE- ∠ CAE= ∠ CAB- ∠ CAE , ∴ ∠ DAC= ∠ EAB. 在 △ ADC 和 △ AEB 中 , AD=AE , ∠ DAC= ∠ EAB , AC=AB , ∴ △ ADC ≌ △ AEB. ∴ CD=BE. 拓展点一 拓展点二 P2 想一想 已知 : 如图 , △ ABC 与 △ DEF 中 , ∠ A= ∠ D , ∠ B= ∠ E , AC=DF. 求证 : △ ABC ≌ △ DEF . 证明 ∵ ∠ A= ∠ D , ∠ B= ∠ E , ∠ A+ ∠ B+ ∠ C= 180 ° , ∠ D+ ∠ E+ ∠ F= 180 ° , ∴ ∠ C= ∠ F. ∴ △ ABC ≌ △ DEF . P3 问题 答案 有 . 如图所示 , 作等腰 △ ABC 的顶角平分线 AD. ∵ AB=AC , ∠ BAD= ∠ CAD ( 已作 ), AD=AD , ∴ △ ABD ≌ △ ACD (SAS) . ∴ ∠ B= ∠ C ( 全等三角形的对应角相等 ) . P3 随堂 练习 (2) ∠ A= 180 ° - 2 × ∠ B= 180 ° - 2 × 72 ° = 180 ° - 144 ° = 36 ° . 2 . (1) 证明 ∵ AC ⊥ BD , ∴ ∠ ACB= ∠ ACD= 90 ° . ∴ Rt △ ACB ≌ Rt △ ACD. ∴ AB=AD ( 全等三角形的对应边相等 ), ∴ △ ABD 是等腰三角形 . (2) 解 由 (1) 得 Rt △ ACB ≌ Rt △ ACD , 且 AC=BC=CD , ∴ △ ACB 和 △ ACD 都是等腰直角三角形 , ∴ ∠ B= ∠ D= 45 ° . 在 △ ABD 中 , ∠ BAD= 180 ° - ∠ B- ∠ D= 180 ° - 45 ° - 45 ° = 90 ° . 习题 1 . 1 1 . 解 已知 　 已知 　 公共边 　 SSS 　 全等三角形的对应角相等 2 . 证明 ∵ BE=CF , ∴ BE+EC=CF+EC , ∴ BC=EF. ∴ △ ABC ≌ △ DEF (SSS), ∴ ∠ A= ∠ D ( 全等三角形的对应角相等 ) . 3 . 解 ∵ AB=AC , AD ⊥ BC , ∴ AD 平分 ∠ BAC ( 三线合一 ) . ∴ ∠ BAD= 54 ° . 4 . 解 ∠ ABC= ∠ ACB , ∠ ABE= ∠ ACE , ∠ EBD= ∠ ECD , ∠ BAD= ∠ CAD , ∠ ADB= ∠ ADC , ∠ AEB= ∠ AEC , ∠ BED= ∠ CED. 理由 : ∵ AD ⊥ BC , ∴ ∠ ADB= ∠ ADC= 90 ° . ∵ AB=AC , ∴ ∠ ABC= ∠ ACD. ∴ ∠ BAD= ∠ CAD ( 三线合一 ) . ∴ △ ABE ≌ △ ACE. ∴ ∠ ABE= ∠ ACE. ∴ ∠ AEB= ∠ AEC. ∴ ∠ ABC- ∠ EBD= ∠ ACD- ∠ ECD. ∴ ∠ EBD= ∠ ECD. ∵ ∠ AED- ∠ AEB= ∠ AED- ∠ AEC , ∴ ∠ BED= ∠ CED. 5 . 这两个三角形全等 　 提示 本题应先画出图形 , 写出 “ 已知 ”“ 求证 ”, 设这两个三角形分别为 △ ABC 和 △ A'B'C' , 其中 AB=AC , A'B'=A'C' , ∠ A= ∠ A' , BC=B'C' , 由 ∠ A= ∠ A' , 可以证明 ∠ B= ∠ B' , ∠ C= ∠ C' , 从而 △ ABC ≌ △ A'B'C' (ASA) . 6 . 解 BD 与 CE 相等 . 理由如下 : ∵ AB=AC , ∴ ∠ B= ∠ C. ∵ AD=AE , ∴ ∠ ADE= ∠ AED. ∴ 180 ° - ∠ ADE= 180 ° - ∠ AED , ∴ ∠ ADB= ∠ AEC. ∴ △ ABD ≌ △ ACE (AAS) . ∴ BD=CE ( 全等三角形的对应边相等 ) . P5 问题 答案 等腰三角形两腰上的中线相等 , 高也相等 . 其他结论 : 两腰上的中线与其底边的夹角相等 , 两腰上的高与其底边的夹角也相等 …… (1) 已知 : 如图 (1) 所示 , 在 △ ABC 中 , AB=AC , BD , CE 分别是边 AC , AB 上的中线 . 求证 : BD=CE. 证明 ∵ BD , CE 分别是边 AC , AB 上的中线 , ∵ AB=AC , ∴ BE=CD , ∠ ABC= ∠ ACB. 又 ∵ BC=CB , ∴ △ BCE ≌ △ CBD (SAS) . ∴ BD=CE ( 全等三角形的对应边相等 ) . 图 (1 ) (2) 已知 : 在 △ ABC 中 , AB=AC , BD , CE 分别是边 AC , AB 上的高 . 求证 : BD=CE. 证明 ( 方法一 ) 如图 (2) 所示 , 当 △ ABC 为锐角三角形时 , ∵ AB=AC , ∴ ∠ ABC= ∠ ACB ( 等边对等角 ) . ∵ CE ⊥ AB 于点 E , BD ⊥ AC 于点 D , ∴ ∠ BEC= ∠ CDB= 90 ° . 又 ∵ BC=CB , ∴ △ BCE ≌ △ CBD (AAS) . ∴ BD=CE ( 全等三角形的对应边相等 ) . 当 △ ABC 为直角三角形、钝角三角形时亦可证得此结论成立 . ∴ BD=CE . 图 (2 ) (3) 已知 : 如图 (1) 所示 , 在 △ ABC 中 , AB=AC , BD , CE 分别是边 AC , AB 上的中线 . 求证 : ∠ DBC= ∠ ECB. 证明 ∵ AB=AC , ∴ ∠ ABC= ∠ ACB ( 等边对等角 ) . 又 ∵ BC=CB , ∴ △ BCE ≌ △ CBD (SAS) . ∴ ∠ DBC= ∠ ECB ( 全等三角形的对应角相等 ) . (4) 已知 : 在 △ ABC 中 , AB=AC , BD , CE 分别是边 AC , AB 上的高 . 求证 : ∠ DBC= ∠ ECB. 证明 如图 (2) 所示 , 当 △ ABC 为锐角三角形时 . ∵ BD ⊥ AC , CE ⊥ AB , ∴ ∠ BDC= ∠ CEB= 90 ° . 又 ∵ AB=AC , ∴ ∠ ACB= ∠ ABC ( 等边对等角 ) . 又 ∵ ∠ DBC= 90 ° - ∠ ACB , ∠ ECB= 90 ° - ∠ ABC , ∴ ∠ DBC= ∠ ECB. 当 △ ABC 为直角三角形、钝角三角形时亦可证得此结论成立 . P5 议一议 (1) BD=CE , BD=CE. (2) BD=CE , BD=CE . P6 随堂练习 1 . 解 ∵ △ ABC 是等边三角形 , ∴ ∠ BAC= 60 ° . ∵ AD , BE 是 △ ABC 的中线 , ∴ ∠ BEA= 90 ° . 在 △ AOE 中 , ∠ AOE= 180 ° - ∠ DAC- ∠ AEB= 180 ° - 30 ° - 90 ° = 60 ° . 2 . 解 ∵ D , E 是 BC 的三等分点 , ∴ BD=DE=EC. ∵ △ ADE 是等边三角形 , ∴ ∠ ADE= ∠ AED= ∠ DAE= 60 ° , AE=AD=DE. ∴ BD=DA. ∴ 在 △ ABC 中 , ∠ BAC= 180 ° - ∠ B- ∠ C= 180 ° - 30 ° - 30 ° = 120 ° , ∴ ∠ BAC= 120 ° . 习题 1 . 2 1 . 解 设 ∠ A=x ° . ∵ AB=AC , ∴ ∠ ABC= ∠ C. ∵ BD 平分 ∠ ABC , ∴ ∠ 1 = ∠ 2 . ∵ BD=BC , ∴ ∠ 3 = ∠ C= ∠ ABC. ∠ ABC= ∠ 3 = ∠ 1 + ∠ A= ∠ 2 + ∠ A= 2 x ° = ∠ C , ∠ A= ∠ 1 = ∠ 2 =x ° . 在 △ ABC 中 , ∠ A+ ∠ ABC+ ∠ C= 180 ° , x+ 2 x+ 2 x= 180, x= 36, ∴ ∠ A= 36 ° . 2 . 证明 ∵ AB=AC , ∴ ∠ B= ∠ C. 又 ∵ AE=AF , ∴ AB-AE=AC-AF. ∴ BE=CF. ∵ D 为 BC 的中点 , ∴ BD=DC. ∴ △ EDB ≌ △ FDC , ∴ DE=DF ( 全等三角形的对应边相等 ) . 3 . 证明 在等边 △ ABC 中 , ∠ A= ∠ ACB= 60 ° , AB=BC. ∴ △ ADC ≌ △ CEB (SAS) . ∴ CD=BE ( 全等三角形的对应边相等 ) . 4 . (1) 证明 连接 AC. ∵ AB=AD , BC=DC , AC=AC , ∴ △ ABC ≌ △ ADC (SSS) . ∴ ∠ B= ∠ D ( 全等三角形的对应角相等 ) . ∵ E , F 为 AB , AD 中点 , ∵ BC=DC , ∠ B= ∠ D , ∴ △ CBE ≌ △ CDF (SAS) . ∴ CE=CF ( 全等三角形的对应边相等 ) . (3) 如 ∠ BCE= ∠ DCF 等 .