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1. 等腰三角形 (2)—— 等腰三角形的判定 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点一 　 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理 : 有两个角相等的三角形是等腰三角形 . 这一定理可以简述为 : 等角对等边 . 拓展归纳 (1) 判定一个三角形是等腰三角形还可以用等腰三角形的定义 , 即 “ 有两条边相等的三角形是等腰三角形 ” . (2)“ 等边对等角 ” 与 “ 等角对等边 ” 的区别 :“ 等边对等角 ” 是等腰三角形的一个性质 , 即因为有了两条边相等 , 进而得到两个角相等 ;“ 等角对等边 ” 是等腰三角形的一种判定依据 , 即因为有了两个角相等 , 进而可以判定这两个角所对的边相等 , 所以这个三角形是等腰三角形 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 例 1 　 如图所示 , 在 △ ABC 中 , AB=AC , DE ∥ BC , 交 AB 于点 D , 交 AC 于点 E. 求证 : △ ADE 是等腰三角形 . 分析 : ∠ ADE= ∠ AED → AD=AE → △ ADE 也是等腰三角形 . 证明 : ∵ AB=AC , ∴ ∠ B= ∠ C. ∵ DE ∥ BC , ∴ ∠ ADE= ∠ B , ∠ AED= ∠ C. ∴ ∠ ADE= ∠ AED. ∴ AD=AE. ∴ △ ADE 是等腰三角形 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点二 　 反证法 先假设命题的结论不成立 , 然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果 , 从而证明命题的结论一定成立 . 这种证明方法称为反证法 . 拓展归纳 用反证法证明的一般步骤 : (1) 假设命题的结论不成立 ; (2) 从这个假设出发 , 应用正确的推理方法 , 得出与定义、基本事实、已证定理或已知条件相矛盾的结果 ; (3) 由矛盾的结果判定假设不正确 , 从而肯定命题的结论正确 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 例 2 　 求证 : 若两条直线都与第三条直线平行 , 则这两条直线也平行 . 分析 : 此题由于已知条件较少 , 可考虑用反证法证明 . 已知 a ∥ b , b ∥ c , 求证 : a ∥ c. 证明 : 假设 直线 a 不平行于直线 c , 则直线 a 与直线 c 相交于点 P , 如图所示 . 又 a ∥ b , b ∥ c , 则过点 P 作了两条直线与已知直线 b 平行 . 这与 “ 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾 ” . 因此 , 假设是错误的 . 所以 a ∥ c. 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点三 　 等边三角形的判定 定理 1: 三个角都相等的三角形是等边三角形 . 定理 2: 有一个角等于 60 ° 的等腰三角形是等边三角形 . 拓展归纳 (1) 定理 1 是由等腰三角形的判定 “ 等角对等边 ” 推出来的 , 运用时要注意是三个角都相等 , 不是两个角相等 . (2) 定理 2 中的一个角是 60 ° , 可以说是顶角为 60 ° , 也可以说是底角为 60 ° . (3) 等边三角形的判定方法有 3 种 , 即定义和 2 个判定定理 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 例 3 　 如图 , 延长 △ ABC 的各边 , 使得 BF=AC , AE=CD=AB , 顺次连接 D , E , F , 得到的 △ DEF 为等边三角形 . (1) 求证 : △ AEF ≌ △ CDE ; (2) 求证 : △ ABC 是等边三角形 . 分析 : (1) 需要根据 AE=AB , AC=BF , 证出 AF=CE. 再结合已知条件即可证出 △ AEF ≌ △ CDE. (2) 由 (1) 中的三角形全等 , 可得出 ∠ FEA= ∠ EDC , 再结合 △ DEF 是等边三角形 , 可知 ∠ DEF= 60 ° , 从而得出 ∠ ACB= 60 ° , 同理可得 ∠ BAC= 60 ° , 那么 ∠ ABC= 60 ° . 因而 △ ABC 是等边三角形 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 证明 : (1) ∵ BF=AC , AB=AE , ∴ AF=CE. ∵ △ DEF 是等边三角形 , ∴ EF=DE. 又 AE=CD , ∴ △ AEF ≌ △ CDE. (2) 由 △ AEF ≌ △ CDE , 得 ∠ FEA= ∠ EDC. ∵ ∠ BCA= ∠ EDC+ ∠ DEC= ∠ FEA+ ∠ DEC= ∠ DEF , △ DEF 是等边三角形 , ∴ ∠ DEF= 60 ° , ∴ ∠ ACB= 60 ° . 由 △ AEF ≌ △ CDE , 得 ∠ EFA= ∠ DEC , ∵ ∠ DEC+ ∠ FEC= 60 ° , ∴ ∠ EFA+ ∠ FEC= 60 ° . ∴ ∠ BAC= ∠ EFA+ ∠ FEC= 60 ° . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 ∴ ∠ BAC= ∠ ACB. ∴ ∠ ABC= 60 ° . ∴ △ ABC 是等边三角形 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点四 　 含 30 ° 角的直角三角形的性质 定理 : 在直角三角形中 , 如果一个锐角等于 30 ° , 那么它所对的直角边等于斜边的一半 . 拓展归纳 这个定理的使用前提是 “ 在直角三角形中 ”, 只知道三角形中有一个角为 30 ° , 不能得到 “ 这个角所对的边等于另一边的一半 ” . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 例 4 　 如图 , 在 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90 ° , AD 平分 ∠ BAC , 并且 AD=BD. 求证 : AC= AB. 分析 : 证明 AC= AB 的关键是证明 ∠ B= 30 ° . 由角平分线的定义及直角三角形的两锐角互余推出 ∠ B= 30 ° . 证明 : ∵ AD=BD , ∴ ∠ B= ∠ BAD. 又 AD 平分 ∠ BAC , ∴ ∠ BAC= 2 ∠ BAD= 2 ∠ B. ∵ ∠ C= 90 ° , ∴ ∠ BAC+ ∠ B= 90 ° . ∴ ∠ B= 30 ° . ∴ AC= AB . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 拓展点一 拓展点二 拓展点一 　 角平分线 + 平行线 → 等腰三角形 例 1 　 如图 , 已知 ∠ ABC , ∠ ACB 的平分线交于点 F , 过点 F 作 DE ∥ BC , 交 AB 于点 D , 交 AC 于点 E . (1) 求证 : BD+EC=DE ; (2) 若 AB= 15, AC= 12, 求 △ ADE 的周长 . 分析 : 由 DE ∥ BC , BF 平分 ∠ ABC , 可以推出 △ BDF 是等腰三角形 ; 同理 △ CEF 是等腰三角形 . 同时注意周长的转化 , 进而使问题获解 . 拓展点一 拓展点二 (1) 证明 : ∵ DE ∥ BC , ∴ ∠ DFB= ∠ CBF. ∵ BF 平分 ∠ ABC , ∴ ∠ ABF= ∠ CBF. ∴ ∠ ABF= ∠ DFB. ∴ BD=DF. 同理 EF=CE. ∴ BD+EC=DF+EF , 即 BD+EC=ED. (2) 解 : △ ADE 的周长为 : AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE =AB+AC= 15 + 12 = 27 . 拓展点一 拓展点二 拓展点一 拓展点二 拓展点二 　 构造含 30 ° 角的直角三角形解决问题 例 2 　 如图 , 在 △ ABC 中 , BD 是 AC 边上的中线 , DB ⊥ BC 于点 B , ∠ ABC= 120 ° . 求证 : AB= 2 BC . 分析 : 拓展点一 拓展点二 证明 : 如图 , 延长 BD 到点 E , 使 DE=BD , 连接 AE. ∵ DB ⊥ BC , ∴ ∠ CBD= 90 ° . ∵ BD 是 AC 边上的中线 , ∴ AD=DC. ∴ △ AED ≌ △ CBD (SAS) . ∴ EA=BC , ∠ AEB= ∠ CBD= 90 ° . ∵ ∠ ABC= 120 ° , ∠ CBD= 90 ° , ∴ ∠ ABD= 30 ° . ∴ BC= AB . ∴ AB= 2 BC. 拓展点一 拓展点二 P8 问题 解 如 图所示 , 过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D , 则 ∠ ADB= ∠ ADC= 90 ° . ∴ △ ABD ≌ △ ACD (AAS), ∴ AB=AC , ∴ 有两个角相等的三角形是等腰三角形 . P9 随堂练习 1 . 解 △ BDE 是等腰三角形 . 理由如下 : ∵ BD 平分 ∠ ABC , ∴ ∠ ABD= ∠ DBC. ∵ DE ∥ BC , ∴ ∠ DBC= ∠ EDB. ∴ ∠ EBD= ∠ EDB. ∴ BE=DE. ∴ △ BDE 是等腰三角形 . 习题 1 . 3 1 . 证明 ∵ AD ∥ BC ( 已知 ), ∴ ∠ 1 = ∠ B ( 两直线平行 , 同位角相等 ), ∠ 2 = ∠ C ( 两直线平行 , 内错角相等 ) . ∵ ∠ 1 = ∠ 2( 已知 ), ∴ ∠ B= ∠ C. ∴ AB=AC ( 等角对等边 ) . 2 . 证明 ∵ AB=AC , ∴ ∠ B= ∠ C ( 等边对等角 ) . ∵ EP ⊥ BC , ∴ ∠ B+ ∠ BFP= 90 ° , ∠ E+ ∠ C= 90 ° , ∴ ∠ BFP= ∠ CEP. ∴ ∠ AEF= ∠ AFE. ∴ AE=AF ( 等角对等边 ) . ∴ △ AEF 是等腰三角形 . 3 . 提示 (1) 分两种情况讨论 . 作法 : 当 ∠ α 为顶角时 , ① 作 ∠ MON= ∠ α ; ② 在 OM , ON 上分别截取 OA=OB=a ; ③ 连接 AB , 得 △ AOB 为所求 ( 图略 ) . 当 ∠ α 为底角时 , ① 作线段 BC=a ; ② 分别以 B , C 为顶点 , BC 为一边在 BC 同侧作 ∠ ABC= ∠ ACB= ∠ α , 边 BA , AC 交于一点 A , 得 △ ABC 为所求 ( 图略 ) . (2) 此时 ∠ α 只能为顶角 . 作法 : ① 作 ∠ MON= ∠ α ; ② 在 OM , ON 上分别截取 OA=OB=a ; ③ 连接 AB , 得 △ AOB 为所求 ( 图略 ) . 4 . 解 AB= 18 × 10 = 180(kn) . ∵ ∠ NBC= ∠ A+ ∠ C , ∴ ∠ C= ∠ NBC- ∠ A= 84 ° - 42 ° = 42 ° . ∴ ∠ C= ∠ A. ∴ BC=AB= 180(kn) . 答 : 从 B 处到灯塔 C 的距离是 180 kn . P12 随堂练习 解 ∵ CD ⊥ AB , ∠ B= 60 ° , ∴ ∠ BCD= 30 ° . 又 BD= 1, ∴ BC= 2 BD= 2 . ∵ ∠ ACB= 90 ° , ∠ B= 60 ° , ∴ ∠ A= 30 ° , ∴ AB= 2 BC= 4 . ∴ AD=AB-BD= 4 - 1 = 3 . 习题 1 . 4 1 . 证明 ∵ DE ∥ BC , ∴ ∠ ADE= ∠ B , ∠ AED= ∠ C. ∵ △ ABC 为等边三角形 , ∴ ∠ A= ∠ B= ∠ C= 60 ° . ∴ ∠ A= ∠ ADE= ∠ AED= 60 ° . ∴ △ ADE 是等边三角形 . 2 . 解 ∵ 在 Rt △ ABC 中 , ∠ ACB= 90 ° , ∠ A= 30 ° , 答 : BC 的长为 3 . 7 m, DE 的长为 1 . 85 m . 3 . 解 (1) △ DEF 是等边三角形 . ∵ 如图 , △ ABC 是等边三角形 , ∴ ∠ 1 = 60 ° . ∵ BC ∥ EF , ∴ ∠ 1 = ∠ 2 = 60 ° . ∵ AB ∥ DF , ∴ ∠ 2 = ∠ F= 60 ° . 同理 , ∠ E= ∠ D= 60 ° . ∴ △ DEF 是等边三角形 . △ ABE , △ ACF , △ BCD 也都是等边三角形 . 点 A , B , C 分别是 EF , ED , FD 的中点 . 证明 : ∵ EF ∥ BC , ∴ ∠ EAB= ∠ ABC , ∠ FAC= ∠ ACB. ∵ △ ABC 是等边三角形 , ∴ ∠ ABC= ∠ ACB= 60 ° . ∴ ∠ EAB= ∠ FAC= 60 ° . 同理可证 , ∠ EBA= ∠ DBC= 60 ° , ∠ FCA= ∠ DCB= 60 ° . 又 AB=BC=CA , 知 △ ABE ≌ △ BCD ≌ △ CAF ≌ △ ABC , ∴ EA=AF. ∴ A 为 EF 的中点 . 同理知 B , C 分别为 DE , DF 的中点 . (2) ∵ △ DEF 为等边三角形 , ∴ DE=EF=FD , ∠ D= ∠ E= ∠ F= 60 ° . 而 A , B , C 分别为 EF , DE , DF 的中点 , 则 △ AEB , △ BOC , △ CFA 是全等的等边三角形 . ∴ AB=BC=CA . ∴ △ ABC 为等边三角形 . 求证 : ∠ BAC= 30 ° . 证明 : 延长 BC 至点 D , 使 CD=BC , 连接 AD. ∵ ∠ BCA= 90 ° , ∴ ∠ DCA= 90 ° . 又 ∵ BC=CD , AC=AC , ∴ △ ABC ≌ △ ADC. ∴ AB=AD. ∴ △ ABD 为等边三角形 . ∵ AC ⊥ BC , ∴ AC 平分 ∠ BAD. ∴ ∠ BAC= 30 ° . 5 . 解 ∠ ADG= 15 ° . 证明如下 : ∵ 四边形 ABCD 是长方形 , ∴ AB=CD. ∵ AD= 2 AB , ∴ AD= 2 CD. 又 AD=A'D , ∴ A'D= 2 CD. ∵ ∠ A'CD= 90 ° , ∴ ∠ DA'C= 30 ° ( 在直角三角形中 , 如果一条直角边等于斜边的一半 , 那么这条直角边所对的锐角等于 30 ° ) . ∴ ∠ CDA'= 60 ° .