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第二章　方程与不等式 第一节　一次方程 ( 组 ) 知识点一 一元一次方程及其解法 1 ．方程：含有 _______ 的等式叫做方程． 2 ．方程的解：使方程左、右两边的值相等的 _______ 的值，叫做方程的解． 3 ．一元一次方程：只含有 _____ 未知数 ( 元 ) ，未知数 的次数都是 __ ，等号两边都是整式，这样的方程叫做 一元一次方程． 未知数 未知数 一个 1 5 ．解一元一次方程时，目标是把原方程化为 x ＝ c 的形式， 一般步骤为： (1) 去分母； (2) 去括号； (3) 移项； (4) 合并 同类项； (5) 未知数的系数化为 1. 解一元一次方程的实质是利用等式的基本性质将方程两 边进行恒等变形． 知识点二 二元一次方程 ( 组 ) 及其解法 1 ．二元一次方程：含有 _____ 未知数，并且含有未知数 的项的次数都是 __ ，像这样的方程叫做二元一次方程． 两个 1 2 ．二元一次方程组：方程组中有两个未知数，含有每个 未知数的项的次数都是 1 ，并且一共有两个方程，像这样 的方程组叫做二元一次方程组． 3 ．二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的 两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 方程组的解肯定是每个方程的解，每个方程的解不一定 是方程组的解． 4 ．二元一次方程组的解法 解二元一次方程组的主要思路是消元，即把两个未知数转 化为一个未知数，主要方法有代入消元法和加减消元法． 在解方程组时，分情况选择消元法能有效提高解题效率． 一般当方程中某个未知数的系数为 1 或－ 1 时，或者常数项 为 0 时，选择代入消元法较为合适；否则，选择加减消元 法． 知识点三 一次方程 ( 组 ) 的应用 1 ．用一次方程 ( 组 ) 解决日常生活中的行程问题、工程问 题、营销中的利润问题、储蓄问题、折扣问题和其他一些 常见问题． 2 ．列方程 ( 组 ) 解应用题的一般步骤： (1) 审，即审清题 意，分清题中的已知量和未知量； (2) 设，即设出关键未 知数； (3) 列，即找出题干中的等量关系，列方程 ( 组 ) ； (4) 解，即解方程 ( 组 ) ； (5) 验，即检验结果是否正确或 是否有实际意义； (6) 答，回归题中，规范作答． 考点一 一元一次方程的解法 (5 年 0 考 ) 　 【 分析 】 通过去分母、去括号、移项、合并同类项、 系数化为 1 这几个步骤解方程． 【 自主解答 】 去分母，得 2x － 3(30 － x) ＝ 60 ， 去括号，得 2x － 90 ＋ 3x ＝ 60 ， 移项、合并同类项，得 5x ＝ 150 ， 系数化为 1 ，得 x ＝ 30. 讲：解一元一次方程的易错点 (1) 根据分数的基本性质把分母转化为整数时，不含分 母的项漏乘； (2) 去分母时漏乘不含分母的项，去分母后分子忘记加括号； (3) 去括号时漏乘或弄错符号； (4) 移项时不变号； (5) 系数化为 1 时弄错符号或分子、分母颠倒． 练：链接变式训练 1 2 ． (2017· 武汉 ) 解方程： 4x － 3 ＝ 2(x － 1) ． 考点二 二元一次方程组的解法 (5 年 1 考 ) 【 分析 】 利用加减消元法分析即可． 【 自主解答 】 消去 x ，可以将① ×( － 5) ＋② ×2. 故选 D. 当方程中有一个未知数的系数为 1 或－ 1 时，一般采用代 入消元法；当两个方程中的某个未知数的系数相同或互 为相反数，或者存在倍数关系时，一般采用加减消元法． 另外，要关注所求与已知之间的关系，注意整体思想的 应用． 4 ． (2017· 邯郸二模 ) 已知 |x ＋ y ＋ 2| ＋ (x － y － 2) 2 ＝ 0 ， 则 x 2 － y 2 ＝ ____ ． － 4 考点 三 一次方程 ( 组 ) 的应用 (5 年 0 考 ) 命题角度❶　一元一次方程的应用 (2017· 邢台模拟 ) 小明买书需用 34 元钱，付款时 恰好用了 1 元和 5 元的纸币共 10 张，设所用的 1 元纸币 为 x 张，根据题意，下面所列方程正确的是 ( ) A ． x ＋ 10( x － 50) ＝ 34 B ． x ＋ 5(10 － x ) ＝ 34 C ． x ＋ 5( x － 10) ＝ 34 D ． 5 x ＋ (10 － x ) ＝ 34 【 分析 】 设所用的 1 元纸币为 x 张，则 5 元的纸币 (10 － x ) 张，根据题意可得方程． 【 自主解答 】 设所用的 1 元纸币为 x 张，则 5 元的纸 币 (10 － x ) 张，根据题意得 x ＋ 5(10 － x ) ＝ 34. 故选 B. 利用一元一次方程解决问题时，关键是把已知量和未知 量联系起来，找出题目中的数量关系，并根据题意或生 活实际建立等量关系． 5 ． (2017· 路北区二模 ) 小明原有 300 元， 如图记录了他今天所有支出，其中饼干支 出的金额被涂黑．若每包饼干的售价为 13 元，则小明可能剩下 ( ) A ． 4 元 B ． 14 元 C ． 24 元 D ． 34 元 B 6 ． (2017· 滨州 ) 某车间有 27 名工人，生产某种由一个螺栓 套两个螺母的产品，每人每天生产螺母 16 个或螺栓 22 个．若 分配 x 名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生 产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是 ( ) A ． 22x ＝ 16(27 － x) B ． 16x ＝ 22(27 － x) C ． 2×16x ＝ 22(27 － x) D ． 2×22x ＝ 16(27 － x) D 命题角度❷　二元一次方程组的应用 (2016· 自贡 ) 某校为了丰富大家的业余生活，组织 了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本 ( 每 支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同 ) 作为奖品． 若购买 2 支钢笔和 3 本笔记本共需 62 元， 5 支钢笔和 1 本笔记 本共需 90 元，问购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？ 【 分析 】 设购买一支钢笔需 x 元，购买一本笔记本需 y 元，根据题目给出的两个等量关系，列出方程组求解 即可． 列方程组解应用题的关键是准确地找出题目中的等量关 系，通过设未知数列出方程组，进而得出实际问题的答 案．在设未知数时，可以采用直接设法，也可以采用间 接设法 . √ 8 ． (2017· 乌鲁木齐 ) 我国古代数学名著 《 孙子算经 》 中 有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问鸡兔各几何”，意思是：鸡和兔关在 一个笼子里，从上面看有 35 个头，从下面看有 94 条腿， 问笼中鸡和兔各有多少只？