第四章 第四节.ppt

第四节　解直角三角形 知识点一 锐角三角函数 1 ．锐角三角函数的定义 如图，在 Rt △ABC 中，∠ C ＝ 90° ， AB ＝ c ， BC ＝ a ， AC ＝ b ，则 sin A ＝ ， cos A ＝ ， tan A ＝ . 2 ．特殊角的三角函数值 1 由上表可知，当两角互余时，一角的正弦值等于另一角的余 弦值，即若 A ＋ B ＝ 90° ，则 sin A ＝ cos B ， cos A ＝ sin B ． 在锐角范围内， sin α ， tan α 的值随 α 的增大而增大， cos α 的值随 α 的增大而减小． 知识点二 解直角三角形 1 ．解直角三角形 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程， 叫做解直角三角形． 2 ．直角三角形中的边角关系 (1) 三边关系为 ____________ ． (2) 三角的关系为 ________________ ． (3) 边角关系为 ( 设 Rt △ABC 中，∠ C ＝ 90° ， a ， b ， c 分别为∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边 ) a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ∠ A ＋∠ B ＝∠ C 3 ．解直角三角形的基本类型 (1) 已知直角、斜边和一个锐角，求其他边和角； (2) 已知直角、一直角边和一个锐角，求其他边和角； (3) 已知直角、斜边和一直角边，求其他边和角； (4) 已知直角、两条直角边，求其他边和角． 知识点三 解直角三角形的应用 考点一 锐角三角函数的定义 (5 年 3 考 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例 1 (2015· 日照 ) 如图，在 Rt△BAD 中，延长斜边 BD 到点 C ， 使 DC ＝ BD ，连接 AC. 若 tan B ＝ ，则 tan∠CAD 的值为 ( 　　 ) 【 分析 】 首先构建含有∠ CAD 的直角三角形，利用三角形 相似和锐角三角函数的定义进行解答． 【 自主解答 】 如图，延长 AD ，过点 C 作 CE⊥AD ，垂足为 E ， 讲： 求三角函数值的方法 在三角形中求一般角的三角函数值时，往往需要通过作 三角形的高，构造一个包含所求角的直角三角形，然后利用 三角函数定义解决．在网格图中求锐角的三角函数值，要充 分利用格点之间连线的特殊位置构造直角三角形，借助勾股 定理解答． 练：链接变式训练 2 1 ． (2017· 日照 ) 在 Rt△ABC 中，∠ C ＝ 90° ， AB ＝ 13 ， AC ＝ 5 ，则 sin A 的值为 ( ) B 2 ．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度 的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知△ ABC 的顶点 都在方格的格点上，则 cos A ＝ ______ ． 考点二 解直角三角形 (5 年 2 考 ) 例 2 (2017· 莒县二模 ) 如图，在 Rt△ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ， CD⊥AB ，垂足为 D ， tan∠ACD ＝ ， AB ＝ 5 ，那么 CD 的长是 ． 【 分析 】 根据余角的性质得到∠ B ＝∠ ACD ，然后利用三角 函数及勾股定理得到 AC ， BC 的长，最后根据三角形的面积 公式即可求得 CD 的长． 【 自主解答 】 ∵∠ACB ＝ 90° ， CD⊥AB ， ∴∠ ACD ＋∠ BCD ＝∠ BCD ＋∠ B ＝ 90° ， ∴∠ B ＝∠ ACD. 设 AC ＝ 3x ， BC ＝ 4x ， ∵ AC 2 ＋ BC 2 ＝ AB 2 ， ∴ (3x) 2 ＋ (4x) 2 ＝ 5 2 ，解得 x ＝ 1 ， ∴ AC ＝ 3 ， BC ＝ 4. 3 ． (2016· 沈阳 ) 如图，在 Rt△ABC 中，∠ C ＝ 90° ，∠ B ＝ 30° ， AB ＝ 8 ，则 BC 的长是 ( ) D 4 ． (2017· 广州 ) 如图， Rt△ABC 中，∠ C ＝ 90° ， BC ＝ 15 ， tan A ＝ ，则 AB ＝ _____ ． 17 考点三 解直角三角形的应用 (5 年 0 考 ) 　　　 例 3 (2017· 东营 ) 一数学兴趣小组来到某公园，准备测量 一座塔的高度．如图，在 A 处测得塔顶的仰角为 α ，在 B 处 测得塔顶的仰角为 β ，又测量出 A ， B 两点的距离为 s 米，则 塔高为 米． 【 分析 】 在 Rt△BCD 中，可以用 CD 表示出 BD 的长，从而得 出 AD 的长；再在 Rt△ACD 中，求出 CD 的长即可得． 【 自主解答 】 在 Rt△BCD 中， 讲： 解直角三角形中的计算方法 解直角三角形的原则是“有弦 ( 斜边 ) 用弦 ( 正弦、余弦 ) ， 无弦用切，宁乘勿除，取原避中”．“取原避中”是指当原始 数据和中间数据均可选择时，应采用原始数据，否则可能会导 致误差累计而出错． 练：链接变式训练 6 5 ． (2016· 泰安 ) 如图，轮船沿正南方向以 30 海里 / 时的速 度匀速航行，在 M 处观测到灯塔 P 在西偏南 68° 方向上，航 行 2 小时后到达 N 处，观测灯塔 P 在西偏南 46° 方向上，若该 船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的 距离约为 ( 由科学计算器得到 sin 68°≈0.927 2 ， sin 46° ≈0.719 3 ， sin 22°≈0.374 6 ， sin 44°≈0.6947) ( ) A ． 22.48 海里 B ． 41.68 海里 C ． 43.16 海里 D ． 55.63 海里 √ 6 ． (2017· 莒县一模 ) 如图是某货站传送货物的平面示意图． 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面 的夹角，使其由 45° 改为 30°. 已知原传送带 AB 长为 4 米． (1) 求新传送带 AC 的长度； (2) 如果需要在货物着地点 C 的左侧留出 2 米的通道，试判断 距离 B 点 4 米的货物 MNQP 是否需要挪走，并说明理由． ( 说明： (1)(2) 的计算结果精确到 0.1 米，参考数据： 解： (1) 如图，作 AD⊥BC 于点 D. 在 Rt△ABD 中， AD ＝ AB·sin 45° ＝ 在 Rt△ACD 中，∵∠ ACD ＝ 30° ， ∴ AC ＝ 2AD ＝ 4 ≈5.6. 答：新传送带 AC 的长度约为 5.6 米． (2) 货物 MNQP 应挪走． 理由：在 Rt△ABD 中， BD ＝ AB·cos 45° ＝ 在 Rt△ACD 中， CD ＝ AC·cos 30° ＝ 2 . ∴CB ＝ CD － BD ＝ ∵PC ＝ PB － CB≈4 － 2.1 ＝ 1.9 ＜ 2 ， ∴货物 MNQP 应挪走．