2018年秋人教B版数学选修1-1 1.3.1推出与充分条件、必要条件.ppt

1 . 了解推出的意义 . 2 . 理解充分条件和必要条件的意义 . 3 . 掌握判断充分条件、必要条件的方法 . 1 . 命题的条件和结论 “ 如果 p , 则 ( 那么 ) q ” 形式的命题 , 其中 p 称为命题的条件 , q 称为命题的结论 . 【做一做 1 】 指出命题 “ 如果 a=-b , 则 a 2 =b 2 ” 的条件和结论 . 解 : 命题的条件是 : a=-b , 结论是 : a 2 =b 2 . 2 . 推出符号 “ ⇒ ” 的含义 当命题 “ 如果 p , 则 q ” 是 真 命题时 , 就说由 p 成立可推出 q 成立 . 记作 p ⇒ q , 读作 “ p 推出 q ” . 【做一做 2 】 用符号 “ ⇒ ” 表示命题 : 若 ∠ A= 60°, 解 : ∠ A= 60° ⇒ 名师点拨 只有当一个命题是真命题时 , 才能使用符号 “ ⇒ ” 表示 . 例如 : 命题 “ 如果两个三角形全等 , 那么它们的面积相等 ”, 因该命题是真命题 , 故可用符号 “ ⇒ ” 表示为 : 两个三角形全等 ⇒ 它们的面积相等 . 命题 “ 如果两个三角形面积相等 , 那么它们全等 ” 是假命题 , 故此命题不能用推出符号 “ ⇒ ” 表示 . 知识拓展 (1) 符号 “ ” 的含义 : 当命题 “ 如果 p , 则 q ” 是假命题时 , 就说由 p 不能推出 q. 记作 p q , 读作 “ p 不能推出 q ” . (2) 推出的传递性 : 若 p ⇒ q , 且 q ⇒ r , 则 p ⇒ r. 3 . 充分条件、必要条件 如果由 p 可推出 q , 则称 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件 . 【做一做 3 】 已知 r : x= 8, s : x> 7, 问 r 是 s 的充分条件吗 ? s 是 r 的必要条件吗 ? s 是 r 的充分条件吗 ? 解 : 因为 x= 8 ⇒ x> 7, 所以 r 是 s 的充分条件 , s 是 r 的必要条件 ; 又因为 x> 7 = 8, 所以 s 不是 r 的充分条件 . 4 . 充要条件 一般地 , 如果 p ⇒ q , 且 q ⇒ p , 则称 p 是 q 的充分且必要条件 , 简称 p 是 q 的充要条件 , 记作 p ⇔ q. 显然 , q 也是 p 的充要条件 .p 是 q 的充要条件 , 又常说成 q 当且仅当 p , 或 p 与 q 等价 . 【做一做 4 】 已知 p : 两直线平行 ; q : 内错角相等 . 试判断 p 是 q 的什么条件 ? 解 : 因为 p ⇒ q , 且 q ⇒ p , 所以 p 是 q 的充要条件 . 名师点拨 对充要条件的判定 , 首先要分清条件 p 和结论 q , 不但要有 p ⇒ q , 还要有 q ⇒ p. 知识拓展 充分不必要条件、必要不充分条件和既不充分也不必要条件 : 如果 p ⇒ q , 且 q p , 则称 p 是 q 的充分不必要条件 ; 如果 p q , 且 q ⇒ p , 则称 p 是 q 的必要不充分条件 ; 如果 p q , 且 q p , 则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件 . 1 . 如何理解充分条件与必要条件中的 “ 充分 ” 和 “ 必要 ” 呢 ? 剖析 :(1) 充分条件 : 说条件是充分的 , 也就是说条件是足以保证结论成立的 . 例如 , 说 “ x> 8” 是 “ x> 6” 的一个充分条件 , 就是说 “ x> 8” 这个条件 , 足以保证 “ x> 6” 成立 . (2) 必要条件 : 说条件是必要的 , 就是说该条件必须要有 , 必不可少 . 例如 , 如果 x> 6, 那么 x 可能大于 8, 也可能不大于 8; 但如果 x 不大于 6, 那么 x 不可能大于 8 . 因此要使 x> 8 必须要有 x> 6 这个条件 . 必要条件简单说就是 : 有它不一定 , 没它可不行 . 题型一 题型二 题型三 题型四 充分条件、必要条件的判断 【例 1 】 在下列各题中 , 试判定 p 是 q 的什么条件 : (1) p :( x- 2)( x- 3) = 0, q : x= 2; (2) p : 同位角相等 , q : 两直线平行 ; (3) p : x= 3, q : x 2 = 9; (4) p : 四边形的对角线相等 , q : 四边形是平行四边形 . 分析 :(1) 利用 “ 两个因式的积等于零 ⇔ 两个因式中至少有一个等于零 ” 以及充分条件、必要条件的定义判断 . (2) 利用平行线的判定定理和性质定理以及充分条件、必要条件的定义判断 . (3) 利用平方与开平方的意义 , 通过计算进行判断 . (4) 利用平行四边形的判定定理和性质定理进行判断 . 题型一 题型二 题型三 题型四 解 : (1) 因为命题 “ 若 ( x- 2)( x- 3) = 0, 则 x= 2” 是假命题 , 而命题 “ 若 x= 2, 则 ( x- 2)( x- 3) = 0” 是真命题 , 所以 p 是 q 的必要条件 , 但不是充分条件 , 即 p 是 q 的必要不充分条件 ; (2) 因为命题 “ 若同位角相等 , 则两直线平行 ” 是真命题 , 命题 “ 若两直线平行 , 则同位角相等 ” 也是真命题 , 所以 p 是 q 的充要条件 ; (3) 因为命题 “ 若 x= 3, 则 x 2 = 9” 是真命题 , 而命题 “ 若 x 2 = 9, 则 x= 3” 是假命题 , 所以 p 是 q 的充分条件 , 但不是必要条件 , 即 p 是 q 的充分不必要条件 ; (4) 因为命题 “ 若四边形的对角线相等 , 则四边形是平行四边形 ” 是假命题 , 命题 “ 若四边形是平行四边形 , 则四边形的对角线相等 ” 也是假命题 , 所以 p 不是 q 的充分条件 , p 也不是 q 的必要条件 , 即 p 是 q 的既不充分也不必要条件 . 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 判断 p 是 q 的充分条件、必要条件的方法与步骤 : ① 分清条件 p 和结论 q ; ② 判断命题 “ 若 p , 则 q ” 和命题 “ 若 q , 则 p ” 的真假 ; ③ 依据充分条件、必要条件的定义给出结论 . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 化简集合 , 实施等价转化 , 明确集合之间的关系是解决本题的关键 . 本题也可将 “ 􀱑 p 是 􀱑 q 的必要不充分条件 ” 转化为 “ p 是 q 的充分不必要条件 ” 来解决 . 题型一 题型二 题型三 题型四 求充要条件 【例 3 】 求函数 f ( x ) = ( a 2 + 4 a- 5) x 2 - 4( a- 1) x+ 3 的图象全在 x 轴的上方的充要条件 . 分析 : 先求 “ 函数 f ( x ) = ( a 2 + 4 a- 5) x 2 - 4( a- 1) x+ 3 的图象全在 x 轴的上方 ” 的必要条件 , 然后再看该条件能否推出 “ 函数 f ( x ) = ( a 2 + 4 a- 5) x 2 - 4( a- 1) x+ 3 的图象全在 x 轴的上方 ”, 即判断其充分性是否成立 . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 易错题型 【例 4 】 已知命题 p : A= { x|x 2 - 5 x- 6 < 0}, q : B= { x|- 1 3 . 所以 a 的取值范围为 a> 3 . 错因分析 :“ p 是 q 的充分条件 ⇒ A ⊆ B ”, 而错解用了 “ p 是 q 的充分条件 ⇒ A ⫋ B ”, 导致丢掉等号的错误 . 正解 : 由 x 2 - 5 x- 6 < 0, 得 - 1