备战2022年新高考数学45天核心考点专题26 基本不等式及其应用（解析版）

备战2022年高考数学核心考点专题训练专题20基本不等式及其应用一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.建造一个容积为，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为A.1680元B.1760元C.1800元D.1820元【答案】B【解析】解：设水池池底的一边长为xm，则另一边长为，则总造价㈠1ylflyfyy㈠lfylflfyly㈠1rdl元．当且仅当㈠，即㈠y时，y取最小值为1760．所以水池的最低造价为1760元．故选B．2.为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体1111，该项目由长方形核心喷泉区ABCD阴影部分和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD的面积为1llly，绿化带的宽分别为2m和如图所示.当整个项目占地1111面积最小时，则核心喷泉区BC的边长为A.20mB.50mC.1l1lD.100m【答案】B1lll【解析】解：设㈠，知㈠m，1lll1llll1llll整个项目占地1111面积为㈠f1lf㈠1llff1llfy㈠1l．1llll当且仅当㈠，即㈠l时取等号． 当整个项目占地1111面积最小时，则核心喷泉区BC的边长为l．故选B．3.设ㄠl，ㄠl，f㈠1，则下列说法错误的是1yy1A.ab的最大值为B.f的最小值为y1C.f的最小值为9D.f的最小值为y【答案】D【解析】解：由题意，对各选项依次进行分析：对A，因为正实数a，b满足f㈠1，1所以1㈠fy，当且仅当㈠㈠时等号成立，y11所以，当且仅当㈠㈠时等号成立，y1故ab有最大值，故A正确对B，因为fy㈠yfyfy㈠1，yy111所以f㈠1y1y㈠，当且仅当㈠㈠时等号成立，yyyy1所以f有最小值，故B正确．yf㈠111对C，利用基本不等式，有f㈠ff㈠ffyf㈠洠，当且仅当㈠y1即㈠㈠时等号成立，11故f有最小值9，故C正确；对D，由题意，得fy㈠ffy1㈠1fy1fy㈠y，1故fy，当且仅当㈠㈠时等号成立，y即f有最大值y，故D错误．故选D．y4.已知ㄠl，ㄠl，当f㈠y时，不等式f恒成立，则m的取值范围是A.yfB.yfC.lyD.ly【答案】B y1y1y1【解析】解：ㄠl，ㄠl，f㈠y，f㈠ff㈠fyfffyfyyyy1yy㈠fyfyy，当且仅当㈠时取等号，yy1不等式f恒成立，fyfyy，y整理得fyyl，解得y，即y，的取值范围为yf．故选：B．5.在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即㈠，其中d是距离单位，m是质量单位，k是弹簧系数单位弹簧系数分别为1，y的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数111k满足㈠f，并联时得到的弹簧系数k满足㈠1fy.已知物体质量为1lg，当两个弹簧串联时1y拉伸距离为，则并联时弹簧拉伸的最大距离为A.B.C.D.【答案】A1l【解析】解：根据题意可得，串联时㈠㈠㈠1l，11111fy1y㈠f㈠，㈠，1y1y1fy1y串联时，㈠㈠1l；1fy并联时，㈠1fy，弹簧拉伸的最大距离为㈠㈠，1fy要想取得最大值，则取最小值，㈠1fyy1y，当且仅当1㈠y时，取等号，1y当1㈠y时，由㈠1l得，1㈠y㈠yl，1fy此时㈠1fy㈠l，1l1㈠㈠㈠香，l1则并联时弹簧拉伸的最大距离为香，故选A． 6.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物．曲线C：yfy㈠1dyy恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：曲线C经过5个整点即横、纵坐标均为整数的点；曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；曲线C围成区域的面积大于；方程yfy㈠1dyyl表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是A.B.C.D.【答案】Byyyyyyfy【解析】解：f㈠1d1dy解得yfy当且仅当y㈠y㈠y时取等号则y正确；将yfy㈠和yfy㈠1dyy联立，解得y㈠y㈠y即圆yfy㈠与曲线相切于点yyyyyyyy则1和错误；由l得正确；故选B．7.若正实数x，y满足logyf㈠logyflogyy，则f的最小值是A.12B.6C.16D.8【答案】D【解析】解：正实数x，y满足logyf㈠logyflogyy，fy㈠yyy，整理，得f㈠y，11111f㈠y，f㈠ff㈠1lff1lfd㈠，yyy 当且仅当㈠时取等号．故选D．8.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”.假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式㈠香求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足f㈠1y，香㈠，则此三角形面积的最大值为A.B.1C.D.1【答案】C【解答】解：由题意，得㈠1l，所以㈠香1lf1l㈠yl1l1lyl㈠，y当且仅当1l㈠1l，即㈠㈠d时等号成立，所以此三角形面积的最大值为．故选C．9.函数、分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且fy㈠，若存在ly，使不等式yl成立，则实数m的最小值为A.4B.yC.8D.y【答案】B【解析】解：函数、分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且fy㈠，可得fy㈠，即y㈠，11解得㈠f，㈠，y由ly，可得1y，由㈠在ly递增，可得lyy，存在ly，使不等式yl成立，1yy1yyfy即存在ly，不等式fl即成立，y1yfyyfyy可得，由㈠fyy，y当且仅当㈠y时，取得等号，1即有yy，可得y，即m的最小值为y．y故选：B． 10.已知关于x的不等式yfyll的解集为1y，则1fyf的最大值是1ydyA.B.C.D.【答案】D【解析】解：不等式yfyll的解集为1y，根据韦达定理，可得：1y㈠y，1fy㈠，1那么：1fyf㈠f．1yl，11fy㈠，1即f，故1fyf的最大值为．1y故选：D．1y1fy香11.已知关于x的不等式fdf香lㄠ1的解集为，则㈠f的最小值为y11A.B.2C.yD.4【答案】D1y香y【解析】解：由题意得：ㄠl，l，得香．1fy香1fyfyy㈠f，令1㈠，则ㄠl，y11y11fyf1ff1yy1fy香所以㈠ffy.则㈠f的最小值为4．yyy11故选D．e112.已知函数㈠lnf，lf，曲线㈠上总存在两点11，yy使曲线㈠在M，N两点处的切线互相平行，则1y的取值范围是yyA.fB.yfC.fD.yfeeee【答案】D1【解析】解：㈠1ㄠlㄠl，y1111由题意知，1㈠y，即y㈠y，11yy1111㈠yy，1y1y 111fyy㈠f㈠ㄠ，等号取不到1y1y1yy1yㄠ恒成立，yyy令㈠，㈠，令㈠l，得㈠1，故有在l1上单调递增，在1f上递减，则有1，yy故1㈠，1yㄠ，1yㄠy，故选D．二、单空题（本大题共6小题，共30分）113.已知正数a，b满足f㈠y，则f的最小值为______．f1f1洠【答案】【解析】解：正数a，b满足f㈠y，则f1ff1㈠．1111f1f11f1f1则f㈠f1ff1f㈠fffyf1f1f1f1f1f1f1f11洠㈠f㈠，1当且仅当㈠，㈠时原式有最小值．洠故答案为：．14.壁画为人类历史上最早的绘画形式之一．早在汉朝就有在墙壁上作画的记载，多是在石窟、墓室或是寺观的墙壁，现在结合了现代工艺和文化气息，壁画向多元化、个性化发展．作为建筑物的附属部分，它的装饰和美化功能使它成为环境艺术的一个重要方面．现要制作一幅长和宽分别为a米和b米的矩形壁画，壁画由边框和印刷的彩画组成．壁画边框要求其长和宽使用不同的材质厚度忽略不计，长和宽材质的单价分别为50元米和100元米，彩画的单价为200元米y.要求在边框制作费用不超过400元的条件下，使彩画的面积最大，此时壁画的总费用是________元．【答案】800【解析】解：由题意，设彩画长a米，宽b米其中ㄠl，ㄠl，则有ylf1llll，即fy，yyy1fy1所以彩画面积㈠㈠㈠y，yyyyy㈠y㈠y当且仅当，即时不等式可取等号，fy㈠㈠1此时彩画的面积为2平方米，费用为400元，边框费用为400元，总费用共需要800元．故答案为：800． 1115.已知A、B、C为的三内角，且角A为锐角，若㈠y，则f的最小值为．tantany【答案】【解析】解：㈠y，角A为锐角，ㄠl，ㄠl，tanftanytantan㈠tanf㈠tanf㈠1tantan㈠1y㈠tanyy，1tany111tanyytanyf111f㈠f㈠㈠tanftantantantantantan11yytan㈠，tan1当且仅当tan㈠，即tan㈠1时，取等号，tan11y故f的最小值为．tantany故答案为．y116.已知ㄠl，ㄠl，且f㈠1，若fyㄠyfy恒成立，则实数m的取值范围是_______．【答案】yy1【解析】解：由f㈠1，y1可得fy㈠fyf㈠fffy㈠．y1当且仅当㈠y，且f㈠1，即㈠，㈠y时取等号，则fy的最小值为8，fyㄠyfy恒成立yfyfymin，所以yfy恒成立，即yfyl，解得y．故实数m的取值范围是y．故答案为y．y1y17.设正实数满足yfy㈠l，则当取得最大值时，f的最大值是．【答案】111【解析】解：由已知条件有㈠yfy㈠f㈠1，y当且仅当㈠y时，等号成立， 因此㈠yfy㈠ydyfy㈠yy，y1yy11y所以f㈠y㈠1f11．故答案为：1．yyfy18.已知ㄠy∈，函数㈠ffy的值域为lf∞，则的最小值为______．−y【答案】y【解析】解：根据题意，函数㈠yffy的值域为lf∞则有ㄠl且1㈠×y㈠，即㈠1，yfyyyf1㈠㈠yf，yyyy11又由−yㄠl，则yfyy㈠y，yyyy1当y㈠等号成立．yyyfy即的最小值为y；−y故答案为y．三、解答题（本大题共1小题，共10分）21洠．设函数f(x)ax(b2)x3(a0)．（1）若ba3，求不等式f(x)4x2的解集；1|a|（y）若f（1）4，b1，求的最小值．|a|b13【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（y）．42【解析】（1）由题意可得f(x)4x2，即为ax(a1)x10，即(x1)(ax1)0，111当a0时，10，由(x1)(x)0，解得x1或x；aaa2当a1时，(x1)0，可得x；111当a1时，1，由(x1)(x)0，解得x1；aaa111当0a1时，1，由(x1)(x)0，解得1x．aaa11综上可得，a0时，解集为{x|x1或x}；0a1时，解集为{x|1x}；aa1a1时，解集为；a1时，解集为{x|x1}；a （y）由f14，b1，可得ab14，b10，1|a|ab1|a||a|b1a|a|b1aa可得21，|a|b14|a|b1b14|a|4|a|b14|a|4|a|4|a|a151|a|545当a0时，11，可得的最小值为，当且仅当a，b时等号成立；4|a|44|a|b1433a131|a|3当a0时，11，可得的最小值为，当且仅当a4，b7时等号成立．4|a|44|a|b141|a|3所以的最小值为．|a|b14